精品解析：陕西安康市石泉县后柳初级中学2025-2026学年度第一学期期末质量检测试卷八年级数学

2025-2026学年度第一学期期末质量检测试卷 八年级数学 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图标中是轴对称图形的是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一艘船从某港口A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西的方向上，如果这艘船上午8时从港口A出发，上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西的方向上，那么小岛B与礁石C的距离是（ ） A. 40海里 B. 30 海里 C. 20 海里 D. 10 海里 7. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送本农村实用书籍，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则__________． 12. 因式分解：__________． 13. 如图，若把一张正方形的纸片沿着各边都剪去宽的一条，则所得小正方形的面积比原正方形的面积减少，则原正方形的边长______． 14. 如图，，，连接，交于点．若，，则______ ． 15. 如图，在第1个中，；在边上任取一点．延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个按此法继续下去，________________第个以为顶点的三角形的底角度数是________________ 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算和解分式方程． （1）计算：． （2）解分式方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. (1)如图，在平面直角坐标系中，请画出关于轴对称的，并写出三点的坐标；(其中分别是，，的对应点，不写画法) (2)求的面积． 19. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？ 20. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，求的度数和长． 21. 如图，在四边形中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）点在上，连接，若，请判定是否平分？并说明理由． 22. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台． （1）求型仪器单价分别是多少元； （2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用． 23. 如图1，P，Q分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，都以的速度分别向点B，C运动． （1）连接，相交于点M，则在点P，Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （2）当点P，Q运动的时间为多少时，为直角三角形？ （3）如图2，若点P，Q运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点M，则的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测试卷 八年级数学 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图标中是轴对称图形的是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】D 【解析】 【详解】A. 不是轴对称图形，故本选项错误； B. 不是轴对称图形，故本选项错误； C. 不是轴对称图形，故本选项错误； D. 是轴对称图形，故本选项正确； 故选D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示较小的数的方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 4. 若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可，也是解题关键． 【详解】解：由题意得：它的第三边长小于，大于， ∴A、B、C选项都可能，只有D选项不可能． 故选D． 5. 如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据AD是三角形的高，得到∠BDF=∠ADC=90°，故可根据HL可以判定． 【详解】∵AD是三角形的高， ∴∠BDF=∠ADC=90°， ∵BF=AC，FD=CD， ∴（HL）， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 6. 如图，一艘船从某港口A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口A处测得一礁石C在北偏西的方向上，如果这艘船上午8时从港口A出发，上午10时到达小岛B，此时在小岛B处测得礁石C在北偏西的方向上，那么小岛B与礁石C的距离是（ ） A. 40海里 B. 30 海里 C. 20 海里 D. 10 海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角，外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定；根据外角的性质可证明，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意可得：海里， ，， ， ， 海里． 故选：． 7. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质可得，进而可求的周长． 【详解】解：由折叠可得， ， 的周长为， 故选：A． 8. 为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送本农村实用书籍，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书可得出每个B型包装箱可以装书本，利用数量=总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书， ∴每个B型包装箱可以装书本． 依题意得： 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程． 9. 如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据，得到，即可判断A项，根据题意证明，由等腰三角形性质得到，由角平分线性质得到，推出,即可判断B、D项，根据题意继续推出，即可判断C项． 【详解】解：， ， 即， A项正确，不符合题意． ，， ， ， 又， ， 平分， ， ， ，， B、D项正确，不符合题意． ，， ， ， ， ， C项错误，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、等腰三角形性质、平行的判定定理、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为需同时满足分子等于，分母不等于，先求出分子为时的取值，再排除使分母为的解即可． 【详解】解：∵ 分式的值为 ， ∴ 令，解得或， 又∵ 分母，即， ∴ 舍去， ∴． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：先提取原式的公因式，得， ， 利用平方差公式分解得， 因此． 13. 如图，若把一张正方形的纸片沿着各边都剪去宽的一条，则所得小正方形的面积比原正方形的面积减少，则原正方形的边长______． 【答案】 【解析】 【分析】设出大正方形的边长为，用大正方形的面积减去小正方形的面积使其等于，即可求出的值．此题考查了正方形的剪纸问题，以及完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．能够正确找到题目中的等量关系，是解决此题的关键． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 即， 解得：， 则原正方形的边长为． 故答案为： 14. 如图，，，连接，交于点．若，，则______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定；先证明是的垂直平分线，可求出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，， 是的垂直平分线， ， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：6． 15. 如图，在第1个中，；在边上任取一点．延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个按此法继续下去，________________第个以为顶点的三角形的底角度数是________________ 【答案】 ①. ##75度 ②. 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可得：，， ∴第个以为顶点的三角形的底角度数是； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角以及图形类规律探究，解题的关键是熟练掌握等边对等角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算和解分式方程． （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合完全平方公式，以及平方差公式计算求解即可； （2）先去分母将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：去分母，得， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键；先算分式的减法，再算分式的除法，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18. (1)如图，在平面直角坐标系中，请画出关于轴对称的，并写出三点的坐标；(其中分别是，，的对应点，不写画法) (2)求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同的长度，线段的端点就是要找的三顶点的对应点，顺次连接；从画出的图形上找出新图形的三顶点的坐标； （2）用包含的最小矩形面积减去三个直角三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求 ； （2）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的画法及网格内的面积的求法，数形结合解题的关键． 19. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？ 【答案】 在和中， ， ， ． 即的长就是A，B的距离． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】略 20. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，，求的度数和长． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及角平分线的性质，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出，，再根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形中，． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）点在上，连接，若，请判定是否平分？并说明理由． 【答案】（1）如图所示： （2） 平分． 理由如下： 由作法知，， ， ，， ， ，， ，， ，即平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线定义与判定，涉及基本尺规作图-作角平分线、平行线性质、互余的定义及角平分线判定等，掌握基本尺规作图及角平分线判定是解决问题的关键． （1）根据基本尺规作图-角平分线作法即可得到答案； （2）根据角平分线定义及平行线性质，结合互余得到即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某 校 计 划 购 买两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台． （1）求型仪器单价分别是多少元； （2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？求A型仪器最少购买量时购买两种仪器的总费用． 【答案】（1）每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元 （2）A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元 【解析】 【分析】（1）设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元，根据“用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台”列分式方程即可求解； （2）设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意列不等式，求解即可. 【小问1详解】 解：设每台B型仪器的价格为x元，则每台A型仪器的价格为元， 根据题意得，， 解得． 经检验，是原方程的解． ， 答：每台A型仪器的价格为45元，每台B型仪器的价格为30元； 【小问2详解】 解：设购买x台A型仪器，则购买台B型仪器，根据题意得， 解得． 当时，总费用（元）． 答：A型仪器最少需要购买20台，此时总费用为3300元． 【点睛】本题考查了分式方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型． 23. 如图1，P，Q分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，都以的速度分别向点B，C运动． （1）连接，相交于点M，则在点P，Q运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （2）当点P，Q运动的时间为多少时，为直角三角形？ （3）如图2，若点P，Q运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点M，则的度数为 ． 【答案】（1）在点P，Q 运动的过程中，的大小不变，它的度数为 （2）当点P，Q运动的时间为或 时，为直角三角形 （3） 【解析】 【分析】(1)由“”可证，可得，由外角的性质可求； (2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解； (3))由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【小问1详解】 解：不变，理由如下， 点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， ， 是边长为的等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， 故的大小不变，它的度数是； 【小问2详解】 解：设时间为秒，则(厘米)，(厘米)， 当时， ， ∴， ，得4， ， 当时， ， ∴， ，得， ， 当第秒或第秒时，为直角三角形； 【小问3详解】 解：在等边三角形中，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质，三角形内角和，解一元一次方程等知识，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $