2026—2027学年人教版九年级数学上册期中学生自主练习卷（第25～27章）

2026——2027学年人教版九年级数学第一学期期中学生自主练习卷 （第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数第28章旋转） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面具有美好寓意的“福”、“禄”、“寿”、“禧”四个字的图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 6．一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（     ） A．小球速度平均每秒减少 B．小球滚动的总路程为 C．小球滚动最后走过的路程为 D．小球滚动时，用的时间是 7．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，下列选项正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分） 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 12．若是方程的一个根，则式子的值为________． 13．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 14．飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 15．如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 17．关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 18．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 四、解答题二(本大题共2小题，第19题9分，第20题9分，共18分） 19．如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 20．西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式； (2)若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题三(本大题共2小题，第21题12分，第22题13分，共25分） 21．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，求的周长； (3)当的面积等于面积的时，求点D的横坐标． 22．如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 23．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线过A、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于点M，交这条抛物线于点N．求当t取何值时，MN有最大值?最大值是多少? (3)在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标． 24．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年人教版九年级数学第一学期期中学生自主练习卷 （第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数第28章旋转） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面具有美好寓意的“福”、“禄”、“寿”、“禧”四个字的图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ 两边加，得， 即． 3．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：由题意得向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到原抛物线， ∴原抛物线解析式为， ∴， ∴，，． 4．已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴. 5．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． 6．一个小球以的速度开始向前滚动，均匀减速，后小球停止滚动．（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．）下列说法正确的是（     ） A．小球速度平均每秒减少 B．小球滚动的总路程为 C．小球滚动最后走过的路程为 D．小球滚动时，用的时间是 【答案】D 【详解】解：由题意得初速度为，均匀减速，后速度为， ∴每秒速度减少量为，故A错误； 滚动全程的平均速度， ∴总路程为，故B错误； 滚动时的速度为， ∴前的平均速度， ∴前的路程为， ∴最后的路程为，故C错误； 设滚动用时为，此时速度为，则这段时间的平均速度， ∵， ∴， 整理得，解得，， ∵小球后停止， ∴不符合题意，舍去，即用时，故D正确． 7．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，，， ∴， ∴． 8．普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程： ． 9．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 由二次函数 可知对称轴为直线 ． 选项A中：抛物线开口向下， ， 对称轴 ，应在 轴右侧，与图象矛盾． 选项B中：抛物线开口向上， ， ∵对称轴为直线 ， 对称轴应在 轴左侧，与图象矛盾． 选项C中： 抛物线开口向下， ， 直线 应随 增大而减小，与图象矛盾． 选项D中： 抛物线开口向上， ， 对称轴 ，且直线 随 增大而增大，与 轴交点 在负半轴，与图象相符． 故选：． 10．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，下列选项正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵由图象可知，抛物线开口向上， ． ∵抛物线与轴交于负半轴， ． ∵对称轴为直线， ， 即，故③正确． ， ， ，故②正确． ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ，故④正确． 当时，图象在轴下方， ，故①正确． 综上所述，①②③④正确． 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分） 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 12．若是方程的一个根，则式子的值为________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为． 13．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 14．飞机着陆后，滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）满足函数表达式，则飞机在着陆滑行中，最后滑行的距离是__________． 【答案】 【详解】解：先对函数表达式配方得： ， ∵二次函数开口向下，顶点处取得最大值， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行后停止，总滑行距离为， 计算时的滑行距离： 因此最后滑行的距离为 15．如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1）解：原方程化为． 因式分解，得． 或． 解得，． （2）解：去括号，得， 合并同类项，得． 因式分解，得． 或． 解得，． 17．关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2)14 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴的周长为． 18．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)求出的面积．（每个小正方形边长为1）． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，沿三角形的顶点构造矩形， ， ， ∴的面积是． 四、解答题二(本大题共2小题，第19题9分，第20题9分，共18分） 19．如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点． (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【答案】(1)，8 (2) (3)或 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． （2）由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． （3）当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 20．西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式； (2)若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元 【详解】（1）解：设， 将，代入得， 解得， ． （2）解：设利润为W元， ，且， ∴函数的对称轴为直线， ∵二次函数图象开口向下，且 ∴当时，（元）， ∴当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元． 五、解答题三(本大题共2小题，第21题12分，第22题13分，共25分） 21．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，求的周长； (3)当的面积等于面积的时，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图①，由抛物线的解析式可知抛物线对称轴为直线． ∵轴， ∴点D与点C关于直线对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ， 过点D作轴于点E， ∵， ∴， ， ∴的周长为； （3）解：如图②，过点D作轴于点F，交于点G， 设所在直线的解析式为， 将代入得解得 ∴所在直线的解析式为， 设，则， ， ∵， ， ，， ，整理得，解得， ∴点D的横坐标为1或3． 22．如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【答案】(1)①； ②证明：如图2， 由①可得，， ∵， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【详解】（1）①解：如图1， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴，，， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴的度数为． ②略 （2）解：如图3， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线过A、B两点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于点M，交这条抛物线于点N．求当t取何值时，MN有最大值?最大值是多少? (3)在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标． 【答案】(1) (2)当时，MN有最大值，MN的最大值为1 (3)点D的坐标是或或． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A的坐标是（0，2）、点B的坐标是（2，0） ∵抛物线过A、B两点 ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：直线与直线的交点M的坐标是． 直线与抛物线的交点N的坐标是． ∴， ∴当时，MN有最大值，MN的最大值为1 （3）解：以M、A、N、D为顶点可作一个平行四边形，D点的可能位置有三种情形， 当D不在y轴上时，如下图， 当时，点M的坐标是（1，1），点N的坐标是（1，2）． ∵点A的坐标是（0，2）， ∴点A与点N的纵坐标相同， ∴轴． ∵四边形AMDN是平行四边形， ∴，轴， ∴点 的坐标是（2，1）； 当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）， 由（2）可知，，，，如上图， 由， 得 ， 解得，， ∴， ． 综上所述，点的坐标为或或． 24．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $