专题05 全等三角形的综合问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题05 全等三角形的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线模型 题型二、截长补短法 题型三、全等三角形的动点问题 题型四、全等三角形的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形综合题（含新定义、动点、截长补短、倍长中线等模型）是初中数学几何板块的高频压轴重难点，所有特殊题型均围绕条件转化、模型识别、分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是推理过程必须严格遵循全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），不可主观臆造条件；二是所有结论必须基于全等性质（对应边相等、对应角相等）推导，且动点、多解问题需检验解的合理性。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线模型 典例1 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 题型模版 题型特征 核心标志：题目条件中明确给出三角形的中线（如“AD是△ABC的中线”或“D是BC的中点”）。 求证目标：通常要求证明线段之间的倍分关系（如 AD=12AE）、和差关系（如 AB+AC>2AD），或证明线段平行、角相等。 图形特征：中线将三角形一分为二，但分散的边和角难以直接建立联系，需要通过辅助线将分散的条件“集中”起来。 解题方法 核心思路：通过延长中线构造全等三角形，实现线段和角的转移，将分散的条件集中到一个新的三角形中。 1.作辅助线（倍长中线） 操作：延长中线 AD 到点 E，使得 DE=AD，连接 BE（或 CE，视图形而定）。 目的：构造出一对全等三角形（ △ADC≅△EDB）。 2.证明全等 利用 SAS（边角边）判定定理：  AD=ED（辅助线作法）  ∠ADC=∠EDB（对顶角相等）  CD=BD（中线定义） 得出 △ADC≅△EDB。 3.性质转化 根据全等性质得出对应边相等（ AC=EB）、对应角相等（ ∠CAD=∠E， ∠C=∠DBE）。 关键作用：将原本分散的边 AC 转移到了 EB 的位置，使得 AB、 AC、 2AD（即 AE）集中在了 △ABE 中。 4.解决问题 证不等关系：利用三角形三边关系（两边之和大于第三边），如在 △ABE 中， AB+BE>AE，代换后得 AB+AC>2AD。 证平行/角关系：利用内错角相等（ ∠CAD=∠E）证明 AC∥BE。 变式1-1解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 变式1-2【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 变式1-3 根据要求完成以下问题： (1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 类型二、截长补短法 典例2 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型模版 题型特征 线段关系：题目通常给出三条线段的和差关系（如 AB=AC+CD），或要求证明某条线段等于另外两条线段的和/差。 图形特征：常见于等腰三角形、等边三角形、直角三角形或角平分线相关的图形中。 辅助线需求：直接证明线段关系困难，需要通过添加辅助线构造全等三角形，实现线段的“转移”或“拼接”。 解题方法 核心思路：将分散的线段集中到一条直线上，或构造出相等的线段进行代换。 1.截长法（在长线段上截取） o操作：在较长的线段上截取一段等于较短的线段，然后证明剩下的部分等于另一条短线段。 o适用场景：已知 a=b+c，求证或求值。 o步骤： i.在长线段 AB 上截取 AD=AC（短线段）。 ii.连接辅助线，构造全等三角形（通常利用角平分线或等边对等角）。 iii.证明剩余线段 DB 等于另一条短线段 CB。 2.补短法（延长短线段） 操作：延长较短的线段，使其延长部分等于另一条短线段，然后证明延长后的总长度等于长线段。 适用场景：已知 a=b+c，求证或求值。 步骤： i.延长短线段 AC 至点 D，使 CD=CB（另一短线段）。 ii.连接辅助线，构造全等三角形。 iii.证明总长 AD 等于长线段 AB。 3.验证结论 利用全等三角形“对应边相等”的性质，完成线段的等量代换，最终得出结论。 变式2-1（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 变式2-2已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 变式2-3如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 类型三、全等三角形的动点问题 典例3 如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 题型模版 题型特征 动态变化：点在线段、射线或多边形的边上运动，随着运动时间或位置的变化，图形的形状、边长、角度会发生改变。 分类讨论：由于动点的运动路径或对应关系不唯一，通常需要分情况讨论（如点在不同边上、不同的对应顶点组合）。 方程思想：核心是利用全等三角形的性质（对应边相等）列出含时间或路程的方程，求出动点运动的时间或速度。 解题方法 设元表示：设运动时间为 （或路程为 ），用含 的代数式表示出动点运动的路程，以及相关的线段长度（如 ， ）。 寻找不变量：在运动过程中，找到图形中始终不变的量（如公共角、对顶角、固定的边长或角度），作为全等判定的基础条件。 分类讨论：根据题目要求（如“ 与 全等”），分析所有可能的对应情况（如 对应 或 对应 ），列出不同的方程组。 列方程求解：根据“全等三角形对应边相等”列出关于 的一元一次方程，解出 的值。 检验取舍：将求出的 值代入，检验动点是否在规定的运动范围内（如是否超出线段端点），不符合题意的解要舍去。 变式3-1如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 变式3-2数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 类型四、全等三角形的新定义问题 典例4定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．在中，，，、分别是边、上的点，当四边形为筝形时，的度数为______． 题型模版 新定义规则：题目会给出一个课本中未出现的三角形相关新概念、新判定规则或新图形构造方法（如“等距三角形”“共角全等”等自定义表述）。 几何化表达：解题的核心是将题目给出的文字描述、图形标记或符号规则，转化为三角形全等的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS）。 证明或求解：最终通常会要求证明两个三角形全等，或利用全等性质求线段长度、角度大小。 解题方法 读懂定义：仔细阅读题目，明确新定义的具体含义、适用条件和判定标准，圈出关键词（如“对应边相等”“夹角相等”“特殊位置关系”等）。 转化条件：将新定义中的条件与图形中的已知信息结合，转化为全等三角形判定所需的边、角对应关系。 匹配判定：根据转化后的条件，匹配对应的全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），确定证明路径。 规范证明：按照“已知条件→转化条件→判定定理→全等结论”的逻辑书写证明过程，注意对应顶点、对应边、对应角的书写顺序。 应用性质：若题目要求求线段或角度，利用全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质，结合已知条件计算结果。 变式4-1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数．过点C作交的延长线于点E，则的长为_______． 变式4-2数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 变式4-3综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 3．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 4．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 5．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 6．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 7．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 8．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    9．在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 10．如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 12．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 13．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 14．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 15．通过对图1中数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点． 由，， 得． 又， ． _____，_____ _____． 我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；请补全上面的证明过程． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，过作于点，延长交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，其中正方形和正方形的面积分别是4和9，的面积为，的面积为，的面积为，则的值为_____． 16．问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图中，，，为上一点，当___________时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，则___________； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角形， ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价500元，请计算修建小路的总造价？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线模型 题型二、截长补短法 题型三、全等三角形的动点问题 题型四、全等三角形的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形综合题（含新定义、动点、截长补短、倍长中线等模型）是初中数学几何板块的高频压轴重难点，所有特殊题型均围绕条件转化、模型识别、分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是推理过程必须严格遵循全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），不可主观臆造条件；二是所有结论必须基于全等性质（对应边相等、对应角相等）推导，且动点、多解问题需检验解的合理性。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线模型 典例1 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 题型模版 题型特征 核心标志：题目条件中明确给出三角形的中线（如“AD是△ABC的中线”或“D是BC的中点”）。 求证目标：通常要求证明线段之间的倍分关系（如 AD=12AE）、和差关系（如 AB+AC>2AD），或证明线段平行、角相等。 图形特征：中线将三角形一分为二，但分散的边和角难以直接建立联系，需要通过辅助线将分散的条件“集中”起来。 解题方法 核心思路：通过延长中线构造全等三角形，实现线段和角的转移，将分散的条件集中到一个新的三角形中。 1.作辅助线（倍长中线） 操作：延长中线 AD 到点 E，使得 DE=AD，连接 BE（或 CE，视图形而定）。 目的：构造出一对全等三角形（ △ADC≅△EDB）。 2.证明全等 利用 SAS（边角边）判定定理：  AD=ED（辅助线作法）  ∠ADC=∠EDB（对顶角相等）  CD=BD（中线定义） 得出 △ADC≅△EDB。 3.性质转化 根据全等性质得出对应边相等（ AC=EB）、对应角相等（ ∠CAD=∠E， ∠C=∠DBE）。 关键作用：将原本分散的边 AC 转移到了 EB 的位置，使得 AB、 AC、 2AD（即 AE）集中在了 △ABE 中。 4.解决问题 证不等关系：利用三角形三边关系（两边之和大于第三边），如在 △ABE 中， AB+BE>AE，代换后得 AB+AC>2AD。 证平行/角关系：利用内错角相等（ ∠CAD=∠E）证明 AC∥BE。 变式1-1解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 变式1-2【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．        B．        C．        D． (2)求得的取值范围是________． A．        B． C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1)B (2)C (3)6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长，交于点F，证明，得到，，然后利用垂直平分线性质求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴由已知和作图能得到的理由是； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 变式1-3 根据要求完成以下问题： (1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)； (2)且， 证明：由（1）知，， ∴ ， ∴； (3)， 证明：如图，延长到，使得，连接， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点M，使，连接，利用“倍长中线法”构造全等三角形，再结合三角形的三边关系求解； （2）利用全等三角形的性质直接求解； （3）如图，延长到，使得，连接，由（2）知：，，进而证明，则． 【详解】（1）解：如图，延长到点M，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （2）略 （3）略 类型二、截长补短法 典例2 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 题型特征 线段关系：题目通常给出三条线段的和差关系（如 AB=AC+CD），或要求证明某条线段等于另外两条线段的和/差。 图形特征：常见于等腰三角形、等边三角形、直角三角形或角平分线相关的图形中。 辅助线需求：直接证明线段关系困难，需要通过添加辅助线构造全等三角形，实现线段的“转移”或“拼接”。 解题方法 核心思路：将分散的线段集中到一条直线上，或构造出相等的线段进行代换。 1.截长法（在长线段上截取） o操作：在较长的线段上截取一段等于较短的线段，然后证明剩下的部分等于另一条短线段。 o适用场景：已知 a=b+c，求证或求值。 o步骤： i.在长线段 AB 上截取 AD=AC（短线段）。 ii.连接辅助线，构造全等三角形（通常利用角平分线或等边对等角）。 iii.证明剩余线段 DB 等于另一条短线段 CB。 2.补短法（延长短线段） 操作：延长较短的线段，使其延长部分等于另一条短线段，然后证明延长后的总长度等于长线段。 适用场景：已知 a=b+c，求证或求值。 步骤： i.延长短线段 AC 至点 D，使 CD=CB（另一短线段）。 ii.连接辅助线，构造全等三角形。 iii.证明总长 AD 等于长线段 AB。 3.验证结论 利用全等三角形“对应边相等”的性质，完成线段的等量代换，最终得出结论。 变式2-1（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 变式2-2已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1) 补全图形，如图： ，， (2) 成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）略 （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2-3如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)不成立，， 理由：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 类型三、全等三角形的动点问题 典例3 如图，已知在四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向D运动．要使与全等，点Q的运动速度为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论当或时，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：由题意知，，设运动时间为，点Q的运动速度为， 则，，， ∵， ∴要使与全等，则有或， 当时，， 即，解得； 当时，， 即， 解得， 综上所述，点Q的运动速度为或． 题型模版 题型特征 动态变化：点在线段、射线或多边形的边上运动，随着运动时间或位置的变化，图形的形状、边长、角度会发生改变。 分类讨论：由于动点的运动路径或对应关系不唯一，通常需要分情况讨论（如点在不同边上、不同的对应顶点组合）。 方程思想：核心是利用全等三角形的性质（对应边相等）列出含时间或路程的方程，求出动点运动的时间或速度。 解题方法 设元表示：设运动时间为 （或路程为 ），用含 的代数式表示出动点运动的路程，以及相关的线段长度（如 ， ）。 寻找不变量：在运动过程中，找到图形中始终不变的量（如公共角、对顶角、固定的边长或角度），作为全等判定的基础条件。 分类讨论：根据题目要求（如“ 与 全等”），分析所有可能的对应情况（如 对应 或 对应 ），列出不同的方程组。 列方程求解：根据“全等三角形对应边相等”列出关于 的一元一次方程，解出 的值。 检验取舍：将求出的 值代入，检验动点是否在规定的运动范围内（如是否超出线段端点），不符合题意的解要舍去。 变式3-1如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 变式3-2数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 类型四、全等三角形的新定义问题 典例4定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．在中，，，、分别是边、上的点，当四边形为筝形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据筝形的定义分两种情况进行讨论，结合全等三角形的性质和三角形内角和、外角性质计算的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 当四边形为筝形，分两种情况讨论： 当，时，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，时，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上可得：的度数为或． 题型模版 新定义规则：题目会给出一个课本中未出现的三角形相关新概念、新判定规则或新图形构造方法（如“等距三角形”“共角全等”等自定义表述）。 几何化表达：解题的核心是将题目给出的文字描述、图形标记或符号规则，转化为三角形全等的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS）。 证明或求解：最终通常会要求证明两个三角形全等，或利用全等性质求线段长度、角度大小。 解题方法 读懂定义：仔细阅读题目，明确新定义的具体含义、适用条件和判定标准，圈出关键词（如“对应边相等”“夹角相等”“特殊位置关系”等）。 转化条件：将新定义中的条件与图形中的已知信息结合，转化为全等三角形判定所需的边、角对应关系。 匹配判定：根据转化后的条件，匹配对应的全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），确定证明路径。 规范证明：按照“已知条件→转化条件→判定定理→全等结论”的逻辑书写证明过程，注意对应顶点、对应边、对应角的书写顺序。 应用性质：若题目要求求线段或角度，利用全等三角形“对应边相等、对应角相等”的性质，结合已知条件计算结果。 变式4-1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数．过点C作交的延长线于点E，则的长为_______． 【答案】 【分析】先证，得，再根据在中利用三角形三边关系求出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：与为偏等积三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 线段的长度为正整数， ． 变式4-2数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 变式4-3综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3) 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 2．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 3．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 4．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 5．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 6．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 7．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1) 证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． (2) (3) 解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）略 8．综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1) 解：延长到G，使得，连接，    在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； (2) ；理由如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ，理由如下： 在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 9．在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1)证明：在上截，连接， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； (2)当时， 当时， 的度数为或 【分析】（1）在上截，连接，证明，可得，再根据线段的加减即可解答； （2）分三种情况，即当时，当时，当时，分别画出图形，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，图1为示意图，延长到，使，连接， ， ，． 为的角平分线， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，且， ，解得； ②当时，图2为示意图，延长到，使，连接， 同理可得， ， ， ， 在中，且， ，解得； ③当时， 根据三线合一，为的高， ， ， 即与无交点，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 10．如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ，     ， ， ，     ， 又，， ； (2)或 (3)存在，当或秒时，与全等 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明； （2）根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出时，然后列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，由（1）知， ，      当点在线段上时，， ，解得； 当点在射线上时，， ，解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在． 由（1）知， ， ，即， 如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 11．如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 12．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1) (2)上述结论仍然成立；理由如下： 如图所示，延长到，使，连接， ∵， ， 又，， ， ∴，，（全等三角形的对应角、对应边相等） ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， 即：，结论仍然成立． 【分析】（1）由，可得，而，则可得； （2）延长到，使，连接，可证得，，从而得到，结论仍然成立． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系是， ∵，   ∴， ∵，， ∴； （2）略 13．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 14．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 15．通过对图1中数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点． 由，， 得． 又， ． _____，_____ _____． 我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；请补全上面的证明过程． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，过作于点，延长交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，其中正方形和正方形的面积分别是4和9，的面积为，的面积为，的面积为，则的值为_____． 【答案】（1），，； （2）证明：如图，过点作于点，过点作与的延长线交于点， 由“字”模型可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3） 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，含30度的直角三角形，能够读懂题意作出辅助线证明三角形全等是解题关键； （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）过点作于点，过点作与的延长线交于点，由“字”模型可知，，，得到，，再证得，进而得到； （3）过点作与的延长线交于点，过点作与交于点，过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，的延长线与交于点，由“字”模型可知，，，进而证得，得到，再证，，得到，，进而，再利用含30度的直角三角形性质求得，进而可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作与的延长线交于点，过点作与交于点， 过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，过点作与的延长线交于点，的延长线与交于点， 由“字”模型可知，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形和正方形的面积分别是4和9， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图中，，，为上一点，当___________时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，则___________； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角形， ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价500元，请计算修建小路的总造价？ 【答案】（1）；（2）6； （3）①与是偏等积三角形， 理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②25000元 【分析】(1)当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论； (2)由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，．得，然后由三角形的三边关系求解即可； (3)①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得， ，求出，即可求解. 【详解】解：（1）当时，与是偏等积三角形， 理由如下： 设点到的距离为，则，， ， ，， ， 、， 与不全等， 与是偏等积三角形， 故答案为：； （2）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 线段的长度为正整数， 的长度为偶数， 在中，，， 即：， ； （3）① 略 ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $