江苏淮安市北京师范大学淮安学校2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试卷

北京师范大学准安学校高一10月质量检测 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.若集合M={x-1<x<,N={x0≤x<2},则MN=() A.{x-1≤x2 B.{x0≤x<1 C.x 0<x<1 D.{x-1<xK0 2.“x>1”是x+1>2”的（) A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若关于x的不等式x+2x-1>0有解，则实数a的取值范围为() A.（-0,-1) B.（-1,+0) C.（-o,1) D.(1,+0) 4.(1g2)+(lg5)+3g2lg5的值为() A.4 B.1 C.6 D.3 5.已知函数f(2x-1)的定义域为 则函数f(3x)的定义域为() A.0,3 11 B. 6'2 D.(0,1) 6.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为( ) A.5 B.6 C.V2+3 D.2W2+3 7.设x,2是一元二次方程x+x-3=0的两根，则x2-4x+20等于() A.1 B.5 c.11 D.13 8.已知a>0,B>0且2+B2-p=1,记m为a+B的最大值，记n为oB的最大值.已知a≠0， 对任意x∈R,x+1≤x2+bx+c≤x2-x+m恒成立，则bc+3a的最大值为() A.3 B.1 D.2 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a>0,、n是正整数，且>l,则下列各式中，正确的有() A.aa B.(a”=(am c.Va =a D.a=-a 10.下列命题是正确的是() A.函数f(y)=x+3+1的定义域是[3，-2)U(-2,) t+2 B.f(x)=x-1与g(x)=Y-1是同-个函数 C.不等式-3 x+5 <0的解集为(-5,3] D.若3<a<6,-1<b<3,则-3<a-2b8 11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大 量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个 集合A和B,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合 叫作A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B.即A×B={(x,y)川x∈A且y∈B).关于任意非空集 合M,N,T,下列说法错误的是() A.M×N=WxM B.(M×N)xT=M×(NxT) C.Mx(NUT)C(MxNU(MxT) D.Mx(NOT)=(MxN)(MxT) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知命题：“x∈(0，+0)，x2-ax+4≥0”为真命题，则实数a的取值范围是 13.函数f(x)=2x-√2-x的值域为 14.a、b为正实数，若d=b=3,a+-b+3=0,则+上的最小值为 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)己知集合A={x|3≤x≤6}，集合B={x|x≥2-1或x≤m-1,m∈R. (1)当m=3时，求AU(CB): (2)若A⌒B=☑，求实数的取值范围： (3)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分)(1)计算：645-（π-2）°+(-8)+16075. (2)计算：log64+1gV2+lgV5. 1.2 (3)已知22=3=18，求二+二的值 a b 17.(本小题满分15分)中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中 欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有 墙体，建造一面高为3，底面积为12m,且背面靠墙的长方体形状的保管室，由于保管室背面靠墙， 无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面 新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度 均为xm(2≤x≤4). (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管室建造竞标，其给出的整体报价 900a1+元(a>0)，若无论左 右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求α的取值范围. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)已知关于x的不等式ax+bx+c>0,其中a,b,c∈R. (1)若不等式的解集为(x<<2},求关于x的不等式ax-2hx+4c≤0的解集： (2)若a=b,c=-1时，不等式的解集为☑，求a的取值范围. (3)若b-a=c=-1,求该不等式的解集（解集用1表示） 19.(本小题满分17分)我们约定：在平面直角坐标系中，当点(x,y)的坐标满足x+y=y时，称点 (x,y)为“靓点”.请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点P(x,y)为靓点”，则点Q(2-x,2-y)是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明： (2)当k>O时，求证：关于x的函数y=x+m(k,为常数)的图象上总存在两个不同的“靓点”： (3)已知关于x的二次函数y=ax2-4x+4a+2(4为常数)的图象上存在三个不同的“靓点”： (x,),(x,乃)，（，)，且满足y+y+=x+x号+x,求a的值. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第4页（共4页） 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测 学校：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求交集即取两个集合的公共部分，先在数轴上标出两个区间再取公共段． 【解答】因为，， 所以，故选B． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，再用“小范围推出大范围”判断充分性与必要性． 【解答】由得或，即或． 当时必有或，所以“”能推出“”，充分性成立； 取，则成立，但不成立，所以必要性不成立． 因此“”是“”的充分不必要条件，故选A． 3．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按、、三种情况讨论不等式是否有解，注意时需判别式大于零． 【解答】当时，不等式为，有解，符合题意； 当时，抛物线开口向上且可以无限增大，不等式一定有解，符合题意； 当时，抛物线开口向下，要使有解，需，解得， 此时． 综上，，即的取值范围为，故选B． 4．的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用立方和公式整体求值，其中． 【解答】因为， 所以 ． 故选B． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数的定义域指的是自变量的取值范围，先由此求出中的范围，再求的定义域． 【解答】由的定义域为，得，所以， 即函数的定义域为． 令，得， 所以函数的定义域为，故选A． 6．已知正实数，满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边同除以，把条件化为，再用“乘1法”与基本不等式求的最小值． 【解答】因为，，由得，两边同除以，得． 于是 ， 当且仅当，即时取等号，此时，，满足条件． 所以的最小值为，故选D． 7．设，是一元二次方程的两根，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系与“”降次，把三次、二次都化为一次． 【解答】由题意，且，． 所以， 又，所以． 因此． 故选A． 8．已知，且，记为的最大值，记为的最大值．已知，对任意，恒成立，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用基本不等式求出、；再注意与都非负且，从而是两者的最小值点，得到、关于的表达式． 【解答】由，设，，则． 因为，所以，解得，即，当时取到，故； 又，当时取到，故． 于是题设不等式为． 记，，则，，且 ． 在处，而，，故， 所以是的最小值点，其对称轴为，即，得； 又，得，即． 此时，由得； 又且为二次项系数，故，所以． 所以 ，当（此时，）时取到最大值， 故的最大值为，故选C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项用分数指数幂与根式的意义判断，注意时根式与指数幂可以互化． 【解答】A项，由分数指数幂的意义，（），正确； B项，，，两者相等，正确； C项，且时，正确； D项，，不等于，错误． 故选ABC． 10．下列命题是正确的是（　　） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】逐项判断：定义域要使根式与分母同时有意义；同一函数要求定义域与对应关系都相同；分式不等式化为整式不等式；用不等式性质求的范围． 【解答】A项，由且得且，定义域为，正确； B项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，错误； C项，由得且，解得，解集为，正确； D项，由得，又，同向相加得，正确． 故选ACD． 11．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】按笛卡尔积的定义逐项检验：元素是有序对，交换或结合后所得有序对不同，故一般不相等；而分配律对并、交成立． 【解答】A项，取，，则，，两者不相等，错误； B项，中的元素形如，中的元素形如，一般不相等，错误； C项，由分配律，两者相等而不是真子集关系，错误； D项，，正确． 故选ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】恒成立问题分离参数：对恒成立，转化为求右边的最小值． 【解答】因为，由得． 由基本不等式，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，从而， 即的取值范围是． 13．函数的值域为______． 【答案】 【分析】令换元，把函数化为关于的二次函数，再在上求值域． 【解答】令，则，， 所以． 因为，函数在上单调递减，所以（即）时取最大值，且当时函数值趋于， 故函数的值域为． 14．、为正实数，若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由解出，再由对数式表示，最后用换元与基本不等式求最小值． 【解答】由得，即； 由得，即． 所以． 由得，因为，，所以，． 令，则，， 当且仅当，即，时取等号． 所以，最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知集合，集合或，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）先求再求补集，最后与取并集；（2）要求整个落在的两段之间的“空档”里；（3）是的充分条件即，按的两段分别讨论． 【解答】（1）当时，或， 所以，又， 故． （2）若，则既不能与相交，也不能与相交， 所以且，解得， 即的取值范围为． （3）因为是的充分条件，所以． 当时，，此时，成立； 当时，，区间只能整体落在其中一段内： 若，则，即； 若，则，即． 综上，或，即的取值范围为． 16．（本小题满分15分）（1）计算：． （2）计算：． （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）把根式化成分数指数幂，注意、、；（2）用对数运算性质合并；（3）把、化成以为底的对数后相加． 【解答】（1）原式． （2）原式． （3）由得，由得， 所以，， 故． 17．（本小题满分15分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管室，由于保管室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围． 【答案】（1）左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，最低报价为元；（2）． 【分析】（1）设左右墙长为，由底面积得前后墙长为，写出总报价关于的函数，用基本不等式求最小值；（2）把“乙队总能竞标成功”转化为不等式对恒成立，分离参数后求右边函数的最小值． 【解答】（1）设屋子的左右两面墙的长度均为m，则前后两面墙的长度均为m． 前面墙体的面积为，左右两面墙体的面积之和为． 设甲工程队的报价为元，则 ，． 因为， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当时报价最低，最低报价为元． （2）乙工程队的报价为元，依题意对任意都有 ． 两边同乘，得，即对恒成立． 令，则， 因为在上单调递增，所以（即）时取最小值， 故只需，又，所以的取值范围为． 18．（本小题满分17分）已知关于的不等式，其中，，． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 【答案】（1）或；（2）； （3）当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】（1）由解集形状确定及两根，用韦达定理把、用表示；（2）按的符号讨论，时需判别式不大于零；（3）因式分解后，按的符号与两根的大小分类讨论． 【解答】（1）因为的解集为，所以，且，是方程的两根． 由韦达定理，，，所以，． 不等式化为，即． 因为，所以，解得或， 故所求不等式的解集为或． （2）当，时，不等式为． 若，抛物线开口向上，不等式一定有解，不符合题意； 若，不等式化为，无解，符合题意； 若，抛物线开口向下，要使不等式无解，需，解得． 综上，的取值范围为． （3）由得，，不等式为， 即，也即，其两根为和（）． 当时，，且开口向上，解集为或； 当时，不等式化为，解集为； 当时，两边同除以得，解集为两根之间的部分： 若，则，解集为； 若，则，不等式化为，解集为； 若，则，解集为． 19．（本小题满分17分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】（1）是“靓点”，证明见解答；（2）证明见解答；（3）． 【分析】（1）把、代入的两边分别计算；（2）联立后得到关于的二次方程，证明判别式恒正；（3）联立消去得到三次方程，因式分解后由“三个不同靓点”确定的范围，再用平方和条件求． 【解答】（1）是“靓点”．证明如下： 因为为“靓点”，所以． 而， ， 所以，即是“靓点”． （2）设的图象上存在“靓点”，则，即， 整理得． 其判别式， 因为，所以，该方程有两个不相等的实根， 每个实根对应唯一的，故图象上总存在两个不同的“靓点”． （3）设“靓点”为，则，把代入，得 ， 整理得． 因为时上式成立，所以方程可分解为． 图象上存在三个不同的“靓点”，故，且有两个不等于的不等实根， 其判别式，即或； 又时，故不是该方程的根． 设三个靓点的横坐标为，，，令，则， 且，，是的两根，其，． 于是， 其中， ， 所以； 又， 而，， 所以． 由题意，即，分解得，所以或． 当时，不满足三个靓点的条件，舍去；当时，符合题意， 故． 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $北京师范大学淮安学校高一10月质量检测 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.若集合M={x|-1<x<1},N={x|0≤x<2},则M∩N=() A.{x|-1≤xK2 B.{x0≤x1 C.{x|0<<1 D.{x|-1<xK0} 【答案】B 【分析】求交集即取两个集合的公共部分，先在数轴上标出两个区间再取公共段， 【解答】因为M={x-1<<1,N={x0≤x<2}, 所以M∩N={x0≤x<I},故选B. 2.“x>1”是x+1>2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式x+1>2,再用“小范围推出大范围判断充分性与必要性. 【解答】由x+1>2得x+1>2或x+1<-2,即x>1或x<-3. 当x>1时必有x>1或x<-3,所以“x>1”能推出x+1>2”,充分性成立： 取x=-4,则x+1=3>2成立，但x>1不成立，所以必要性不成立。 因此“x>1是x+1>2”的充分不必要条件，故选A. 3.若关于x的不等式ax+2x-1>0有解，则实数a的取值范围为() A.（-0,-1)B.（-1,+0) C.（-w,1) D.(1,+0) 【答案】B 【分析】按α=0、a>0、a<0三种情况讨论不等式是否有解，注意a<0时需判别式大于零. 【解答】当a=0时，不等式为2x-1>0,有解心】 符合题意， 当a>0时，抛物线y=x2+2x-1开口向上且y可以无限增大，不等式一定有解，符合题意； 当a<0时，抛物线开口向下，要使2+2x-1>0有解，需△=4+4a>0,解得a>-1, 此时-1<a<0. 综上，a>-1,即a的取值范围为(-1，+o),故选B. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第1页（共12页） 4.(1g2)+(g5)+3g2lg5的值为() A.4 B.1 C.6 D.3 【答案】B 【分析】利用立方和公式a3+b3+3ab(a+b)=(a+b)°整体求值，其中lg2+lg5=1. 【解答】因为lg2+1g5=1gl0=1, 所以(1g2)°+(1g5)°+3lg21g5 =(1g2+1g5)3=13=1. 故选B, 5.已知函数f(2x-1)的定义域为 则函数f(3x)的定义域为() A. B. 33 D.(0,1) 【答案】A 【分析】函数f(2x-1)的定义域指的是自变量x的取值范围，先由此求出f(t)中t的范围，再求 f(3x)的定义域. 【解答】由f(2x-1)的定义域为 得1，所以02x-1K1, 即函数f(t)的定义域为(0,1) 令03x1,得0< 所以函数f(3x)的定义域为 0,3 故选A. 6.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为() A.5 B.6 C.√2+3 D.2√2+3 【答案】D 【分析】由ab-a-2乃=0两边同除以b,把条件化为2+-1，再用乘1法与基本不等式求a+b a b 的最小值。 【解答】因为a>0,b>0,由b-a-2b=0得ab=a+2b,两边同除以ab,得2+1-1. 于是 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第2页（共12页） b a 当且仅当9=2b ,即a=√2b时取等号，此时b=1+√2，a=2+√2，满足条件 b a 所以a+b的最小值为3+2√2，故选D. 7.设5，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两根，则-4x+20等于() A.1 B.5 C.11 D.13 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系与“x2=3-x”降次，把三次、二次都化为一次. 【解答】由题意x+x3=-1,且x=3-x,x=3-x 所以x=xx=x(3-x)=3x-(3-x)=4x-3, 又x号=3-x,所以4x=12-4x· 因此x-4x+20=(4x-3)-(12-4x)+20=4(x+x)+5=4×(-1)+5=1. 故选A. 8.已知a>0,B>0且2+B2-B=1,记m为a+B的最大值，记n为cB的最大值.已知a≠0， 对任意x∈R,x+1≤ax2+bx+c≤x2-x+m恒成立，则bc+3a的最大值为() 2 A. 3 3 B.1 C. D.2 2 【答案】c 【分析】先用基本不等式求出m、n;再注意g(x)=f(x)-(x+1)与h(x)=(x2-x+2)f(x)都非 负且g(x)+h(x)=(x-1),从而x=1是两者的最小值点，得到b、c关于a的表达式. 【解答】由a+p-a0=(a+P)-3a0=1,设5=u+B,p=a0,则p=1 3 因为ps,所s,解得64，即s2.当a=户=1时填到，或m-2: 3 4 又P=s41=1,当=B=1时取到，放n=1. < 3-3 于是题设不等式为x+1≤x2+bx+c≤x2-x+2. 记g(x)=ax2+(b-1)x+(c-1),h(x)=(1-a)x2-(1+b)x+(2-c),则g(x)≥0，h(x)≥0，且 g(x)+h(x)=x2-2x+1=(x-1). 在x=1处g(1)+h(1)=0,而g(1)≥0，(1)≥0，故g(1)=h(1)=0, 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第3页（共12页） 所以x=1是g(x)的最小值点，其对称轴为x=1,即-1-1，得b=1-24: 2a 又g(1)=0,得a+(b-1)+(c-1)=0,即c=1+a. 此时h(x)=(1-a)x2-(2-2a)x+(1-a=(1-a(x-1),由h(x)≥0得a≤1： 又g(x)≥0且a为二次项系数，故a>0,所以0<a≤1. 所以bc+3a=(1-2a)(1+a+3a=1+a-2a-2a2+3a=-2a㎡2+2a+1 3 :（此时b=0,c=二)时取到最大值， 故ic+3a的最大值为)，故选C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设a>0,m、n是正整数，且>1，则下列各式中，正确的有() A.ad B.(a")"=(a")" c.Na"=a D.a n=d 【答案】ABC 【分析】逐项用分数指数幂与根式的意义判断，注意>0时根式与指数幂可以互化. 【解答】A项，由分数指数幂的意义，a”=（a心O),正确； B项，(a”=am，(a）”=am,两者相等，正确： C项，>1且a心0时d=a,正确： D项，a-1 1 ,不等于-”，错误. m an Va 故选ABC. 10.下列命题是正确的是() A.函数f(x)=Vx+3+ 的定义域是[-3，-2)U(-2,+∞) x+2 B.f(x)=x-1与g(x)=Y-1是同一个函数 c.不等式一3≤0的解集为(5,3】 x+5 D.若3<<6，-1<b<3,则-3<a-2b<8 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第4页（共12页） 【答案】ACD 【分析】逐项判断：定义域要使根式与分母同时有意义；同一函数要求定义域与对应关系都相同；分式 不等式化为整式不等式；用不等式性质求α-2b的范围. 【解答】A项，由x+3≥0且x+2≠0得x≥-3且x≠-2，定义域为[-3，-2)U(-2,+0),正确： B项，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{xx≠O},定义域不同，不是同一函数，错误： x十5≤0得(x-3x+5)≤0且x≠-5.解得-5x≤3，解集为-5,3，正确： C项，由x-3 D项，由-1<b<3得-6<-2b<2,又3<<6，同向相加得-3<a-2b<8,正确. 故选ACD 11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大 量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个 集合A和B,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合 叫作A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B.即A×B={(x,y)川x∈A且y∈B).关于任意非空集 合M,N,T,下列说法错误的是() A.M×N=N×M B.(M×N)×T=M×(N×T) C.Mx(NUT)C(MxN)(MxI) D.M×(NT)=(M×N)(M×T) 【答案】ABC 【分析】按笛卡尔积的定义逐项检验：元素是有序对，交换或结合后所得有序对不同，故一般不相等： 而分配律对并、交成立 【解答】A项，取M={1},N={2},则M×N={1,2)},N×M={《2,1},两者不相等，错误： B项，(M×N)xT中的元素形如(m,n),t),M×(N×T)中的元素形如(m,(n,t),一般不相等，错 误； C项，由分配律M×(NUT)=(M×N)U(M×T),两者相等而不是真子集关系，错误： D项，M×(NOT)=(M×N)O(MxT),正确. 故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知命题：“x∈(0，+o),x2-x+4≥0”为真命题，则实数a的取值范围是 【答案】（-0,4 【分析】恒成立问愿分离参数：口≤x+4对心0恒成立，转化为求右边的最小值。 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第5页（共12页） 【解答】因为x20,由x-+4≥0得a≤x+4 4 4 由基本不等式x+一≥2， =4,当且仅当x=2时取等号， 所以x+4的最小值为4，从而a≤4， 即a的取值范围是(-0,4]. 13.函数f(x)=2x-√2-x的值域为 【答案】（-0,4] 【分析】令t=√2-x≥0换元，把函数化为关于t的二次函数，再在t≥0上求值域. 【解答】令t=√2-x,则t≥0，x=2-t2, 1）2 所以f(x)=2(2-t2)-1=-2-1+4=-2t+ 33 48 因为t≥0，函数在[0，+∞)上单调递减，所以t=0(即x=2)时取最大值4，且当t→+0时函数值趋 于-0， 故函数的值域为(-0,4。 14.4、b为正实数，若d=b2=3,a+62-b+3=0,则1+1的最小值为 xV 【答案】2 【分析】由a+B2-b+3=0解出a,再由对数式表示+-1og,(b),最后用换元与基木不等式 求最小值. 【解答】由a=3得x=1og3,即上=1og,a: 由b=3得2y=1og,3,即1=210g,b=1og,b. y 所以上+1-log(ab) x V 由a+b2-ab'+3=0得a(b2-1=b+3,因为a>0,b>0,所以b2>1,a= b2+3 b2-1 令4=b2-上0.则b=u+1,b-u+4[+=u+4+524+5=9. 2 当且仅当u=2,即b=√3，a=3时取等号. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第6页（共12页） 所以1+1-1og(ab)上1og9=2,最小值为2. x V 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)己知集合A={x3≤x≤6}，集合B={x|x≥2-1或x≤-1，m∈R). (1)当m=3时，求AU(CB): (2)若AOB=☑，求实数m的取值范围； (3)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【容案！a2:2(4:)(2小+) 【分析】(1)先求B再求补集，最后与A取并集；(2)A⌒B=☑要求A整个落在B的两段之间的 “空档里；(3)p是q的充分条件即A三B,按B的两段分别讨论. 【解答】(1)当m=3时，B={x|x≥5或x≤2}， 所以CB={x2<x<5},又A={x|3≤x≤6}， 故AU(CB)={x2<x≤6)=(2,6]. (2)若A⌒B=⑦，则[3,6]既不能与(-0，m-1]相交，也不能与[2m-1,+w)相交， 所以m-1k3且2-16，解得24， (3)因为p是q的充分条件，所以A≤B, 当m≤0时，2-1≤m-1,此时B=R,A≤B成立； 当>0时，B=(-0,m-1人[2m-1,+∞)，区间[3,6]只能整体落在其中一段内： 若[3,6](-0，m-1],则m-1≥6，即≥7； 若[3,6][2m-1,+o),则2m-1≤3，即0<m≤2 综上，m≤2或m≥7，即m的取值范围为(-n,2][7,+o), 16.(本小题满分15分)(1)计算：64-（元-2）°+(-8)+16075. (2)计算：1og,64+lg√2+1gV5. (3已知2=3°-18，求1+2的值. a b 【答案】(1) ：a号1 2 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第7页（共12页） 【分析】(1)把根式化成分数指数幂，注意π一2=1、一8=4、16下二及(2)用对数运算 性质合并：(3)把二、 、2化成以18为底的对数后相加。 a b 【解答】(1)原式=4-1+-8)+】 =4-1+4+ 157 881 164 2)原武=6+2+5-6+分l0=6片-月 22 (3)由2=18得a=1og218,由3°=18得b=1og318, 所以-1ogg2,2=20g3=1og69, a b log 2+108:9-1og 18-1. a b 17.(本小题满分15分)中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中 欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有 墙体，建造一面高为3，底面积为121m,且背面靠墙的长方体形状的保管室，由于保管室背面靠墙， 无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面 新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度 均为xm(2≤x≤4). (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ 900a(1+x) (2)现有乙工程队也参与此保管室建造竞标，其给出的整体报价为 元(a>0),若无论左 右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 【答案】(1)左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为14400元：(2) 0<a<12, 【分析】(1)设左右墙长为x,由底面积12得前后墙长为12 写出总报价关于x的函数，用基本不等 式求最小值；（2)把“乙队总能竞标成功”转化为不等式对x∈[2,4]恒成立，分离参数后求右边函数的最 小值. 12 【解答】(1)设屋子的左右两面墙的长度均为xm,则前后两面墙的长度均为二m. 1236 前面墙体的面积为3×兰 ,左右两面墙体的面积之和为2×3x=6x. 设甲工程队的报价为y元，则 y=40x36+150x6x+7200=1400+900x+720,x∈[2,4. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第8页（共12页） 因为14400 900x≥2 14400 .900x=7200, + 当且仅当14400 900x,即x=4时取等号，且4∈[2,4]， 所以当x=4时报价最低，最低报价为7200+7200=14400元. (2)乙工程队的报价为 900a(1+x) 2元，依题意对任意x∈2,4都有 x 900a(1+x)14400 +900x+7200. 两边同乘r0,得90a1+对-900E-8x+16j,即a任+4对xe,利恒废立 x+1 令1-+1eB,,则--3引-+9+6 x+1 t t 因为t+?在[3，]上单调递增，所以1=3（即x=2)时取最小值12， 故只需a<12,又a>0,所以a的取值范围为0<a<12. 18.(本小题满分17分)已知关于x的不等式x2+bx+c>0,其中a,b,c∈R (1)若不等式的解集为(x与S<2),求关于x的不等式m-2bx+4c≤0的解集： (2)若a=b,c=-1时，不等式的解集为O,求a的取值范围. (3)若b-a=c=-1,求该不等式的解集（解集用a表示） 【答案】(1){xx≤-4或x2-1):(2)[-4,0]: (3)当a>0时，解集为xK-1或x>):当a=0时，解集为xxK-1: 当-1Ka0时，解集为{x上-1： a 当a=-l时，解集为O:当a<-1时，解集为x-1s< a 【分析】(1)由解集形状确定a<0及两根，用韦达定理把b、c用a表示；(2)按a的符号讨论， K0时需判别式不大于零；(3)因式分解后，按a的符号与两根-1，二的大小分类讨论. 【解答】1)因为2+bx+c>0的解集为{x<K2y,所以a0,且}，2是方程m2+bx+c=0 的两根， 由韦达定理， 12_b,×2=:所以b=-20,c=a. a'2a 不等式x2-2bx+4c≤0化为ax2+5+4a≤0，即a(x+1)(x+4)≤0. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第9页（共12页） 因为a<0,所以(x+1)(x+4)≥0，解得x≤-4或x≥-1， 故所求不等式的解集为{xx≤-4或x≥-1). (2)当a=b,c=-1时，不等式为x2+ax-1>0 若>0，抛物线开口向上，不等式一定有解，不符合题意： 若a=0,不等式化为-1>0，无解，符合题意； 若a<0,抛物线开口向下，要使不等式无解，需△=a+4a≤0，解得-4≤a<0. 综上，a的取值范围为[-4,0]. (3)由b-a=c=-1得b=a-1,c=-1,不等式为ax2+(a-1)x-1>0, 即x°+x-x-1>0,也即(x+1)(x-1)>0,其两根为-1和二(a≠0). 当a心0时，>-1，且开口向上，解集为xxK-1或x>马： a 当a=0时，不等式化为-（x+1)>0,解集为xx<-1}: 当a0时，两边同除以a得(-x0。解集为两根之间的部分： 若-a0,测日-1，解集为后-： 若a=-1,则上=-1，不等式化为-(x+10,解集为②： 书1，则。1，解突工1 19.(本小题满分17分)我们约定：在平面直角坐标系中，当点(x,y)的坐标满足x+y=y时，称点 (x,y)为“靓点”.请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点P(x,y)为靓点”，则点Q(2-x,2-y)是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明： (2)当k>O时，求证：关于x的函数y=x+m(k,为常数)的图象上总存在两个不同的“靓点”： (3)已知关于x的二次函数y=ax2-4x+4a+2(4为常数)的图象上存在三个不同的“靓点”： (,乃)，（x2,乃)，(，)，且满足+y5+y=x+x+x,求a的值. 【答案】(1)是“靓点”，证明见解答；(2)证明见解答；(3)a=-2 【分析】(1)把2-x、2-y代入x+y=y的两边分别计算：(2)联立后得到关于x的二次方程，证 明判别式恒正：(3)联立消去y得到三次方程，因式分解后由“三个不同靓点”确定的范围，再用平方 和条件求a. 【解答】(1)Q(2-x,2-y)是“靓点”.证明如下： 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第10页（共12页） 因为P(x,y)为“靓点”，所以x+y=y. 而(2-x)+(2-y)=4-(x+y)=4-y, (2-x)(2-y)=4-2(x+y)+y=4-2y+y=4-y, 所以(2-x)+(2-y)=(2-x)(2-y),即Q(2-x,2-y)是“靓点. （2)设y=x+的图象上存在“靓点”(x,y),则x+y=y,即x+x+=x(x+m), 整理得x2+(-1-k)x-m=0. 其判别式△=(m-1-k)+4am=(m+k-1)+4k, 因为0，所以△>0，该方程有两个不相等的实根， 每个实根x对应唯一的y=+,故图象上总存在两个不同的“靓点”. (3)设“靓点”为(x,y),则x+y=xy,把y=x-4+4a+2代入，得 x+ax2-4ax+4a+2=ax-4ax2+4ax+2x, 整理得ax3-5ax2+(8a+1)x-（4a+2)=0. 因为x=2时上式成立，所以方程可分解为(x-2)(ax2-3x+2a+1)=0. 图象上存在三个不同的“靓点”，故a≠0，且ax2-3ax+2a+1=0有两个不等于2的不等实根， 其判别式△1=9a-4a(2a+1)=a(a-4)>0,即a<0或a>4； 又x=2时ax2-3ax+2a+1=1≠0，故x=2不是该方程的根. 设三个靓点的横坐标为书=2，x,5,令u=x-1,则y=1+1, 且4=1，，%是-+1=0的两根，其4，+4=1，u,4= 防--收及传立》 其中上+上+-1++=1+a, 41u343u43 ++1以1o--+1… (44)i 所以+店+y=+6; 又x+x号+x号=3+2(4+4+43)+(4+4+4)， 面%%-2.世11听-1》-2月 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第11页（共12页） 所以+x写+书=9-2 由题意a+6=9-2,即a-3a+2=0,分解得（a-1(a+2)=0,所以a=1或a=-2. 当a=1时a(a-4)=-3<0,不满足三个靓点的条件，舍去：当a=-2时a(a-4)=12>0,符合题意， 故a=-2. 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测第12页（共12页） 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测 学校：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 6．已知正实数，满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．设，是一元二次方程的两根，则等于（　　） A． B． C． D． 8．已知，且，记为的最大值，记为的最大值．已知，对任意，恒成立，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（　　） A． B． C． D． 10．下列命题是正确的是（　　） A．函数的定义域是 B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 11．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是______． 13．函数的值域为______． 14．、为正实数，若，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知集合，集合或，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）（1）计算：． （2）计算：． （3）已知，求的值． 17．（本小题满分15分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管室，由于保管室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知关于的不等式，其中，，． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 19．（本小题满分17分）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 北京师范大学淮安学校高一10月质量检测　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $