5.3 一元一次方程的应用（第1课时 直接梳理等量关系解决实际问题）（教学课件）数学新教材北师大版七年级上册

5.3一元一次方程的应用 第一课时 直接梳理等量关系解决实际问题 第五章 一元一次方程 北师大版（新教材）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 经历运用一元一次方程解决实际问题的过程，发展抽象能力，运算能力和模型观念，增强应用意识。 能根据题目剖析图形问题中的基本等量关系，构建方程完成问题求解，积累分析数量关系的经验。 运用列表格的方法列一元一次方程，提高分析问题，解决问题的能力，体会列方程的思考过程。 导入新课 圆柱体的体积 V = __________. 长方体的体积 V = __________. 长方形的周长 C = __________，面积 S = __________， 正方形的周长 C = __________，面积 S = __________， 圆的周长 C = __________，面积 S = __________， 2(a + b) ab abc a b c 4a a a2 a3 2πr πr2 πr2h r h 正方体的体积 V = __________. 3 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? 6.6cm 12cm 你能用一元一次方程解决这个问题吗？ 容积不变 6 cm ? 导入新课 新知探究 (1)这个问题中包含哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：新旧包装易拉罐的高、底面直径、容积. 、容积(旧) = 容积(新). 等量关系(旧和新)： 容积=高×π( )2 新知探究 (2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗? 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 体积/cm3 3.3 3 12 x (3)根据等量关系，你能列出怎样的方程? 设新包装的高度为xcm，根据所列表格找出等量关系，列出方程: _______________________. 解这个方程，得x=__________. 因此，易拉罐的高度变为__________cm. 14.52 14.52 π×(3.3)2×12=π×32x π×(3.3)2×12 π×32x 新知探究 直接梳理等量关系问题： 梳理变化前后不变的量：体(面)积， 即等量关系是：变形前的体(面)积=变形后的体(面)积. 再依据体(面)积= 高×π( )2列表格 注意： (1)设未知数时，未知量一定要叙述清楚； (2)列方程时，单位要统一； (3)根据所列表格，找出问题中的等量关系是列方程的关键. 新知探究 例1.用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各是多少米？ (2)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？ (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？ 分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 本题涉及的量有铁丝的长度，长方形的长、宽，正方形的边长. 它们的等量关系为： 长方形的周长=铁丝的长度，正方形的周长=铁丝的长度. x m (x+1.4) m 解：（1） 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 解这个方程，得 x =1.8 1.8+1.4=3.2. 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. 根据题意，得 2（x+1.4）+2x =10 (1)若该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各是多少米？ 新知探究 (2)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？ y m (x+0.8) m (2)设此时长方形的宽为ym，则它的长为（y+0.8）m. 根据题意，得 2 (y+0.8)+2y=10 解这个方程，得 y=2.1 2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)， (1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2). 新知探究 课堂训练 1. 如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为50cm，则大长方形的面积是( ) A．90cm2 B．100cm2 C．120cm2 D．150cm2 解析：设小长方形的宽为x cm， 由图可得小长方形的长为2x cm， 所以2(2x + 2x + x) = 50， 所以x = 5， 所以大长方形的宽为10cm，长为15cm， 所以10×15 = 150(cm2). D 11 (3)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x+0.8) m (3)设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m. 根据题意，得 2 (x+0.8)+2x=10 解这个方程，得 x=2.1 2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)， (1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2). 新知探究 等长变形问题：是指把一个长度一定的物体围成不同的平面图形时，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变. 等量关系是：变形前的周长=变形后的周长. 新知探究 等边三角形在实际生活中有广泛应用，如变形等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。方差的教学重点应该放在如何改进上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。矩阵解法与矩阵解法之间存在密切联系，都需要投影的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在垂直线段的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。 常见的几种情形列方程. （1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程； （2）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了，抓住周长不变列方程； （3）图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，抓住图形变化前后的面积、周长不变列方程. 注：应学会“变中找不变”和“不变中找变”的数学思想方法. 新知探究 利用一元一次方程解决一般几何图形问题 一般几何图形问题的大致类别 解决方案 等体积变形 以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解 等面积变形 以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解 等周长变形 以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解 新知探究 (1) 审：弄清题意，找出等量关系； (2) 设：设出合适的未知数； (3) 列：表示出等量关系中的量，列出一元一次方程； (4) 解：解一元一次方程； (5) 检：检验解是否是方程的解，是否是实际问题的解； (6) 答：写出实际问题的答案. 等边三角形在实际生活中有广泛应用，如变形等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。方差的教学重点应该放在如何改进上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。矩阵解法与矩阵解法之间存在密切联系，都需要投影的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在垂直线段的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。 应用一元一次方程解决实际问题的步骤： 课堂训练 1. 如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为50cm，则大长方形的面积是( ) A．90cm2 B．100cm2 C．120cm2 D．150cm2 解析：设小长方形的宽为x cm， 由图可得小长方形的长为2x cm， 所以2(2x + 2x + x) = 50， 所以x = 5， 所以大长方形的宽为10cm，长为15cm， 所以10×15 = 150(cm2). D 16 课堂训练 2.如图，三块形状完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形．若大长方形的周长为50cm，则大长方形的面积是( ) A．90cm2 B．100cm2 C．120cm2 D．150cm2 解析：设小长方形的宽为x cm， 由图可得小长方形的长为2x cm， 所以2(2x + 2x + x) = 50， 所以x = 5， 所以大长方形的宽为10cm，长为15cm， 所以10×15 = 150(cm2). D 17 课堂训练 3.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为 6 cm 的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为 8 cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是 (　　) A. 20 cm B. 24 cm C. 48 cm D. 144 cm B 18 课堂训练 4.一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得 π×( )2×10×36 = π×( )2×10x. 解这个方程，得 x = 25. 答：这一支牙膏能用 25 次． 19 新知巩固 （第1题） 1. 如图，正方形的一边长减少 后，得 到一个长方形（图中阴影部分）.若长方形 的周长为 ，求正方形的边长.设正方 形的边长为 ，可列方程为( ) D A. B. C. D. 新知巩固 2. 有一位工人师傅将底面直径为10，高为80的“瘦长”形圆柱， 锻造成底面直径为40的“矮胖”形圆柱，则“矮胖”形圆柱的高 为( ) B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 新知巩固 （第2题） 3. 如图，一块长、宽 的长方形纸 板和一块长、宽 的长方形纸板、一 块正方形纸板以及另两块长方形纸板恰好拼 成一个大正方形，则大正方形的面积是 ( ) C A. B. C. D. 新知巩固 （第2题） 【点拨】设正方形纸板的边长为 ，则大 正方形的边长为 或 , 由题意，得 ，解得 ，所以大正方形的边长为 ，所以拼成的大正方形的 面积是 . 新知巩固 4.用 的篱笆围成一个长方形场地. （1）如果宽是长的 ，则这个长方形场地的长为______，宽 为______. 【点拨】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根据 题意,得，解得，此时 .所以 这个长方形场地的长为，宽为 . 新知巩固 （2）如果长比宽多 ，求这个长方形场地的面积. 【解】设这个长方形场地的长为，则宽为 ，根 据题意,得 , 解得.此时 . 所以这个长方形场地的面积为 . 新知巩固 （第5题） 5. 如图，一个瓶子的容积是 ，瓶内装着一些水.当 瓶子正放时，瓶内水的高度为 ，倒放 时，空余部分的高度为 ，则瓶子的底 面积为( ) B A. B. C. D. 【点拨】设瓶子的底面积为 根据题意, 得，解得 .因此瓶子的底面积为 . 新知巩固 （第6题） 6.如图，在长方形 中放置9个形状、大小都 相同的小长方形（空白部分），部分数据 如图所示，则每个小长方形的面积为_____. 270 【点拨】设小长方形的宽为，则小长方形的长为 ， 依题意，得，解得 ，所以小长 方形的长为 ，所以每个小长方形的面积为 . 新知巩固 7. 如图①，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为 的 正方形后，剩余部分可剪拼成如图②所示的长方形 （不重叠无缝隙），若拼成的长方形的宽为3，请解答下列 问题： 新知巩固 （1）用含 的代数式表示剪拼后所得长方形的周长为________； 用含 的代数式表示剪拼后所得长方形的面积为________； 新知巩固 【点拨】根据题图可知，拼成的长方形的长为 ，宽为3，因此剪拼后所得长方形的周长 为 ，面积为 . 新知巩固 （2）若剪拼后所得长方形的周长为20，则 的值是___； 2 【点拨】由题意得，解得 . 新知巩固 （3）若将剪拼后的长方形的长减少2，宽增加1，所得的新 长方形的面积恰好等于原长方形的面积，则 的值是_ _. 【点拨】由题意得 , 解得 . 课堂小结 直接梳理 等量关系 解决实际 问题 等积变形问题 等长变形问题 列方程的思路 变形前的体(面)积=变形后的体(面)积 列一元一次方程，首先需要审题，找到其中的等量关系根据题意设未知数，并列出方程，解方程后还要检验方程的解. 变形前的周长=变形后的周长 思想方法 课堂小结 （1）方程思想； （2）化归思想； （3）模型思想； 谢谢聆听 $