精品解析：广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

惠州市惠阳区丰湖高级中学 2024-2025学年第一学期高二年级中段考数学试卷 满分：150 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，，所以，故. 故选：D. 2. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可得解. 【详解】. 故选：B． 3. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可. 【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为. 故选：D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可直接构造方程组求解. 【详解】两直线方程可整理为：与， 两直线平行，，解得：. 故选：B. 5. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 6. 已知点到直线的距离相等，则（ ） A. －1或0 B. C. －1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式直接求解. 【详解】根据点到直线距离公式和已知可得，解得. 故选：C 7. 已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相交 D. 直线与圆相离 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 8. 在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设点，其中，则， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 所以，， 因为，则，则，则， 所以，，则. 故选：B. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ） A. 线段的中点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于坐标原点对称的点的坐标为 D. 点关于平面对称的点的坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可. 【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误； 点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误； 点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过点，斜率为2的直线的方程可写为 C. 过两点的直线都可用方程表示 D. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C，根据两点式方程的变形进行判断即可；对于D，设直线，进而可得截距，根据题意进行求解即可判断. 【详解】对于A，先求直线斜率为，进而可得倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为的直线，但不含点， 而表示过点斜率为的直线，且包含点，故B错误； 对于C，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点的直线，故C正确； 对于D，经过点，斜率存在，设直线为， 若在轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故D错误. 故选：AC 11. 在棱长为2的正方体中，E为的中点，若点P在底面四边形内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的余弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与 的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 设与平面的夹角为， 则， 则， 所以与平面的夹角的余弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】由，求出的值，利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】向量，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 13. 已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解. 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 14. 已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解. 【详解】 如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 15. 的三个顶点是，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出点的中点坐标，从而可得边上的中线所在直线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程； （2）求出点的中点坐标，求出直线的斜率可得其垂直平分线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程. 【小问1详解】 点的中点， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即； 【小问2详解】 点的中点坐标为， 直线的斜率为， 则边上的垂直平分线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为， 即. 16. 如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：在正四棱柱中，，，两两垂直，且，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 因为，分别为，的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线方向向量与平面法向量，通过向量垂直，即可求证； （2）由空间角的向量表示即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知的圆心在x轴上，经过点和． （1）求的方程； （2）过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 【答案】（1） （2）①或；②. 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可； 在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果； ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【小问1详解】 设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明：如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由， 可得，， 又，，所以， 即，， 所以在中，， 在中，由余弦定理： ， 所以，故， 因为底面，面，所以平面平面， 又面，平面平面，，故面， 又平面，所以平面平面； （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与勾股定理推得，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （3）设，求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算出相应即可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 易知，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 ，，， 设，可得， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 令，则，，，， 即，， 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，即，则， 故线段上存在符合题意的点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2024-2025学年第一学期高二年级中段考数学试卷 满分：150 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心和半径分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知点到直线的距离相等，则（ ） A. －1或0 B. C. －1 D. 2 7. 已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相交 D. 直线与圆相离 8. 在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ） A. 线段的中点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于坐标原点对称的点的坐标为 D. 点关于平面对称的点的坐标为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 过点，斜率为2的直线的方程可写为 C. 过两点的直线都可用方程表示 D. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 11. 在棱长为2的正方体中，E为的中点，若点P在底面四边形内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的余弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与 的数量积的范围是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，，则____. 13. 已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为_________________. 14. 已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为______. 15. 的三个顶点是，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程. 16. 如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 已知的圆心在x轴上，经过点和． （1）求的方程； （2）过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $