15.1.2　线段的垂直平分线- 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 1、 选择题 1．如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．下列命题的逆命题是真命题的是（） A．若，则 B．垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 3．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 4．下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 5．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 7．如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 9．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2、 填空题 11．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________． 12．如图，在中，，，，垂直平分，垂足为，交于点．则 的周长为_____． 13．如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 14．如图，已知，，则图中共有全等三角形________对 15．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 16．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 3、 解答题 17．如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 18．如图，已知，P为边上一点，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在边上求作一点Q，点Q到、的距离相等； (2)在边上求作一点E．使． 19．如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 20．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 21．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 22．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 23．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 24．已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 1、 选择题 1．如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于D点，交于E点， ∴， ∴的周长． 2．下列命题的逆命题是真命题的是（） A．若，则 B．垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】B 【详解】解：A．逆命题为“若，则”．取，，满足，但，故逆命题为假命题． B．逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，是真命题． C．逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”．两个大小不同的等边三角形对应角可以相等，但不全等，故逆命题为假命题． D．逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”．如和的绝对值相等，但，故逆命题为假命题． 3．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】将到三个顶点距离相等的条件转化为线段垂直平分线的问题求解． 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． ∴到三个顶点距离相等的点在三边的垂直平分线上． ∵三角形三边的垂直平分线交于一点． ∴该点即为凉亭的位置． 4．下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】写出各选项命题的逆命题，判断逆命题是否为真命题，即可确定没有逆定理的选项． 【详解】解：选项的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，是真命题，有逆定理，不符合题意； 选项的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，有逆定理，不符合题意； 选项的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，没有逆定理，符合题意； 选项的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，是真命题，有逆定理，不符合题意． 5．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 7．如图所示，已知（），用尺规在线段BC上确定一点P，使得，则符合要求的作图痕迹是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．根据作图可知，， ， 不能说明，不符合题意； B．根据作图可知，， ， 不能说明，不符合题意； C．根据作图可知，， ， 不能说明，不符合题意； D．根据作图可知，， ，符合题意． 8．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ， ，， ． 9．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 10．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 2、 填空题 11．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________． 【答案】25 【分析】根据圆的半径相等可得，根据题目描述识别出是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，从而将的周长转化为进行求解． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点， ∴． ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长． 12．如图，在中，，，，垂直平分，垂足为，交于点．则 的周长为_____． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得，结合三角形的周长概念即可求解 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 13．如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 【答案】9 【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即可得，，再用线段相等进行转化即可求解的周长． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴的周长为： 的周长为 ． 14．如图，已知，，则图中共有全等三角形________对 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法可证、、，所以共有对全等三角形． 【详解】，， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ； 在和中，， ； 在和中，， ； 图中共有全等三角形对． 15．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 16．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即可求出，再证明，则得到，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3、 解答题 17．如图，点O，在内部，垂直平分，垂直平分，，作直线． (1)连接，，求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点F在线段的垂直平分线上， 又∵点O与点F不重合，且两点确定一条直线， ∴垂直平分． 【详解】（1）见答案 （2）见答案 18．如图，已知，P为边上一点，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在边上求作一点Q，点Q到、的距离相等； (2)在边上求作一点E．使． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点即为所求， 【分析】（1）作的角平分线交于点，由角平分线的性质定理可得点Q到、的距离相等； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，故． 【详解】（1）略； （2）略． 19．如图，点在上，点在上，与交于点，，． (1)求证：； (2)求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上， ∴过点的直线垂直平分线段． 【分析】（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 21．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 22．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 点A和点D在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)4 【分析】（1）根据题目条件证明，从而，，利用垂直平分线的判定即可证明； （2）由，再根据，利用面积之间的关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，的周长为18， ， 由（1）得， ，， ， ， ． 23．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， 分别垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到的周长等于的长； （2）连接，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，得证结论； （3）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到答案． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点， ， ， 的周长，即， ； （2）略； （3）解：如图，连接， 分别垂直平分， ，，且，， ，， ， ． 24．已知，在中，． (1)_________°； (2)如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； (3)如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证： 【答案】(1) (2)证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴ (3) 证明：由（1）得 过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图， ∵AQ⊥AM，PC⊥BM， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵CM＝AN， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵ ∴, ∴ ∴． ∴． 【分析】（1）根据和三角形内角和即可求出． （2）过点C作交的延长线于T，连接，证明，再证明垂直平分线段，即可证明． （3）过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，首先证明，得出再证明，得出根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， 又， （2）略 （3）略 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