5.3一元一次方程的应用（问题解决策略：直观分析）（教学课件）数学北师大版2024七年级上册

第五章 一元一次方程 5.3一元一次方程的应用 （问题解决策略：直观分析） 学 习 目 标 1 2 3 进一步经历借助直观图形分析复杂数量关系、建立方程模型解决问题的过程，体会直观图表在分析问题中的价值，发展几何直观。 积累利用直观分析策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。 通过销售问题，体会解决问题的基本思路，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功。 知识回顾 用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？ 实际问题 一元一次方程 设未知数，列方程 解方程 一元一次方程的解（x = a） 实际问题的答案 检 验 在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰 导入新课 ★进价（成本价或本金）： 指商家取得某一商品所需要的付出的金额； ★售价：指商品成交时的实际价格； ★利润：指商品售价与进价之间的差额; 知识储备 ★标价（原价）：指商家出售商品时所标明的价格； ★利润率：指利润与进价的比率,用百分数表示。 ★打折: 销售时,按照标价乘十分之几或百分之几十,则称将标价打几折. 1、商品原价200元，九折出售，售价是 元. 2、商品进价是150元，售价是180元，则利润 是 元.利润率是__________ 3、某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价 10%,降价后每件零售价是 　 　　元. 4、某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价应为　 　元. 5、某商品按定价的八折出售，售价是14.8元 则原定售价是　 　　　元.　　　　　　　　 180 30 20% 0.9a 1.25a 18.5 练一练 导入新课 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 理解问题 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ （1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？ 已知量 每件服装的成本价、 标价、售价、利润， 未知量 成本价、标价和售价 （2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？ 服装的成本价提价后等于标价 标价再打折后等于售价 售价与成本价的差等于利润 （3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？ 可以借助图表来表示它们之间的关系 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 成本价 标 价 提高40% 售 价 八折优惠 拟订计划 （1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？ 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 拟订计划 （2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？ 成本价×（1+40%）=标价 成本价 标 价 售 价 标价×80%=售价 ×（1+40%） ×80% 提高40% 标价的80% 售价-成本价=利润 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 拟订计划 成本价 标 价 售 价 （3）设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？ x (1+40%)x (1+40%) x •80% 利润=(1+40%) • x 80% － x 根据不同的等量关系可列出不同的方程。 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 实施计划 方法：在直观分析的基础上，选择一个量，用不同的代数式表示这个量，根据相应的等量关系列出方程，解方程就可以求得问题的解。 解:设这种服装每件的成本为元。 方法一：选择利润 （1）根据等量关系“利润=售价一成本价”，可列出方程什么方程？ . （2）根据等量关系“成本价=售价一利润”，可列出什么方程? 方法二：选择成本价 . 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 实施计划 方法：在直观分析的基础上，选择一个量，用不同的代数式表示这个量，根据相应的等量关系列出方程，解方程就可以求得问题的解。 解:设这种服装每件的成本为元。 （3）根据等量关系“标价=售价－折扣”，可列出什么方程? （4）根据等量关系“售价=成本价+利润”，可列出什么方程? 方法四：选择售价 方法三：选择标价 (𝟏−𝟒𝟎 %)𝒙⋅𝟖𝟎 %=𝒙+𝟏𝟓 新知探究 探究点1 借助图表直观分析问题 回顾反思 （1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。 如： （2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。 成本价 提高40% 打八折 标价价 售价 利润15元 借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 让学生自主回答 12 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例1.请用直观分析策略解答下列问题。 （1)某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？ 解：画图分析如下： A B C D 假设四幢宿舍楼分别为点A，B，C，D，超市为点E，四幢宿舍楼到超市的距离之和即为AE+BE+CE+DE。 E 分三种情况讨论 A B C D E1 ①如图，当点E位于AB上时， AE+BE+CE+DE=AD+BC+2BE 容易发现此时当BE最小时，距离之和最短， 即当点E位于点B时，距离之和最短为AD+BC。 13 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例1.请用直观分析策略解答下列问题。 （1)某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？ ②如图，当点E位于BC上时 解：画图分析如下： 假设四幢宿舍楼分别为点A，B，C，D，超市为点E，四幢宿舍楼到超市的距离之和即为AE+BE+CE+DE。 A B C D E2 AE+BE+CE+DE=AD+BC ③如图，当点E位于CD上时 AE+BE +CE+DE=AD+BC+2CE， 容易发现此时当CE最小时，距离之和最短， 即当点E位于点C时，距离之和最短为AD+BC。 A B C D E3 综上，超市应建在线段BC上，即中间两幢宿舍楼连线所构成的线段上。 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例1.请用直观分析策略解答下列问题。 (2)小明和爸爸周末骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以10km/h和12km/h的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了11km，然后立即掉转车头，仍以12km/h速度往回骑（小明仍按原速度向前骑行）直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？ 爸爸先骑行了11km 解：画图分析数量关系如下： 设会合时他们骑行了t h，可列方程： 10t+12t=2×11。 解这个方程，得t=1。 ∴会合时他们骑行了1h。 数量关系：小明的路程+爸爸的路程=（ 2×11 ）km。 起点 掉转车头 小明的路程 爸爸转回的路程 会合点 爸爸的路程 11km 15 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 解：将所有同学分成A，B，C，D四部分画图分析数量关系如下： 例1.请用直观分析策略解答下列问题。 （3）一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人? 答对第一题的有32人，即A+C=32： 答对第二题的有27人，即B+C=27： 两题都答对的有20人，即C=20， 答对第一题 答对第二题 两题都答对 但答错第二题 但答错第一题 A B C D 两题都答错 因此A=12，B=7。 所以D=45-12-20-7=6。 因此，两题都答错的有6人。 16 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例2 .学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? （列一元一次方程解决） (2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低15%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有49名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理 17 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例2 .学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? （列一元一次方程解决） 正门 侧门 侧门 侧门 正门 开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生 同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． 侧门 正门 200 同时开启一道正门和一道侧门时1分钟内可以通过200名学生． 18 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例2 .学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? （列一元一次方程解决） （1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生， 则平均每分钟一道侧门可以通过 名学生，根据题意，得 ， 解得 ， ∴ （名）， 答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生， 一道侧门可以通过80名学生； 探究点1 借助图表直观分析问题 典例分析 例2 .学校新建了一栋大楼，其中用于教学共四层，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生． (2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低15%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有49名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定?请说明理 （2）建造的这4道门符合安全规定，理由如下： 紧急情况下这4道门5分钟可以通过学生为： (（名）， （名）， ∵， ∴紧急情况下全大楼的学生在5分钟内通过这4道门可以安全撤离， ∴建造的这4道门符合安全规定． 拓展提升 1．某超市搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，购物超过200元而不足500元的，200元的部分不优惠，超过200元的部分按9折优惠，购物超过500元的，500元的部分按9折优惠，超过500元部分按8折优惠，某人第一次购物花了134元，第二次购物花了452元．问： (1)此人两次购物，若无促销活动，物品不打折，则第一次购物应花费______元，第二次购物应花费______元． (2)若此人将两次购物合为一次购物是否更省钱？为什么？ （1）解：第一次购物花了134元， ∵ 134＜200， ∴第一次购物没有享受优惠， 则无促销活动，物品不打折， 第一次购物应花费 134元； 第二次购物花了452 元， ∵452＞500×90％＝450 ， ∴第二次购物，实际价格超过了 500元， 134 502.5 设无促销活动，物品不打折，购物应花费为x 元， 由题意可得： 450 ＋(x － 500) ×80 ％ ＝452 解得 x ＝ 502.5（元） 若无促销活动，物品不打折，第二次购物应花费 502.5元， 拓展提升 1．某超市搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，购物超过200元而不足500元的，200元的部分不优惠，超过200元的部分按9折优惠，购物超过500元的，500元的部分按9折优惠，超过500元部分按8折优惠，某人第一次购物花了134元，第二次购物花了452元．问： (1)此人两次购物，若无促销活动，物品不打折，则第一次购物应花费______元，第二次购物应花费______元． (2)若此人将两次购物合为一次购物是否更省钱？为什么？ 134 502.5 （2）此人将两次购物合为一次购物更省钱，理由如下： 由（1）可得，两次购物合为一次购物， 实际购买的商品价格为 636.5元， 按照优惠活动可得，购买需要花费 450 ＋ (636.5 － 500) × 80 ％ ＝ 559.2（元）， 分为两次购物花费 452 ＋ 143 ＝ 586（元） ∵559.2 ＜586 ∴此人将两次购物合为一次购物更省钱． 巩固练习 1.五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手？ 将五个人分别看作在一条直线上的五个点，五个人总共握手的次数即为每两点之间不同线段的条数. 由图可知不同线段的条数为4+3+2+1＝10，5个人共握手10次. 巩固练习 (1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？ （2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢? （3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？ 2.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 解：1个人从出发楼层到会议楼层需要爬楼的层数情况如下 出发楼层 会议楼层 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0 巩固练习 (1)如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1， 那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？ 会议设置的楼层 总层数 1 2 3 4 5 0×2＋1×1＋2×2＋3×1＋4×1＝12 1×2＋0×1＋1×2＋2×1＋3×1＝9 2×2＋1×1＋0×2＋1×1＋2×1＝8 3×2＋2×1＋1×2＋0×1＋1×1＝11 4×2＋3×1＋2×2＋1×1＋0×1＝16 答：要使所有参会人员爬楼距离之和最短，会议地点应设在3层. 2.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 巩固练习 (2)如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢？ 答：要使所有参会人员爬楼距离之和最短，会议地点应设在2层或3层. 会议设置的楼层 总层数 1 2 3 4 5 0×2＋1×2＋2×1＋3×2＋4×1＝14 1×2＋0×2＋1×1＋2×2＋3×1＝10 2×2＋1×2＋0×1＋1×2＋2×1＝10 3×2＋2×2＋1×1＋0×2＋1×1＝12 4×2＋3×2＋2×1＋1×2＋0×1＝18 2.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 巩固练习 会议设置的楼层 总层数 1 2 3 4 5 0×18＋1×14＋2×10＋3×10＋4×11＝108 1×18＋0×14＋1×10＋2×10＋3×11＝81 2×18＋1×14＋0×10＋1×10＋2×11＝82 3×18＋2×14＋1×10＋0×10＋1×11＝103 4×18＋3×14＋2×10＋1×10＋0×11＝144 (3)如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？ 答：要使所有参会人员爬楼距离之和最短，会议地点应设在2层. 2.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 真题感知 1.（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：   湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 真题感知 1.（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：   湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？比原价优惠了多少元？（用代数式表示） 解：（1）此次行程高速费原价总共为：a+ b+ c元， 实际支付高速费用：0.95a+0+0.5c＝(0.95a+0.5c)元， 优惠了：a+ b+ c － (0.95a+0.5c)＝(0.05a+b+0.5c)元； 真题感知 1.（2025•广西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：   湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． （2）设特定路段单程高速费原价分别x元， 则其他路段单程高速费原价为元， 依题意可列方程：， 解得：x=45.9， 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元． 真题感知 2.（2025•湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘， 探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是 　 　 ，b是 　　 ； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是 　 　 ，d是 　 　 ；（注：用含n的代数式表示c和d．） 5 11 n+1 n+7 真题感知 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是 　　 ，是 　　 ； （4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是 　 　 （用含n的代数式表示g）． 2.（2025•湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘， 探究并完成填空． 11 3 n+8 课堂小结 在利用一元一次方程解决问题时借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 课后练习 1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4 cm和8 cm，高分别为39 cm和 10 cm. 先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中. 倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米? 习题5.3 教材P154 小刚是这样做的： 设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有x cm. 列方程 π×22×(39-x)= π×42×10. 解得x=-1. 请你对他的结果作出合理的解释. 解：由题意可知，第一个容器的体积为 22×39×π = 156π cm2 第二个容器的体积为 42×10×π = 160π cm2 第二个容器的体积大于第一个容器的体积，因此将第二个容器装满水后再倒入第一个容器中，水会溢出， 即方程 π×22×（39－x）= π × 42×10的解小于0. 课后练习 3.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100 m2，这两块试验田的面积共2900 m2，两块试验田的面积分别是多少? 解：设第二块试验田的面积是 x m2，则第一块试验田的面积是（3x + 100）m2根据题意，得： x + 3x + 100 = 2900 解得 x = 700 ∴3x + 100 = 2200 答：第一块试验田的面积是 2200 m2， 第二块试验田的面积是 700 m2 习题5.3 教材P154 课后练习 4.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 解：设正方形的边长为 x cm 根据题意，得 4x = 5（x － 4） 解得 x = 20 所以每一个长条的面积为 4×20 = 80(cm2) 答：每一个长条的面积为 80 cm2. 习题5.3 教材P154 感谢聆听! $