精品解析：云南曲靖市第一中学2026-2027学年高三年级上学期教学质量检测二数学试卷

曲靖一中2027届高三年级教学质量检测（二） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以虚部为． 2. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 向量，，且， ∴，解得. ∴ ，. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合，，再由集合的交集求解即可. 【详解】因为，由，解得， 因为，所以， 因为，所以或， 所以. 4. 已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 5. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值. 【详解】 对求导，得.  已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件分别求出与的值，再使用正弦和差公式即可求解. 【详解】因为，所以有，即， ， 代入得， 则有. 7. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求， 的值域，结合函数的图象，将问题转化为在， 的值域内任取，则直线 与函数， 的图象只有一个交点，然后可得． 【详解】， 令，解得或. 令，解得. 所以在上单调递减，在单调递增， 所以当时，在上的最小值为， 又，，所以在上的最大值为. 因为，， 由图可知，要使有唯一解，则 因为对任意的，存在唯一的，使得， 所以，解得，即实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在上有个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据二倍角公式，及辅助角公式化简得到，再根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项计算判断即可． 【详解】由， 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，则，由在上单调递增，且在上单调递增，在上单调递减， 所以在上先单调递增，再单调递减，故B错误； 对于C，由，即的图象关于直线不对称，故C错误； 对于D，由，则，令，得或，解得或， 所以在上有个零点，故D正确． 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】10 【解析】 【详解】由二项式定理知，的展开式中的项为，即对应系数为10. 13. 已知，则__________________ 【答案】##0.4 【解析】 【详解】． 14. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项为_________．若定义集合且，记的元素个数为，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用可求出；求出，再根据的范围可求出． 【详解】当时，，解得， 当时，， 所以， 可得，即，且， 所以数列是首项为公比为的等比数列， 所以，即，且， 所以数列的通项为； ， 因为，，所以， 所以的元素个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 【答案】（1） （2）众数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质，求出参数，再根据分层抽样的规则，计算成绩在的同学的个数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体百分位数的方法，计算最低分数. 【小问1详解】 由性质知：，故， 成绩在内的频率分别为， 所以采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名， 其中成绩在的同学个数为：. 【小问2详解】 由频率分布直方图知：众数为； 由频率分布直方图知，成绩在，，，，，内的频率分别为： ，，，，，. 所以估计本次考试平均数为： . 【小问3详解】 由于成绩在的频率为， 故估计获得表彰的同学的最低分数为：． 16. 已知的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的角平分线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系化简已知等式，结合正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理求； （2）先由面积公式求，结合余弦定理求，再用半角公式求，最后通过等面积法求的长度. 【小问1详解】 由， 根据同角三角函数平方关系， 代入得：， 化简整理：. 由正弦定理，角化边得：，即， 由余弦定理，代入得：. 【小问2详解】 因为，所以. 由面积公式，代入得：，解得. 由余弦定理，代入，得：，即， 故，得（边长为正，取正值）. 由半角公式，代入得：（，取正值）. 因为是的角平分线，所以，即： ， 代入， 化简得：，解得. 故的角平分线的长为. 17. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质和离心率分别求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线方程，利用已知几何关系结合椭圆的性质求出点坐标，进而求出直线的方程． 【小问1详解】 已知离心率，则，故， 椭圆过点，则，解得，故， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 为椭圆的右焦点，由（1）知， 由已知直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 若，则为轴，此时三点共线，不合题意，舍去； 设，且在之间， 已知与的面积相等，且等高，则， 故是中点，则， 由位于椭圆上，则， 整理得，联立椭圆方程得， 解得，代入椭圆方程得：，解得， 故或， 则直线的斜率为， 故直线方程为：． 18. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 【答案】（1）是，理由如下： 已知，根据定义得： 则， 因此是首项为、公差为的等差数列， 故是二阶等差数列. （2）①， ②证明：将， 代入得：， （裂项验证：，成立） 前项和用裂项相消： ， 所以. 因为，所以； 又，故是递增数列，最小值为， 因此. 【解析】 【分析】（1）根据定义计算，结合等差数列定义判断即可； （2）①：结合等差数列定义求出的通项公式，再利用累加法结合等差数列求和公式求出的通项公式；②：结合求解的表达式，再利用裂项相消法求出的表达式；分析的单调性，结合单调性确定其取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 由题意，，， 因为是等差数列，所以公差， 得的通项为：， ，，， ，，， 由累加法得，当时：， 代入得：， 验证时，满足上式，故. ②略 19. 已知函数． （1）若，求在上的最大值； （2）已知，，求证：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）时，， 则导数，令， 则导数，令， 则导数，因为，所以， 即函数在上单调递增，所以， 即函数在上单调递增，所以， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数，由导数求得函数的单调性，从而求得在所求区间上的最大值； （2）代入得到函数，利用导数即可证明函数的单调性； （3）通过分离参数，然后构造函数，由函数的导数求得函数的最值，从而求得参数的范围. 【小问1详解】 时，， 则导数，因为， 所以，即函数在上单调递增， 所以当时，， 所以，即在上的最大值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 当时，， 因为在上恒成立，即在上恒成立， 令函数，则导数， ， 所以， 由（2）知，函数在上为增函数， 故当时，，即， 因为，所以， 当时，，即，则函数在上单调递减， 当时，，即，则函数在上单调递增， 所以当时，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2027届高三年级教学质量检测（二） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在上有个零点 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 已知，则__________________ 14. 已知数列的前项和为，且，则数列的通项为_________．若定义集合且，记的元素个数为，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 16. 已知的内角，，所对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的角平分线的长． 17. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 18. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：． 19. 已知函数． （1）若，求在上的最大值； （2）已知，，求证：函数在上单调递增； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $