精品解析：云南曲靖市第一中学2026-2027学年高三上学期教学质量检测一数学试卷

曲靖一中2027届高三年级教学质量检测一 数学试卷 注意事项： 1．考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于8 D. 的最小值为2 10. 有1000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩（满分100分，90分及以上为优秀），从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40 C. 估计该工厂竞赛成绩的中位数为75 D. 估计该工厂竞赛成绩的众数为75 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数 ，则 _____ 13. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 14. 设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果． （1）设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； （2）若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，求的数学期望． 16. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2），且，求. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点． （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围： （3）若存在两个极值点，证明：． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，为上两点，为椭圆上三个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求椭圆内接菱形的面积的最小值； （3）是否存点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2027届高三年级教学质量检测一 数学试卷 注意事项： 1．考生务必用黑色笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4．本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合后，借助交集定义即可得. 【详解】由，解得，则， 又，则. 故选：A. 2. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对，，进行化简，分别和中量进行比较，即可得解. 【详解】由，所以， ， ， 所以， 故选：D. 3. 在中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法和减法法则，计算可得答案. 【详解】由，可得， ，整理可得， . 故选：A 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以， 又，所以， 设数列的公差为，则， 所以. 5. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 6. 甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案. 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】因为焦距为2，故，所以, 因为直线经过椭圆的左焦点， 所以由直线斜率知，，如图， 由，得，则， 因此， 所以离心率. 故选：B 8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知表示以原点为圆心，为半径的半圆，设，进而根据面积公式得，时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为，设直线的方程为，再根据距离公式求解即可得答案 【详解】曲线即为，表示以原点为圆心，为半径的半圆， 设 所以的面积， 所以，当时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为， 设直线的方程为， 因为原点到直线的距离为，解得， 所以，整理得，解得（正舍）. 所以的面积取最大值时，直线的斜率等于 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ） A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于8 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的图象确定的值，得，排除A项，代入检验可判断B项；根据题意求得，利用其单调性确定，结合，取值计算可判断C，D两项. 【详解】由图可知，函数的周期满足，解得，则，即. 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，方程无解，舍去； 当时，函数图象经过点，可得， 即，又，则，即， 因时，，故A错误，B正确； 依题意，，当时，， 因在上单调递减，可得， 解得，因，当时，，则取得最小值2； 当时，，则，故C，D均正确. 故选：BCD. 10. 有1000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩（满分100分，90分及以上为优秀），从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40 C. 估计该工厂竞赛成绩的中位数为75 D. 估计该工厂竞赛成绩的众数为75 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图性质计算可判断A正确，结合优秀员工分数判断B正确，根据中位数以及众数定义可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图性质可知，解得，即A正确； 对于B，易知样本中优秀员工占比为， 可估计全厂优秀员工的占比也为，因此估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为人，即B正确； 对于C，成绩在分的频率为， 在分的频率为， 所以成绩的中位数在区间内，设中位数为, 则，解得， 可知估计该工厂竞赛成绩的中位数为，即C错误； 对于D，根据频率分布直方图中最高的矩形所对应成绩范围可知出现频率最高的数在内， 因此估计该工厂竞赛成绩的众数为75，即D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点坐标和中点坐标，然后由空间向量的数量求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；写出点坐标，由空间向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹，然后求得圆弧的圆心角即可求得路径长，判断C选项；由空间向量投影求得圆心到直线的距离，即可求得圆心到过直线的平面的最大距离，从前求得切面圆的半径，然后得到面积，判断D选项. 【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 因分别为的中点，则，，则，， 对于A，设与所成的角为，则，故A正确； 对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误； 对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径， 故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离， ∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆， 圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数 ，则 _____ 【答案】5 【解析】 【详解】 13. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 【答案】 【解析】 【详解】，即， 所以数列是公差为1的等差数列， 因为， 所以， 因此， 则， 所以数列的前项和. 14. 设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【解析】 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出1个糖果． （1）设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； （2）若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，求的数学期望． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为，由条件可得，再由题意知，3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数等于3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数，即，从而根据二项分布的期望公式计算即得. 【小问1详解】 记“第一次摸得荔枝味糖果”为事件，“第二次摸得荔枝味糖果”为事件． 则, 故， 所以第二次摸得荔枝味糖果的概率为． 【小问2详解】 由题可知，每次摸糖果，摸得荔枝味糖果的概率为，摸得樱桃味糖果的概率为． 记3次摸糖果后摸得荔枝味糖果的次数为，则． 因为3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为，所以，所以， 所以的数学期望． 16. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2），且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，整理后可得，再由正弦定理角化边，结合余弦定理求解； （2）由结合（1），求得或，利用二倍角公式求得，运算得解. 【小问1详解】 因为， 所以， ，又， ，即， 所以，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 ， 由，得， 由，则，所以， 所以或，得或， 因为，所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点． （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面平面， 所以 ，又平面， 所以平面. 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，根据线面垂直的性质得到，再结合利用线面垂直的判定证得平面即可得证; （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求解； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为底面平面，所以， 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵，，，， ∴，，，. 所以，，，，， ∵是线段的中点，∴， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为, ，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围： （3）若存在两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由，， 因为存在两个极值点， 则满足，即， 不妨设，则. ， 则要证，即证， 又，，则， 即证，即证成立. 设函数，， 则， 在单调递减，又，则， ，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则，将所证不等式转化为，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【小问1详解】 由，则， 而，则， 则曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ，又在区间上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数在上单调递增，则， ，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，为上两点，为椭圆上三个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求椭圆内接菱形的面积的最小值； （3）是否存点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）8 （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入可得标准方程； （2）联立，可得，同理可得，从而，再由，结合均值不等式求解最值； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，斜率不存在时取特殊点易得的面积为，斜率存在时联立直线和椭圆方程，得到韦达定理，结合重心的性质可表示出点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简可得，由三角形面积公式表示出的面积并化简，可得的面积为定值，所以. 【小问1详解】 设椭圆为， 由题意得，解得，故椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由椭圆的对称性，菱形中心为原点，设直线 ，联立， 所以，同理， 所以 （“”在时取得）. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，取符合题意， 故存在点，使为的重心，且此时的面积为， 当直线的斜率存在时，设，联立的方程消去得. 设，则. 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $