期中培优：利用菱形的性质求解、利用菱形的性质证明、菱形的判定与性质综合专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

期中培优：利用菱形的性质求解、利用菱形的性质证明、菱形的判定与性质综合专项训练 期中培优：利用菱形的性质求解、利用菱形的性质证明、菱形的判定与性质综合专项训练 考点目录 利用菱形的性质求解 利用菱形的性质证明 菱形的判定与性质综合 考点一 利用菱形的性质求解 例1．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，可得，再根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由平移的性质得：， ∴． 例2．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，菱形中，，，则菱形的周长是（   ） A．10 B．20 C．40 D．96 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出对角线一半的长度，再借助勾股定理求出菱形边长，最后计算周长． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， 在中， ． 菱形的周长为． 例3．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】根据，和菱形对角线的性质可求长，进而求出菱形面积，再用等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 例4．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．小宝想求家里“中国结”挂饰的面积，于是利用所学的知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和已知条件，推出等边，从而求出长度，结合勾股定理求出的长度，即可知道长度，最后利用菱形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：为菱形， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 变式1．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，进而得到，再根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ． 变式3．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长． 【详解】解：菱形中，有，， ， ． ， ， ，， ， ． 变式4．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）在菱形中，，较长的一条对角线，则这个菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】已知菱形一个内角为和较长对角线长，利用菱形对角线互相垂直平分、平分内角的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：如图，设对角线和相交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，平分， ∴， 设，则， 由勾股定理得，代入得 ， 整理得，解得（舍去负根）， ∴， ∴， ∴ 菱形的面积为． 考点二 利用菱形的性质证明 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点． (1)请你判断和的数量关系，并说明理由； (2)过点作交的延长线于点，当，时，求的周长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据四边形是菱形，得出，，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）根据菱形性质可得：，，先在中求出，再证明四边形是平行四边形，进而得出、，由此即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长 ， 即的周长是． 例2．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在菱形中， ， ， ， ． ， ， ． (2)证明：在菱形中， ， ， 为中点， ． ， ． ， ， ．     ， ，． ， ∴． (3) 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ，     由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，．   ，， ∴四边形为平行四边形， ，     为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． 例3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放．小明发现重叠部分（四边形）是菱形，并进行如下所示的推理． 如图，过点A分别作的垂线，垂足分别为点E，F，则． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (1)小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“”和“四边形是菱形”之间作补充，下列说法正确的是_________． A．应补充， B．小明的推理严谨，不必补充 C．应补充： D．应补充： (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)A (2) 【分析】（1）首先回忆菱形的判定定理，已知四边形是平行四边形，要判定其为菱形需证明一组邻边相等；因为分别是平行四边形两组对边上的高，所以可通过平行四边形面积公式建立邻边与高的关系，结合推导邻边相等． （2）首先由菱形性质得到，结合，可求出的长度，的度数；由求出的度数，由，根据同旁内角关系求出度数，即可求出的度数，进而判断的形状；根据与的关系即得结果． 【详解】（1）解：菱形的判定要求“一组邻边相等的平行四边形是菱形”， 小明仅知道平行四边形的两组高，没有直接推导得出邻边相等的结论，推理不严谨． 根据平行四边形的面积计算方法，，结合已知，可推出，得到一组邻边相等，才能判定平行四边形是菱形．说法A正确． 选项B认为推理严谨是错误的， 选项C是菱形的性质而非判定条件， 选项D是矩形的对角线特征， 因此选A． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 同理，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 变式1．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）利用菱形对边平行且相等，结合，证得与平行且相等，得到四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形性质得到，再由菱形对角线互相垂直，在直角三角形中算出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得四边形为平行四边形， ，， ， 四边形为菱形， ， ， ． 变式2．（26-27九年级上·安徽宿州·开学考试）如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E，使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ． 在和中， ，，， ． (2)10 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据菱形的性质得出，，设，则．根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ∵四边形是菱形， ，．                 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：， ． 变式3．（26-27九年级上·黑龙江双鸭山·阶段检测）在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)如图1，若点是边的中点，线段与之间的数量关系为__________． (2)如图2，若“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于点，（1）中结论是否仍然成立？请直接回答图2和图3的结论是否成立，并选择其中一种情况说明理由． 【答案】(1) (2)图2和图3的结论均成立． 情况1：当点为上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 情况2：当点为射线上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）①利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可；②利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）略 考点三 菱形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分，点为延长线上一点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：，， ∴四边形为平行四边形，． 平分， ， ， ， ∴四边形为菱形． (2)20 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，等角对等边得出，即可证明四边形为菱形． （2）由菱形的性质得出，由勾股定理的逆定理得出，然后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为菱形， ． ，， ， ，， ∴菱形的面积． 例2．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接，点、分别为、的中点，连接、，已知为等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵点、分别为、的中点， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵为等边三角形 ∴ ∵点、分别为、的中点， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先根据三角形中位线定理结合已知证明四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，则，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质可得，，然后由三角形中位线定理得到，再由度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，而 ∴ 由（1）知为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴ ∴． 例3．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，根据中位线的性质得出，，最后根据勾股定理求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 变式1．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，求的长． 【答案】(1)∵平行四边形的对角线交于， ∴． ∵经过点被平分， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形为菱形． (2) 【分析】（1）首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到，结合被平分的条件，可推出四边形对角线互相平分，因此先判定其为平行四边形．再结合平分的角平分线条件，结合平行时的内错角相等关系，可推导得到邻边相等，因此可判定该平行四边形为菱形． （2）由菱形性质可得与垂直，结合是中点的条件，可推导出是的中位线，得到与的位置关系和数量关系，进而得到为直角．利用勾股定理计算的长度，即可得到的长度． 【详解】（1）略． （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴, ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴ ，． ∴． ∴． ∴． 变式2．（26-27九年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当边、满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】(1)证明：在中，是边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； (2)解：当时，四边形是菱形；理由如下： ，是边的中点， ， ， ∵四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【分析】（1）由已知条件，据证得，再由平行四边形的判定证明即可； （2）由，是边的中点，可知，所以、互相垂直，然后根据菱形的判定定理，可得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）综合与探究 问题情景：数学课上，某小组对平行四边形中的折叠问题进行了探究，如图，在中，，，，点是边上一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． (1)操作发现： 如图1，点恰好落在对角线上． ①请你在图1中，用尺规作出折痕，连接，； ②_______，________ (2)小组成员发现，折叠后四边形一定是菱形，请你证明这个结论； (3)拓展延伸： 连接，，如图2，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)①如图所示，即所求． ②， (2)证明：由折叠的性质可知：,, , , , ， ， 为等边三角形， , , ∴四边形为菱形． (3)或 【分析】（1）①先连接，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，即所求，连接； ②由平行线的性质求出，即可求出邻补角，再由折叠的性质即可求出，即可求出的度数； （2）由折叠的性质得，再证得为等边三角形，得，利用四边相等的四边形是菱形即可证得； （3）分类讨论直角顶点，利用平行四边形的性质结合含角的直角三角形和勾股定理求出线段的长． 【详解】（1）解：①略 ②由折叠的性质可知：， ， ， ， ， ， ， （2）略 （3）当时，， ， 设，则， ，解得， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； 当时，， 设，则， 解得， ， ， 如图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用菱形的性质求解、利用菱形的性质证明、菱形的判定与性质综合专项训练 期中培优：利用菱形的性质求解、利用菱形的性质证明、菱形的判定与性质综合专项训练 考点目录 利用菱形的性质求解 利用菱形的性质证明 菱形的判定与性质综合 考点一 利用菱形的性质求解 例1．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，菱形中，，，则菱形的周长是（   ） A．10 B．20 C．40 D．96 例3．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（    ） A． B．2 C． D．2 例4．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．小宝想求家里“中国结”挂饰的面积，于是利用所学的知识抽象出如图2所示的菱形，测得，，则菱形的面积为________． 变式1．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E是边上一点，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在菱形中，，边长为，则对角线的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式4．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）在菱形中，，较长的一条对角线，则这个菱形的面积为_______． 考点二 利用菱形的性质证明 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点． (1)请你判断和的数量关系，并说明理由； (2)过点作交的延长线于点，当，时，求的周长． 例2．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． (1)如图，求证：． (2)如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． (3)如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 例3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，将两张宽度相同的矩形纸条交叉叠放．小明发现重叠部分（四边形）是菱形，并进行如下所示的推理． 如图，过点A分别作的垂线，垂足分别为点E，F，则． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． (1)小芳认为小明的推理不严谨，她认为应在“”和“四边形是菱形”之间作补充，下列说法正确的是_________． A．应补充， B．小明的推理严谨，不必补充 C．应补充： D．应补充： (2)若，，连接，求的长． 变式1．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 变式2．（26-27九年级上·安徽宿州·开学考试）如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E，使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式3．（26-27九年级上·黑龙江双鸭山·阶段检测）在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)如图1，若点是边的中点，线段与之间的数量关系为__________． (2)如图2，若“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”？如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于点，（1）中结论是否仍然成立？请直接回答图2和图3的结论是否成立，并选择其中一种情况说明理由． 考点三 菱形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分，点为延长线上一点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 例2．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接，点、分别为、的中点，连接、，已知为等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 例3．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 变式1．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，求的长． 变式2．（26-27九年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当边、满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 变式3．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）综合与探究 问题情景：数学课上，某小组对平行四边形中的折叠问题进行了探究，如图，在中，，，，点是边上一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． (1)操作发现： 如图1，点恰好落在对角线上． ①请你在图1中，用尺规作出折痕，连接，； ②_______，________ (2)小组成员发现，折叠后四边形一定是菱形，请你证明这个结论； (3)拓展延伸： 连接，，如图2，当是直角三角形时，请直接写出的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $