精品解析：安徽合肥滨湖寿春中学2027届高三上学期第一次阶段检测数学试题

合肥滨湖寿春中学2027届高三上学期第一次阶段检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，限定出的范围即可比较出它们的大小. 【详解】根据题意可知，即可得； 由对数函数在上单调递增可知， ，即； 且，所以. 故选：A 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 6. 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数a 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增；当时，单调递减，把原不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 令，则，可得， 因为，所以为偶函数； 即函数的图象关于对称； 由，则， 当时，，单调递增，即时，单调递增； 当时，，单调递减，即时，单调递减； 由不等式，可得，即， 所以不等式对任意恒成立，可以转化为： 不等式恒成立，即恒成立； 即的解集为，转化为，解得； 结合选项可得B合适. 7. 已知实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，令，则，作出的函数图象，根据图象即可判断. 【详解】，则，令， 则， 如图，当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 8. 最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】​的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为.​ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 当时，点为曲线的对称中心 D. 当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性. 【详解】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 10. 已知函数，，则下列描述正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 既无最大值，也无最小值 C. 的最大值为2 D. 的最小值为-1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB选项，利用基本不等式即可验证求解；对于CD选项，转换代数式，利用判别式法即可求解. 【详解】已知函数，因此其定义域为， 因为，所以，整理得，，其中，， 对于A选项和B选项，因为，因此，同号， 当，时，由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，此时有最小值2， 当时，，，无最大值， 当，时，令，，则，， 同理可得，即，但当时，分母无意义，因此 而此时，易知无最小值， 综上既无最大值，也无最小值，故B选项正确， 对于C选项和D选项，由，得， 因此代入表达式化简， 令，整理为关于的一元二次方程，得， 当时，，即，有解，故符合条件， 当时，判别式，化简得， 即， 当时，方程为，此时，，均满足定义域，故最大值为2， 当时，方程为，此时，不满足定义域，故取不到， 因此的取值范围是， 因此C选项正确. 11. 设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法逐项分析，判断选项ABC，利用周期性求解选项D. 【详解】对于A：令，得，因为，所以，A错误； 对于B：令，得，因为，，所以， 令，所以，所以，B正确； 对于C：令，因为，所以， 所以，所以，，C正确； 对于D：因为，，所以的周期为4. 若，则，所以； 若，则，所以， 所以，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性、对数函数的定义域列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】在上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知， 则. 所以的取值范围是. 故答案为： 13. 已知正实数，满足，则的最小值为_______ 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用已知替换所求式中的常数，将原式化简为，再通过乘""法构造基本不等式的适用形式求解最小值. 【详解】已知正实数，满足，所以，且，， 因为 ， ， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 将代入，解得，，均满足正实数条件， 所以， 即所求最小值为. 14. 已知函数，若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，画出草图，令，解方程可得或，结合图象分析，列出不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 有极小值， 当时，，所以， 当时，，所以， 令，则原方程变形为， 即，解得或， ，所以， 所以当且时，方程恰有4个根， 解得，所以的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，． （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数的定义域为，值域为，求实数a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由复合函数的单调性“同增异减”求解，注意定义域； （2）由函数定义域为，可知的，值域为则最小值为1，解出实数a的值. 【小问1详解】 在上单调递增，且为复合函数，单调递增， 所以，只需在上单调递增，对称轴，又在恒成立， 所以，故. 【小问2详解】 函数的定义域为，则恒成立，，又值域为， 所以的最小值为1，故或. 16. 已知函数， （1）解关于a的不等式； （2）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （3）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取直范围． 【答案】（1）（2）或（3）或 【解析】 【分析】（1）由得：，解一元二次不等式即可； （2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值 （3）对，恒成立等价于，转求最值即可． 【详解】（1）由得：. ∴ 解集为 （2）由即， 可知1与3是方程两实根 故或 （3）对，恒成立等价于 即，满足 设，， ， 当且仅当 即时“=”成立 故， 或 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题． 17. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求，再求，即得的值，再求，从而得到切线的点斜式方程，进而得到的一般方程； （2）结合（1）及分离参数得到，再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到最小值，进而即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， 则切线的斜率为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 结合（1）得，又， 则，整理得， 令，则， 由于为上的单调递增函数，且当时，， 故当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为． 18. 已知函数（，），，为实数. （1）解关于的不等式； （2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若，函数在区间上的最小值为.求的值. 【答案】（1） 当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为. （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）对底数进行分类讨论，解不等式即可求得结果； （2）依题意可得，结合函数单调性解不等式可得在上恒成立，再利用二次函数性质求解即可； （3）易知，利用换元法将求解函数的最值问题转化成为二次函数在定区间上的最值问题，再进行分类讨论解方程可得. 【小问1详解】 由题意得，即，， 因，所以，即 当时，不等式的解集为, 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意，即, 又,解得，则在上单调递减， 在上单调递增，所以在上单调递减. 又定义域为，， 所以函数为奇函数. 不等式可化为， 因为在上单调递减，所以原不等式转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 令, 则，即，解得， 所以实数的取值范围为; 【小问3详解】 由题意，解得或（舍）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 当时，，即. 函数 ，， 令，设， 当时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 即，解得（舍） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，函数取最小值，解得或（舍） 综上，. 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）证明：，． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：因为，， 所以，即． 当时，． 设，， 则． 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以，即原不等式成立． （3）证明：令，， 则． 由（2）知，当时，， 所以． 所以 ． 所以在上单调递增． 因为当时，，所以当时，， 即，． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. （2）构建函数，，利用导数分析的单调性，利用单调性证明即可. （3）构造函数，，利用导数分析的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，则． 令，得． 因为，所以，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减； 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥滨湖寿春中学2027届高三上学期第一次阶段检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 ， 若不等式 对任意恒成立，则实数a 的取值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A. B. C. D. 8. 最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有两个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 当时，点为曲线的对称中心 D. 当时，在区间上单调递增 10. 已知函数，，则下列描述正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 既无最大值，也无最小值 C. 的最大值为2 D. 的最小值为-1 11. 设是定义在整数集上的函数，且满足，对任意的都有，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为_______ 14. 已知函数，若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，． （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若函数的定义域为，值域为，求实数a的值． 16. 已知函数， （1）解关于a的不等式； （2）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （3）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取直范围． 17. 已知函数，． （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数（，），，为实数. （1）解关于的不等式； （2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若，函数在区间上的最小值为.求的值. 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $