江苏省徐州市2026-2027学年苏科版九年级上学期期中考试数学模拟卷

2026-2027学年徐州市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D．5x+3=0 2．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 5．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ） A． B． C． D． 第6题 第8题 7．某种短视频播放量，第一天万次，连续两天增长，这三天总播放量一共万次，设每天增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题有8个小题，每小题4分，共32分. 9．方程的根为_________． 10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 11．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 12．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 13．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 第13题 第15题 14．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是______． 15．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 16．某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率与该校参加测评人数的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是______． 第16题 三、解答题：本大题有9个小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题10分)解方程： (1)； (2)． 18．(本题8分)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 19．(本题8分)如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 20．(本题8分)已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 21．(本题8分)小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 22．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 23．(本题10分)某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， 设该衬衫每件降价x元． (1)填空：降价后，每件衬衫的实际利润是____________元，销售总量是____________件；（用含x的代数式表示）； (2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 24．(本题10分)如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 25．（本题12分）[学习心得] （1）宁宁同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °； [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，求的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）Ⅰ．如图4①，已知矩形，，，点为边上的一点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ． Ⅱ．如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年徐州市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.下列方程是一元二次方程的是（) A.x2+y+3=0 B.3x2-2=0 D.5x+3=0 2·小明在半径为6cm的圆中测量弦AB的长度，测量结果不可能是（) A.13cm B.12cm C.6cm D.1cm 3.已知反比例函数y=则下列各点不在该函数图象上的是（) A.(2,3) B.(-3,-2) C.(1,6 D.(-6,1) 4,关于反比例函数y=-4 ,下列说法中正确的是（) A.y随x的增大而增大 B.当1<x<4时，-1<y<-4 C.当x≥-1时，y24或y<0 D.它的图象位于第一、三象限 5.关于x的一元二次方程m2+bx+1=0的一个根是x=1,则2027+a+b的值是(） A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 6.如图，A,B,C是⊙O上的点，且∠ABC=130°，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻 度的直尺无法画出的是() A.50 B.40° C.100° D.140° B 第6题 第8题 7.某种短视频播放量，第一天5万次，连续两天增长，这三天总播放量一共18.2万次，设每天增 长率为x,可列方程为（) A.51+x)=18.2 B.5+51+x)+5(1+x)=18.2 C.5(1+2x)=18.2 D.5+5(1+x)=18.2 第1页，共6页 8,如图，在OO中，弦AB=4·点C在AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC,交OO于点 D,则CD长的最大值为() A.8 B.4 C.25 D.2 二、填空题：本题有8个小题，每小题4分，共32分 9.方程x2-3x=0的根为 10.若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是 11.在Rt△ABC中，若两直角边长为6C、&cm,则它的外接圆的直径为」 cm. 12.已知a,b是一元二次方程x2+x-2027=0的两个实数根，则d2+2a+b= 13.如图，点A在函数y=6(x>0)的图象上，过点A作AHLy轴于点H点P是x轴上一点， 则△AHP的面积为 6 第13题 第15题 14.一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm,圆心角为120°的扇形，则此扇形的面积是 cm2. 15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P,且AP=1,BP=5,且∠DPB=45°，则弦CD的 长为 16.某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加 测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象 上·这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是 0 第16题 第2页，共6页 三、解答题：本大题有9个小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本题10分)解方程： (1)x2-2x-7=0 (2)3x(x-1)=1-x. 18.(本题8分)已知关于x的一元二次方程x2-(3+m)x+3m=0. (①)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根 (2)若，，x2是该方程的两个实数根，且2x1-xx2+2x2=12,求m的值. 19.(本题8分)如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为32m,宽为19m,停车场内车道 的宽都相等，若停车位的占地面积为264m?,求停车场内车道的宽度 32m 车 车道 19m 宽度 停车位 出 20.(本题8分)已知点P(-6,8)在反比例函数y=的图象上： (1)求这个反比例函数的表达式. (2)判断点M(4,-12)和点N(2,24)是否在这个反比例函数的图象上. 第3页，共6页 21.(本题8分)小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和 刻度尺测量家中的碗口直径.如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于 A,B,D,C四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为14cm,AB=16cm,CD=12cm.求碗口 的直径（忽略碗壁厚度）· 22.(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数=x+b(k≠0)的图象与反比例函数 为，="(m≠0)的图象交于4，B两点，与y轴交于点C,已知点A(82),点B的横坐标为-4， (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当>y,时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且S△ABD=12,求出点D坐标. 第4页，共6页 23.(本题10分)某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销 售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1 元，商场平均每天可多售出2件， 设该衬衫每件降价x元. (①)填空：降价后，每件衬衫的实际利润是 元，销售总量是 件；（用含x的代 数式表示)： (2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 24.(本题10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD为⊙O的直径，点B为AC的中点，对角线 AC,BD交于点E,AE=AF· (1)求证：AF是OO的切线， (2)若AF=6,DF=10,求AB的长. E 第5页，共6页 25.（本题12分)[学习心得] (1)宁宁同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识 解决，可以使问题变得非常容易 例如：如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.D是△ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC 的度数.若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A,则C,D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的 圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC= 】 A B 图1 图2 A B B 图3 图4① 图4② [初步运用] (2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=26°，求∠BAC的度数； [方法迁移] (3)如图3，已知线段AB和直线1，用直尺和圆规在1上作出所有的点P,使得∠APB=30°（不 写作法，保留作图痕迹)： [问题拓展] (4)I.如图4①，已知矩形ABCD,AB=2,BC=m,点M为边CD上的一点·若满足 ∠AMB=45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ‖.如图4②，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6,CD=2,求AD的 长 第6页，共6页 2026-2027学年徐州市九年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D．5x+3=0 【答案】B 【详解】解：A、∵ 含两个未知数，∴ A不符合一元二次方程要求． B、∵ 是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，∴ B符合要求． C、∵分母含未知数，∴ C不符合一元二次方程要求． D、∵未知数最高次数为1，∴ D不符合一元二次方程要求． 2．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径是圆中最长的弦，确定弦长的取值范围后判断选项． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的直径为 ∵圆中最长的弦是直径， ∴弦的长度取值范围是， ∵， ∴测量结果不可能是． 3．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 4．关于反比例函数，下列说法中正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．当时， C．当时，或 D．它的图象位于第一、三象限 【答案】C 【分析】由反比例函数解析式得，结合其图象与性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴． ∴函数图象位于第二、四象限，故D错误． ∵时，在每个象限内，随的增大而增大， ∴A中未限定象限，说法错误，故A错误． 当时，，随的增大而增大， ∵时，， 时，， ∴，故B错误． 当时，分两种情况： ①当时，随的增大而增大， ∵时，， ∴． ②当时，． 综上，或，故C正确． 5．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】将代入方程求得的值，再整体代入所求代数式计算. 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ∴， ∴. 6．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可． 【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是． 7．某种短视频播放量，第一天万次，连续两天增长，这三天总播放量一共万次，设每天增长率为，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第一天播放量为万，第二天播放量为万，第三天播放量为万． ∵三天总播放量为万， ∴可列方程． 8．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 二、填空题：本题有8个小题，每小题4分，共32分. 9．方程的根为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式对左边因式分解，即可求出方程的根. 【详解】解：原方程， 提取公因式得， ∴ 或 ， 解得 ，. 10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个实数根的条件，得到根的判别式大于等于0，列出不等式求解的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 根的判别式， 解得． 11．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、， ∴由勾股定理可得斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆的直径为． 12．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义和根与系数的关系得到，则可求出，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 13．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 14．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 【答案】 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 15．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率与该校参加测评人数的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是______． 【答案】丙 【分析】结合图象可知：优秀的人数为，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数（设函数解析式为）的图象上，，则乙、丁两所学校对应的优秀人数相等；甲、丙的点分别与反比例函数图象对比，反比例函数图象上方的点的横纵坐标之积大于，反比例函数图象下方的点的横纵坐标之积小于，据此作答即可． 【详解】解：优秀人数等于参加测评的人数乘以优秀率，结合图象可知：优秀的人数为，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上， 设该反比例函数解析式为，即有， 即可知反比例函数上所有的横纵坐标之积都为， ∴乙、丁两所学校对应的优秀人数相等； 如图， 结合图中阴影三角形的面积可知：反比例函数图象上方的点的横纵坐标之积大于，图象下方的点的横纵坐标之积小于， 则有丙点的横纵坐标之积大于，甲点的横纵坐标之积小于， 综上：这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是丙学校． 三、解答题：本大题有9个小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本题10分)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解出一元二次方程即可． （2）利用提公因式法解出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 移项得， 配方得， 开平方得或， ，， ，． （2）解：， 移项得， 提公因式得， 或， ，． 18．(本题8分)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列式计算，证明，即可证得方程总有两个实数根． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积，再对已知等式变形，代入建立关于的方程求解． 【详解】(1)证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ ， ， ， 无论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：∵，是该方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，即， 解得． 19．(本题8分)如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 【答案】 【分析】设车道宽为，用含的式子表示停车位矩形的长和宽，根据面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的根． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可合成长为，宽为的长方形，根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵停车场的长为， 又∵，不符合实际意义， ∴， 答：停车场内车道的宽度为． 20．(本题8分)已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 21．(本题8分)小浩在学习了圆的有关性质后，为验证自己的学习成果，打算只用一张矩形纸条和刻度尺测量家中的碗口直径．如图，将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．求碗口的直径（忽略碗壁厚度）． 【答案】 【分析】过点作于点，的延长线交于点，连接，．先根据垂径定理求解，然后设，再对和运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线交于点，连接，． ，， ， ，． 设， ． ， ， ， 解得，即， ， 碗口的直径为． 22．(本题10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 【答案】(1)， (2)和 (3)或 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． （2）解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． （3）解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 23．(本题10分)某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， 设该衬衫每件降价x元． (1)填空：降价后，每件衬衫的实际利润是____________元，销售总量是____________件；（用含x的代数式表示）； (2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件衬衫应降价元 【详解】（1）解：∵降价前，每件盈利40元，每件降价x元， ∴降价后，每件衬衫的实际利润是元， ∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件降价x元， ∴商场平均每天可多售出件， ∵降价前，每天可售出20件， ∴降价后，销售总量是件； （2）解：由题意知，， 整理得，， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价元． 24．(本题10分)如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证； （2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求． 【详解】（1）证明：为的直径， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：，，， ， ， ， ， 25．（本题12分）[学习心得] （1）宁宁同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ °； [初步运用] （2）如图2，在四边形中，，，求的度数； [方法迁移] （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； [问题拓展] （4）Ⅰ．如图4①，已知矩形，，，点为边上的一点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ． Ⅱ．如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）45； （2）； （3）作图如下： （4）Ⅰ．；Ⅱ． 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）Ⅰ．在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； Ⅱ．作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，取的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）由图知，；同理． （4）Ⅰ．． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； Ⅱ．如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $