精品解析：北京市西城区德胜中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

北京市西城区德胜中学2026－2027学年度第一学期 初三年级数学学科活动 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.是中心对称图形，故该选项符合题意； C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 抛物线，当，时，它的图象经过直角坐标系中的第（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据，可知抛物线必过一、二象限，判断出顶点坐标所在象限，即可作答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵，， ∴，即抛物线对称轴在轴的右侧， ， 即顶点坐标在第四象限，图象经过第一、四象限； 当时，，图象经过第二象限； 当时，， 解得,, ∴抛物线不与x轴的负半轴相交， ∴抛物线的图象经过直角坐标系中的第一、二、四象限， 故选：B． 3. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（ ） A. 22.5 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合，即． 故选：C． 4. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质． 【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1， ∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负解答即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， 解得， ∴ 且． 故选：D． 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将、、分别代入，得，，， ∵， ∴. 7. 如图，是某高速路上的测速区间，小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在此路段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图），已知这条高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定驾驶小型载客汽车通过该测速区间段的时间可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式． 先根据图象求出反比例函数解析式，再求出当时，的取值范围，即可求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， ∵由图可知，反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵据题意可知，， ∴，解得：， 故选：B． 8. 二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程． 根据对称轴可得，由点A和点B的函数值符号可得，进而判断和正确；方程两根之积；根据当时，总有，可得，再由点，在对称轴的同侧，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象经过点，且， ∴，故②正确； ∵， ∴图象经过点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，故①正确； 设方程的两根为， ∵， ∴二次函数的图象与的一个交点在和之间， 不妨设， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵点，在抛物线上， ∴， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴, 要使不等式恒成立，只需当取最小值时该不等式成立， ∵点，在对称轴的同侧， ∴，即的最小值为2， ∴，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故选：B 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：3x2-6x+2=0， ，即 m=1． 故填1． 【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位长度， ∴， ∵向上平移5个单位长度， ∴， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 12. 函数，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为抛物线开口均向上，所以、、都是正数，又因为抛物线的开口越小对应的越大，所以． 【详解】解：由图象可知，三条抛物线开口均向上， 、、都是正数， 又抛物线的开口最小，抛物线的开口最大， ． 13. 若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次函数的图象与x轴有交点故b2-4ac≥0，进而得出答案． 【详解】解：根据题意得△=4-4a≥0， ∴a≤1. 故答案为a≤1 . 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出△的符号是解题关键． 14. 已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵，分别是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得：，， ∵， ∴代入得：． 15. 如图， 在平面直角坐标系 中，，．将绕点A逆时针旋转， 若的对应点恰好落在边上．则点B的对应点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可以判断出是等边三角形，进一步证明轴，用直角三角形的性质和勾股定理计算出和，求得答案． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知，旋转角，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴轴， 在直角中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，图形与坐标，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好旋转的性质是解题关键． 16. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“二倍点”，则的取值范围是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据二倍点定义得二倍点在直线上，问题转化为方程在上有且只有一个解，分判别式等于0和判别式大于0两种情况，结合根的分布求解． 【详解】解：由“二倍点”定义可知，二倍点在直线上． ∵二次函数在范围内有且只有一个“二倍点”， ∴方程在范围内有且只有一个根． 整理方程得 ． 分两种情况讨论： ①方程有两个相等的实根，即 ∵， ∴令，解得． 此时方程的根为，满足，符合条件． ② 方程有两个不相等的实根，即可得， 解得． 设，函数开口向上，要只有一个根在内，需满足， 计算得 ，， ∴， 解得． 验证端点：当时，方程根为，， 只有满足，符合条件． 当时，方程根为，，两个根都不满足，不符合条件． 因此这种情况下，结果为． 综上，的取值范围是 或 ． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18－19题每题5分，第20题7分，第21题4分，第22题5分，第23题4分，第24题5分，第25题7分，第26题6分，第27－28题每题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，. （2） ，. 【解析】 【分析】（1）对于方程，通过十字相乘法将二次三项式因式分解为，令两个一次因式分别为0，直接得到方程的两个根为，． （2）对于方程，利用平方差公式移项后分解因式得到，令两个一次因式分别为0，直接得到方程的两个根为，．  【小问1详解】 解： ，因式分解得 ． 即 或 ． 解得，． 【小问2详解】 解：原方程移项得 ， 利用平方差公式因式分解得 ， 化简得 ． 即 或 ， 解得，． 18. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得，，即可求解； （2）根据旋转的性质得，，根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作直线l，使直线l与x轴平行，且与一次函数（）的图象交于点M，与反比例函数（）的图象交于点N，若点M在点N的右侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）一次函数为；反比例函数为 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入求出，将，代入求出点，再将点，代入即可求出一次函数解析式； （2）根据题意以两交点，的纵坐标为界，进行分类讨论画图，用数形结合的方法，即可找到符合题意的t的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入得：，解得：， ∴反比例函数为， 将，代入得：，解得：， 再将点，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． 【小问2详解】 解：由题意可得：，，过点作直线轴，且与一次函数的图象交于点M，与反比例函数的图象交于点N， 当时，如图所示，点在点的左侧，不符合题意； 当时，如图所示，点与点重合，不符合题意； 当时，如图所示，点在点右侧，符合题意； 当时，如图所示，直线与轴重合，不符合题意； 当时，如图所示，点在点左侧，不符合题意； 当时，如图所示，点与点重合，不符合题意； 当时，如图所示，点在点的右侧，符合题意； 综上：当或时，点M在点N的右侧． 20. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）当时，观察图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1）； （2）对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线图象如图所示： （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后写出抛物线的对称轴和顶点坐标，先描点再连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把和两点代入可得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 列表： 描点、连线见答案． 【小问3详解】 当时，观察图象可得x的取值范围为或． 21. 如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． （1）画出将绕点逆时针旋转后的△； （2）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）结合网格的直角特性，分别将点和点绕点逆时针旋转，得到点和，再顺次连接即可得到． （2）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 22. 已知关于x的方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k的值． 【答案】（1） 证明：在方程中，，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方后证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，结合矩形邻边和对角线的勾股关系列方程求解，再根据边长为正舍去不合题意的解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，， ∴由根与系数的关系得：，， ∵，是矩形两邻边的长，对角线长为， ∴，且，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合边长为正的要求，舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，的值为． 23. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】（1）最大高度为，； （2）． 【解析】 【分析】（1）观察数据发现函数关于对称，顶点为，用待定系数法求二次函数关系式． （2）分别令求出两次训练实心球落地时的水平距离，比较大小． 【小问1详解】 解：观察表格数据，当和时值相同，当和时值相同， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 实心球竖直高度的最大值为， 设， 将代入得：， 解得：， ． 【小问2详解】 解：第一次训练，令： ， ， ， ， ， 第二次训练，令： ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． （1）求的值； （2）求此时的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【小问1详解】 解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． 【小问2详解】 解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 25. 已知函数，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x的取值范围是______； （2）x与y的几组对应值如下表，请补全表格： x … 1 2 … y … 0 2 … 其中______． （3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； （4）请写出这个函数的一条性质：______； （5）结合图象，直接写出方程的所有实数根（估算保留到0.1）：______． 【答案】（1） （2） （3） （4）当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大； （5），， 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式可知，其中的取值范围即为整个解析式的取值范围； （2）代入自变量计算函数值即可； （3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点； （4）可写增减性，也可写相应取值范围内的最值； （5）看作两个函数交点问题来解决即可． 【小问1详解】 解：∵函数中不能等于0， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：∵， ∴， 如图， 由图可知，，，． 26. 在平面直角坐标系中，点都在抛物线（）上． （1）这个抛物线的对称轴是直线______； （2）若，求t的取值范围； （3）若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有一个点在x轴的下方，直接写出a的取值范围______ 【答案】（1） （2）的取值范围是 （3） 【解析】 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式直接计算； （2）将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，列绝对值不等式求解； （3）根据题意，得，判定方程有两个不相等的实数根，设为，根据根与系数的关系得出，根据无论取任何实数，点中都至少有一个点在轴的下方，得出，根据，得出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，点到对称轴直线的距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 解， 两边平方得， 整理得， 解得； 解， 两边平方得， 整理得， 解得； ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：根据题意，得， ， ，故有两个不相等的实数根， 设两个不相等的实数根为， 则， 根据题意，得与轴交点的横坐标为， ∵无论取任何实数，点中都至少有一个点在轴的下方， ∴只要使即可， ， ， 即， ， ∵方程的解为：或， 的解集为：或， ， ． 27. 如图，在中，，点在线段上，点在线段上，连接和交于点，． （1）求的度数； （2）作点关于直线的对称点，连接，取的中点． ①依题意补全图形； ②连接，猜想线段、、的数量关系，并证明． 【答案】（1）． （2）①解：补全后的图形如图 ②解：． 理由如下：∵ 点 是点 关于直线 的对称点， ∴ ，． ∴ ． ∴ 是等边三角形． 如下图，以 为边在 与点 同侧作等边三角形 ，连接 、． ∵ 是等边三角形， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． 在 和 中， ∴ ， ∴ ，． ∵ 由（1）知 ， ∴ ． ∵ 在等边三角形 中， ∴ ， ∴ ，即 ． 取 的中点 ，连接 、． ∵ 是等边三角形， 是 的中点， ∴ ，． ∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ，． ∵ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ 、、 三点共线， ∴ ， 即 ． 【解析】 【分析】（1）设 ，在 中用三角形内角和求出 ，再由 、、 三点共线得 ； （2）①按轴对称与中点的要求把图形补全； ②由轴对称得 为等边三角形，以 为边作等边三角形 ，证 ，把 转化为 、 转化为 ，得 ；再由中位线得 、，结合 证得 、、 三点共线，从而 ． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ 设 ． ∵ 点 在 上，点 在 上， ∴ 在 的内部， ∴ ． ∵ 点 是 与 的交点， ∴ ，． ∴ ． ∵ 点 、、 三点共线， ∴ ． 【小问2详解】 解：略． 28. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点Q是点P的“关联点”． 已知，点． （1）在，，中，点P的“关联点”有______； （2）点A在直线上，若点P的“关联点”也是点A的“关联点”，求点A的坐标； （3）已知点和线段，点C在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的 “关联点”，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）和； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得当点在直线上时，点Q是点P的“关联点”，再分别将坐标代入判断即可； （2）设点的坐标为，则点的“关联点”在直线上，设点的一个“关联点”为，则点在直线上，得到，再结合点P的“关联点”也是点A的“关联点”，得到，即可得解； （3）根据点在四边形的位置分四种情况讨论：①当点在边上时，设点；②当点在边上时，设点；③当点在边上时，设点；④当点在边上时，设点，进而得出点的“关联点”在直线和直线之间的区域，则线段的最小值为直线和直线的距离，设直线交轴于点，交轴于点，求出点和点的坐标，得出是等腰直角三角形，设直线交轴于点，过点作于点，得出，再利用勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：已知，点， 则当点在直线上时，点Q是点P的“关联点”， ，则，点不是点P的“关联点”； ，则，点是点P的“关联点”； ，则，点是点P的“关联点”； 则在，，中，点P的“关联点”有和； 【小问2详解】 解：点A在直线上， 设点的坐标为， 点的“关联点”在直线上， 设点的一个“关联点”为， 点在直线上， ， ， 点P的“关联点”也是点A的“关联点”， 点在直线上， ， ， ， ， 点A的坐标为； 【小问3详解】 解：点， 点的“关联点”在直线上， ， ，， 设以，，，为顶点的四边形为四边形， ①当点在边上时，设点，其中，即， 点的“关联点”在直线上， ， ， 点的“关联点”在直线和直线之间的区域，如图， ②当点在边上时，设点，其中， 点的“关联点”在直线上， ，， ， 点的“关联点”在直线和直线之间的区域，如图， ③当点在边上时，设点，其中，即， 点的“关联点”在直线上， ， ， 点的“关联点”在直线和直线之间的区域，如图， ④当点在边上时，设点，其中， 点的“关联点”在直线上， ，， ， 点的“关联点”在直线和直线之间的区域，如图， 综上所述，点的“关联点”在直线和直线之间的区域， 线段上总存在线段上任意一个点的 “关联点”， 线段的最小值为直线和直线的距离， 如图，设直线交轴于点，交轴于点， 令，则，解得：；令，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设直线交轴于点，过点作于点， 令，则，解得：， ， ， ， ， ， 在中，， ， （负值舍去）， 直线和直线的距离为， 线段的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区德胜中学2026－2027学年度第一学期 初三年级数学学科活动 一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线，当，时，它的图象经过直角坐标系中的第（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 二、三、四象限 D. 一、三、四象限 3. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（ ） A. 22.5 B. 30 C. 45 D. 60 4. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c 1 3.5 7 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是某高速路上的测速区间，小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在此路段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图），已知这条高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定驾驶小型载客汽车通过该测速区间段的时间可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（ ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 10. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 12. 函数，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是________． 13. 若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是_______． 14. 已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为______． 15. 如图， 在平面直角坐标系 中，，．将绕点A逆时针旋转， 若的对应点恰好落在边上．则点B的对应点的坐标为_____． 16. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“二倍点”，则的取值范围是______． 三、解答题（共68分，第17题6分，第18－19题每题5分，第20题7分，第21题4分，第22题5分，第23题4分，第24题5分，第25题7分，第26题6分，第27－28题每题7分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 19. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）过点作直线l，使直线l与x轴平行，且与一次函数（）的图象交于点M，与反比例函数（）的图象交于点N，若点M在点N的右侧，请直接写出t的取值范围． 20. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）当时，观察图象直接写出x的取值范围． 21. 如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． （1）画出将绕点逆时针旋转后的△； （2）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k的值． 23. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． （1）求的值； （2）求此时的值． 25. 已知函数，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x的取值范围是______； （2）x与y的几组对应值如下表，请补全表格： x … 1 2 … y … 0 2 … 其中______． （3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象； （4）请写出这个函数的一条性质：______； （5）结合图象，直接写出方程的所有实数根（估算保留到0.1）：______． 26. 在平面直角坐标系中，点都在抛物线（）上． （1）这个抛物线的对称轴是直线______； （2）若，求t的取值范围； （3）若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有一个点在x轴的下方，直接写出a的取值范围______ 27. 如图，在中，，点在线段上，点在线段上，连接和交于点，． （1）求的度数； （2）作点关于直线的对称点，连接，取的中点． ①依题意补全图形； ②连接，猜想线段、、的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点Q是点P的“关联点”． 已知，点． （1）在，，中，点P的“关联点”有______； （2）点A在直线上，若点P的“关联点”也是点A的“关联点”，求点A的坐标； （3）已知点和线段，点C在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的 “关联点”，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $