精品解析：陕西安康市旬阳县公馆初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期末素养测评卷

（人教版）2025秋季八年级数学期末素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：上册完） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列是部分银行的标志图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要与两根长分别为和的木棒围成一个三角形，则第三根木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 3. 氢气被誉为“21世纪终极能源”，是一种二次清洁能源，主要应用于动力汽车、燃料电池等领域．一个氢原子的半径约为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A. 3或9 B. 3或4 C. 或6 D. 或9 8. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：_________________． 10. 命题“若，则”的逆命题是___________________． 11. 若点与点关于轴对称，则的值为__________________． 12. 新能源汽车作为一种清洁、可持续的交通工具，越来越受到人们的关注和青睐．某小区为加强公共充电基础设施的建设，物业公司计划购买单枪、双枪两种型号的充电桩．已知单枪充电桩比双枪充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等．则单枪型号充电桩的单价是___________万元． 13. 如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 14. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 _____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 化简：． 17. 解方程：． 18. 如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使的面积是的面积的倍．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，与的边与在同一条直线上，于点于点，若用“”证明，请你添加一个合适的条件，并写出证明过程． 20. 先化简，然后再从中，选择一个合适的数代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 22. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，请写出你的结论并证明． 23. 为进一步推动“双减”工作落地生效，切实减轻学生课业负担，某校从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，该校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的长方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余部分进行绿化． （1）用含，的式子表示绿化部分的面积（结果需化简）； （2）若，，每平方米绿化的费用为元，求绿化所需要的总费用． 24. 如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． （1）当点为的中点时，求证：； （2）线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 25. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决整式的一些问题，观察下列式子； ①． ， ，因此式子有最小值； ②． ， ，因此式子有最大值4． 请你根据上述材料，完成下列问题： （1）求式子的最小值； （2）求式子的最大值． 26. 【问题探究】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数； 【问题解决】 （2）如图，四边形为某小区的平面示意图，、为两条人行通道（宽度不计），且区域为等腰直角三角形，，物业工作人员计划在人行通道上的点、两处分别修建一个凉亭，并沿铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，区域应为等腰直角三角形，且，于点，为了精准预算，物业工作人员需要知道的度数和、、这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出的度数和、、这三条线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （人教版）2025秋季八年级数学期末素养测评卷 （满分：120分；时间：120分钟；范围：上册完） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列是部分银行的标志图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 2. 要与两根长分别为和的木棒围成一个三角形，则第三根木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设第三根木棒的长为． ∵三根木棒构成三角形． ∴． 即． 选项中仅满足条件． 3. 氢气被誉为“21世纪终极能源”，是一种二次清洁能源，主要应用于动力汽车、燃料电池等领域．一个氢原子的半径约为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把通分后相减即可得答案. 【详解】解：原式 ． 5. 将一副直角三角板（和）按如图所示方式叠放在一起，，边与在一条直线上，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出和的度数，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解： 边与在一条直线上 如图， 在中， 与是对顶角 ． 6. 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 7. 若关于的多项式是一个完全平方式，则的值是（ ） A. 3或9 B. 3或4 C. 或6 D. 或9 【答案】D 【解析】 【分析】先合并同类项，再根据完全平方式的结构特征列方程求解． 【详解】解：合并同类项得， ∵ 该多项式是完全平方式，且， ∴ ， 即或， 解得或． 8. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需结合整式方程的解为正、解不为增根两个条件求的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘（），得． 整理得． 解得． ∵方程的解为正数 ∴． 解得． ∵ ∴． 解得． ∴的取值范围是且． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：_________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 命题“若，则”的逆命题是___________________． 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题考查逆命题的定义，将原命题的条件与结论互换，即可得到它的逆命题． 【详解】原命题条件：，结论：； 互换条件和结论，得到逆命题：若，则． 11. 若点与点关于轴对称，则的值为__________________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 12. 新能源汽车作为一种清洁、可持续的交通工具，越来越受到人们的关注和青睐．某小区为加强公共充电基础设施的建设，物业公司计划购买单枪、双枪两种型号的充电桩．已知单枪充电桩比双枪充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等．则单枪型号充电桩的单价是___________万元． 【答案】 【解析】 【分析】设单枪型号充电桩的单价为万元，则双枪充电桩的单价为万元，根据“用18万元购买单枪充电桩的数量与用27万元购买双枪充电桩的数量相等”建立分式方程求解． 【详解】解：设单枪型号充电桩的单价为万元，则双枪充电桩的单价为万元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：单枪型号充电桩的单价是万元． 13. 如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴， 即的面积为． 14. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形面积公式可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长，即当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接，， ∵等腰三角形的底边长为4，点D为底边的中点， ∴，， ∵等腰三角形的面积是14， ∴，即， ∴， ∵腰的垂直平分线分别交，于点E、F， ∴， ∴的周长， ∴当点、、在同一直线上，且时，的周长最小，为， 即的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的定义计算，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 18. 如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使的面积是的面积的倍．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】作的平分线交于点，根据角平分线性质知点到，的距离相等，由可知的面积是的面积的倍． 【详解】解：以点为圆心，以长为半径画弧交于点；分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交于点，点就是所求的点． 理由：过点作，，交射线，于点，， 由作法知，平分， ∴， ∵，，， ∴的面积是的面积的倍． 19. 如图，与的边与在同一条直线上，于点于点，若用“”证明，请你添加一个合适的条件，并写出证明过程． 【答案】 添加条件： 证明：于点， ． 于点， ． 与都是直角三角形． 在和中，，， ． 【解析】 【分析】两三角形已有一组直角边所在角为直角，斜边已知；由判定只需再补一条直角边相等，故添加（或）即可证全等． 【详解】略 20. 先化简，然后再从中，选择一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为 ；当 时，原式的值为 (答案不唯一)． 【解析】 【分析】先将括号内通分合并为一个分式，再把除法转化为乘法，约分后得到最简结果；取值时要保证原式有意义，即分母及作为除数的分式均不为零． 【详解】解：原式     ． 原式有意义需 且 ， 且 ． 从 ，，，， 中，若取 (满足取值范围)，则原式 ．若取 (满足取值范围)，则原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）因为关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，所以先根据该坐标变换规律求出的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接三点即可得到． （2）因为和全等，面积相等，所以可以通过割补法，用包含的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴关于轴对称的对应点坐标：，，， 在坐标系中描出这三个点，再依次连接、、，即可得到． 【小问2详解】 解：把三角形放在一个能完全包裹它的矩形内， 该矩形横向占3个单位、纵向占4个单位，面积为； 再减去矩形内三个多余直角三角形的面积： 左上角直角三角形面积： 左下角直角三角形面积： 右侧直角三角形面积： ， ∴的面积． ∴的面积为4． 22. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．试探索BF与CF的数量关系，请写出你的结论并证明． 【答案】BF=2CF． 【解析】 【分析】连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF，于是得到结论． 【详解】解：BF=2CF． 证明：连接AF， ∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°， ∵EF垂直平分AC， ∴AF=CF， ∴∠CAF=∠C=30， ∴∠AFB=∠CAF+∠C=60°， ∴∠BAF=180°﹣∠B﹣∠AFB=90°， ∴BF=2AF， ∴BF=2CF． 考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 23. 为进一步推动“双减”工作落地生效，切实减轻学生课业负担，某校从学校实际出发，积极优化课后服务课程设置，丰富各类教育资源，统筹整体时间安排．如图，该校园内有一块长为，宽为的长方形地块，学校计划在中间留一块长为，宽为的长方形地块修建一个乒乓球场地，然后将剩余部分进行绿化． （1）用含，的式子表示绿化部分的面积（结果需化简）； （2）若，，每平方米绿化的费用为元，求绿化所需要的总费用． 【答案】（1）绿化部分的面积为 （2）绿化所需要的总费用为元 【解析】 【分析】（1）绿化部分的面积等于长方形场地的面积减去长方形的乒乓球场地面积； （2）将，代入（1）求出的代数式，求出绿化面积，再乘以每平方米的花费即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 绿化的面积为： 答：绿化部分的面积为； 【小问2详解】 解：当，时，， （元）， 答：绿化所需要的总费用为元． 24. 如图，在中，，D是边上任意一点，连接，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，是的边上的高． （1）当点为的中点时，求证：； （2）线段、、的长度之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中，， ， ； （2），理由如下， ，，，， ， ， ， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）等边对等角，用证明，根据全等的性质得到； （2）等面积法，，，，，代入进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决整式的一些问题，观察下列式子； ①． ， ，因此式子有最小值； ②． ， ，因此式子有最大值4． 请你根据上述材料，完成下列问题： （1）求式子的最小值； （2）求式子的最大值． 【答案】（1）最小值为 （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）仿照例题化为的形式，由平方项非负求最小值； （2）先提取负号，再仿照例题化为的形式，由平方项非正求最大值． 【小问1详解】 解：． ， ． 当时，该式子取得最小值． 【小问2详解】 解： ． ， ． 当时，该式子取得最大值． 26. 【问题探究】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数； 【问题解决】 （2）如图，四边形为某小区的平面示意图，、为两条人行通道（宽度不计），且区域为等腰直角三角形，，物业工作人员计划在人行通道上的点、两处分别修建一个凉亭，并沿铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，区域应为等腰直角三角形，且，于点，为了精准预算，物业工作人员需要知道的度数和、、这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出的度数和、、这三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质，通过角的等量代换证明，得出角的关系，再结合等边三角形及平角相关角的度数，计算 ． （2）先证，得到边与角的关系，结合等腰直角三角形角的度数、平角及直角三角形性质，求出 ，并推导、、的数量关系 ． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上，的度数为，、、这三条线段之间的数量关系是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和特殊三角形角与边的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $