专题07 等腰三角形性质与判定的综合题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题07 等腰三角形性质与判定的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形与旋转问题 题型二、等腰三角形与折叠问题 题型三、等腰三角形多结论问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法解法—明晰核心解法，助力能力迁移 等腰三角形性质与判定综合题是初中几何的核心重难点，所有题型均围绕“等边对等角、等角对等边、三线合一”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是判定等腰三角形时必须基于“两边相等”或“两角相等”的严格依据，严禁凭图形直观臆断；二是应用“三线合一”时必须明确前提是等腰三角形，且线段为顶角平分线、底边上的中线或高，不得随意套用。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形与动点问题 典例1 在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 题型模版 一、 题型特征 题干以等腰三角形为基础图形，通过绕顶点或中点旋转，要求判断旋转后的角度、线段关系或证明新三角形的形状。核心特征是“等腰+旋转必出全等”，解题关键是抓住旋转不变量，用全等和等腰性质转化边角关系。 二、 解题方法 标不变量：明确旋转中心、旋转角，标记旋转前后相等的边和角（旋转对应边相等、对应角相等，旋转角都相等）。 找全等：优先找SAS全等（等腰的两条等边+公共角/旋转角），证明旋转前后的三角形全等。 推结论：利用全等得对应边、对应角相等，结合等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，推导角度或线段关系。 算特殊角：若求旋转角，结合等腰三角形顶角、底角的度数，用三角形内角和或平角关系计算。 三、 易错提醒 找错对应边：旋转后对应边搞混，标不变量时要严格对应旋转前后的顶点。 漏用等腰性质：只盯着全等，忘记等腰三角形本身的等边、等角关系，导致推导卡壳。 忽略多解：旋转方向分顺时针、逆时针，或旋转后图形位置不同，可能有多组解，要分类讨论。 四、 解题底线 旋转前后对应边、对应角一定相等，这是解题的核心依据，不能写错对应关系。 所有结论都要结合等腰三角形的基本性质验证，不能脱离等腰的前提硬推。 变式1-1如图1，在中，，点D是边上一个动点（不与点A、B重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，使． (1)若，，求的度数． (2)若，，．求与的数量关系． (3)连接，F是中点，连接，，如图2，求的度数． 变式1-2综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，．将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： (1)如图，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 探究规律： (2)如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： (3)①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图中，作直线交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 变式1-3 已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 类型二、等腰三角形与折叠问题 典例2 生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究． (1)如图1，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，再将翻折，使与重合，折痕为，连接，则为_________度； (2)在（1）的条件下，若是等腰三角形，则的度数为多少？请说明理由； (3)图2中的四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知，，连接，为的高，若，，且，请直接写出的长． 题型模版 一、 题型特征 题干以等腰三角形为纸片，沿某条直线折叠，要求求角度、线段长度或判断折叠后图形的形状。核心特征是“折叠必出全等+等腰自带等边等角”，解题关键是抓住折叠的对称性，结合等腰性质列方程求解。 二、 解题方法 标折叠不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴，标记所有相等的边和角。 结合等腰性质：利用等腰三角形“等边对等角”“三线合一”，找出图中已有的相等边角，与折叠产生的相等关系联立。 设未知数列方程：求线段长度时，设未知数，用折叠相等关系表示相关线段，在直角三角形中用勾股定理列方程；求角度时，用三角形内角和或平角关系列等式。 分类讨论：折叠后落点位置不同（如落在腰上、底边上、外部），可能对应不同情况，需分别分析。 三、 易错提醒 对应关系搞错：折叠前后的点、边、角对应混乱，标记时要严格对应折痕两侧的对称点。 漏分类：只考虑一种落点情况，忽略折叠方向或位置不同带来的多解，要穷尽所有可能位置。 忽略隐含条件：忘记等腰三角形本身的等边等角，或折叠后形成的直角、平角关系，导致方程列错。 四、 解题底线 折叠前后图形全等，对应边、对应角一定相等，这是所有推导的基础。 求出的线段长度、角度必须符合三角形三边关系和内角和，排除不符合实际的解。 变式2-1如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与分别交于点E、点F，且折叠后为等腰三角形．（1）______，（2）如果折叠后也为等腰三角形，那么=______． 变式2-2折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状？并请说明理由， (2)面积的最小值为_____________． 【感悟作图】把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图③，试在折痕上找一点P，使得为等边三角形． 【迁移运用】 (4)若在一张钝角三角形的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为_____________（直接写出所有可能值．） 变式2-3按要求解题： (1)【问题】：如图1，等边，点E是射线上一个动点，延长至点D，使，当时，探究与之间的数量关系，并证明． 【分析】：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助的条件，可构造轴对称图形（如图2），使得和全等，进而补全等边，利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题． 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： (2)参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在中，，以为边做等边，点D在上方，连接，若，探索数量关系，并证明． 类型三、等腰三角形多结论问题 典例3 如图，在中，，为边上的高，平分，点在上，连接并延长交于点，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 题型模版 一、 题型特征 题干给出等腰三角形背景，附带角平分线、高、中线或折叠、旋转等条件，要求判断多个结论（如线段相等、角度关系、面积比等）的正误。核心特征是“条件嵌套、结论关联、逐个验证”，解题关键是拆解每个结论，结合等腰性质和几何定理逐一推导，严禁主观臆断或遗漏隐含条件。 二、 解题方法 拆结论：将多个结论编号，逐个分析，明确每个结论要证明的方向（相等、倍数、垂直等）。 标已知：在图中标注等腰三角形的等边、等角，以及角平分线、高、中线带来的相等关系，梳理所有已知条件。 推关联：从已知条件出发，结合等腰“三线合一”、全等三角形、三角形内角和等定理，逐步推导每个结论是否成立，必要时添加辅助线。 验特殊：对涉及长度、角度的结论，可代入特殊值（如顶角为60°、90°）验证，快速判断正误。 三、 易错提醒 结论混淆：多个结论推导时张冠李戴，推导每个结论时要回归对应条件，避免串线。 漏用性质：忘记等腰三角形“三线合一”或等边对等角，导致推导卡壳，标注已知时要优先标出等腰带来的隐含关系。 主观臆断：凭图形直观判断结论正误，不严格推导，所有结论都必须有定理或计算支撑。 四、 解题底线 每个结论都必须独立推导验证，不能因为前一个结论正确就默认后续结论也正确。 所有推导都要基于等腰三角形的基本性质和几何定理，严禁脱离条件硬凑结论。 变式3-1如图，在中，于点，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①； ②； ③点落在平分线上； ④． 正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 变式3-2已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，、相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、，则①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式3-3如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作交于点，作于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论是________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（     ） ①的面积的面积； ②； ③； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③ 4．如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 6．如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则______度． 7．如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中： ①；②； ③；④． 错误的是__________．（写出所有错误结论的序号） 8．如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 9．如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________ 10．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 11．已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 12．为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 13．在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等腰三角形性质与判定的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形与旋转问题 题型二、等腰三角形与折叠问题 题型三、等腰三角形多结论问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法解法—明晰核心解法，助力能力迁移 等腰三角形性质与判定综合题是初中几何的核心重难点，所有题型均围绕“等边对等角、等角对等边、三线合一”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是判定等腰三角形时必须基于“两边相等”或“两角相等”的严格依据，严禁凭图形直观臆断；二是应用“三线合一”时必须明确前提是等腰三角形，且线段为顶角平分线、底边上的中线或高，不得随意套用。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等腰三角形与动点问题 典例1 在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)2 (2)①在中，． ， ， ． 在和中， ， ②由可知，， ． (3)． 理由如下： 在中，． ， ， ． 在和中， ， ，， (4) 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出，再证明，得到，即可求出的长； （2）①先证，由即可得出，②根据全等三角形的性质进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 在中，，， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）略 （3）略 （4）由（2）可得，当时，四边形的面积， 由（3）可得，当时， 四边形的面积． 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积 题型模版 一、 题型特征 题干以等腰三角形为基础图形，通过绕顶点或中点旋转，要求判断旋转后的角度、线段关系或证明新三角形的形状。核心特征是“等腰+旋转必出全等”，解题关键是抓住旋转不变量，用全等和等腰性质转化边角关系。 二、 解题方法 标不变量：明确旋转中心、旋转角，标记旋转前后相等的边和角（旋转对应边相等、对应角相等，旋转角都相等）。 找全等：优先找SAS全等（等腰的两条等边+公共角/旋转角），证明旋转前后的三角形全等。 推结论：利用全等得对应边、对应角相等，结合等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，推导角度或线段关系。 算特殊角：若求旋转角，结合等腰三角形顶角、底角的度数，用三角形内角和或平角关系计算。 三、 易错提醒 找错对应边：旋转后对应边搞混，标不变量时要严格对应旋转前后的顶点。 漏用等腰性质：只盯着全等，忘记等腰三角形本身的等边、等角关系，导致推导卡壳。 忽略多解：旋转方向分顺时针、逆时针，或旋转后图形位置不同，可能有多组解，要分类讨论。 四、 解题底线 旋转前后对应边、对应角一定相等，这是解题的核心依据，不能写错对应关系。 所有结论都要结合等腰三角形的基本性质验证，不能脱离等腰的前提硬推。 变式1-1如图1，在中，，点D是边上一个动点（不与点A、B重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，使． (1)若，，求的度数． (2)若，，．求与的数量关系． (3)连接，F是中点，连接，，如图2，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由、得，故．由得，三角形的外角定理得，从而． （2）同理，．由得；由三角形的外角定理，联立得． （3）延长至使，延长至使．通过三组全等（、、）推出，再由得，故．其中的核心等式由与三角形的外角定理共同保证：． 【详解】（1）解：∵，，， ，则， ， ， ， （2）解：∵，，， ，则， ， ， ， ； （3）解：延长到H，使，连接、，延长到点G，使，连接、， ， ，， ∴． 在和中， ， ， ， ∵F是中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 变式1-2综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，．将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： (1)如图，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 探究规律： (2)如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： (3)①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图中，作直线交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； (3)①或；②旋转角为 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，即可得到答案； ②根据，只有当时成立，进而根据和旋转角的关系求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略； （3）解：①如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴此时和重合，这种情形不存在； 综上所述，或； ②如图， ，，旋转得到， ， 旋转角， ，，， ， ， 和都是顶角为的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 只有当时，满足是直角三角形， 此时，解得：， ∴旋转角为． 变式1-3 已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 类型二、等腰三角形与折叠问题 典例2 生活中随处可见几何图形与对称变换，折叠便是典型的轴对称变换，同学们在学习了简单的轴对称图形知识后，借助纸片开展折叠探究． (1)如图1，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，再将翻折，使与重合，折痕为，连接，则为_________度； (2)在（1）的条件下，若是等腰三角形，则的度数为多少？请说明理由； (3)图2中的四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形，已知，，连接，为的高，若，，且，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)的度数为或或， 理由：由（1）可知，， 设， ， ， 折叠， ， ， ①若，则， ， ，即； ②若，则， ， ， ， ，即； ③若，则， ， ， ，即， 综上可知，的度数为或或； (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据折叠得出，即可得解； （2）设，则，再分三种情况讨论，根据等边对等角分别求解即可； （3）根据题意画出折叠前的正方形，进而得出正方形边长，设，则，，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 折叠， ，， ； （2）略 （3）解：根据题意，四边形是正方形经过两次折叠后得到的图形， 设， 折叠， ，，， 正方形， ， ，， ，， ， ， 解得：，即． 题型模版 一、 题型特征 题干以等腰三角形为纸片，沿某条直线折叠，要求求角度、线段长度或判断折叠后图形的形状。核心特征是“折叠必出全等+等腰自带等边等角”，解题关键是抓住折叠的对称性，结合等腰性质列方程求解。 二、 解题方法 标折叠不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴，标记所有相等的边和角。 结合等腰性质：利用等腰三角形“等边对等角”“三线合一”，找出图中已有的相等边角，与折叠产生的相等关系联立。 设未知数列方程：求线段长度时，设未知数，用折叠相等关系表示相关线段，在直角三角形中用勾股定理列方程；求角度时，用三角形内角和或平角关系列等式。 分类讨论：折叠后落点位置不同（如落在腰上、底边上、外部），可能对应不同情况，需分别分析。 三、 易错提醒 对应关系搞错：折叠前后的点、边、角对应混乱，标记时要严格对应折痕两侧的对称点。 漏分类：只考虑一种落点情况，忽略折叠方向或位置不同带来的多解，要穷尽所有可能位置。 忽略隐含条件：忘记等腰三角形本身的等边等角，或折叠后形成的直角、平角关系，导致方程列错。 四、 解题底线 折叠前后图形全等，对应边、对应角一定相等，这是所有推导的基础。 求出的线段长度、角度必须符合三角形三边关系和内角和，排除不符合实际的解。 变式2-1如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与分别交于点E、点F，且折叠后为等腰三角形．（1）______，（2）如果折叠后也为等腰三角形，那么=______． 【答案】 或． 【分析】（1）根据题意可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，进而可推出，再分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，分别建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵折叠后为等腰三角形，且， ∴此时只能满足， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 变式2-2折纸是我国的传统文化．在数学学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为，宽为的长方形纸片进行折纸探究活动． 【操作说理】如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状？并请说明理由， (2)面积的最小值为_____________． 【感悟作图】把长方形纸片对折，折痕为，请你用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (3)如图③，试在折痕上找一点P，使得为等边三角形． 【迁移运用】 (4)若在一张钝角三角形的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为_____________（直接写出所有可能值．） 【答案】(1)解：为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； (2) (3)如图，即为所求； (4)或或 【分析】（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； （3）以点为圆心，为半径画弧，与的交点即为点，为等边三角形； （4）分三种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，最小，此时， ∴的面积的最小值； （3）略 （4）解：第一种情况，，如图所示： ； 第二种情况，，如图所示： ； 第三种情况，，如图所示： , 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，分类讨论，尺规作图，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 变式2-3按要求解题： (1)【问题】：如图1，等边，点E是射线上一个动点，延长至点D，使，当时，探究与之间的数量关系，并证明． 【分析】：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助的条件，可构造轴对称图形（如图2），使得和全等，进而补全等边，利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题． 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： (2)参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在中，，以为边做等边，点D在上方，连接，若，探索数量关系，并证明． 【答案】(1)解：，证明如下： 延长到点F，使得．连接． ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴； (2)解：，证明如下： 作的平分线，使，连接，设， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 延长至点E，使，连接， 设， 同理可得 ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）根据给出的思路，进行证明即可； （2）作的平分线，使，连接，设，证明，得到，延长至点E，使，连接，证明，推出是等边三角形，推出，等边对等角结合角的和差关系求出，进而求出的度数，求出，得到为等腰直角三角形，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 类型三、等腰三角形多结论问题 典例3 如图，在中，，为边上的高，平分，点在上，连接并延长交于点，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④． 题型模版 一、 题型特征 题干给出等腰三角形背景，附带角平分线、高、中线或折叠、旋转等条件，要求判断多个结论（如线段相等、角度关系、面积比等）的正误。核心特征是“条件嵌套、结论关联、逐个验证”，解题关键是拆解每个结论，结合等腰性质和几何定理逐一推导，严禁主观臆断或遗漏隐含条件。 二、 解题方法 拆结论：将多个结论编号，逐个分析，明确每个结论要证明的方向（相等、倍数、垂直等）。 标已知：在图中标注等腰三角形的等边、等角，以及角平分线、高、中线带来的相等关系，梳理所有已知条件。 推关联：从已知条件出发，结合等腰“三线合一”、全等三角形、三角形内角和等定理，逐步推导每个结论是否成立，必要时添加辅助线。 验特殊：对涉及长度、角度的结论，可代入特殊值（如顶角为60°、90°）验证，快速判断正误。 三、 易错提醒 结论混淆：多个结论推导时张冠李戴，推导每个结论时要回归对应条件，避免串线。 漏用性质：忘记等腰三角形“三线合一”或等边对等角，导致推导卡壳，标注已知时要优先标出等腰带来的隐含关系。 主观臆断：凭图形直观判断结论正误，不严格推导，所有结论都必须有定理或计算支撑。 四、 解题底线 每个结论都必须独立推导验证，不能因为前一个结论正确就默认后续结论也正确。 所有推导都要基于等腰三角形的基本性质和几何定理，严禁脱离条件硬凑结论。 变式3-1如图，在中，于点，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①； ②； ③点落在平分线上； ④． 正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】通过已知条件证明三角形全等，进而得出角和线段之间的关系． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴． ∴， ∴，故①正确； ②延长交于点，连接， ∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴，故②正确； ③∵，， ∴． 又∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵三角形的角平分线在三角形内部相交于一点， ∴点落在平分线上，故③正确； ④由题意得，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 变式3-2已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，、相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、，则①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】利用等边三角形边、角相等，证明，得到，判断①正确；利用对顶角和三角形内角和得到，判断③正确．由全等得到对应角相等，结合，，证得，判断②正确，进一步得到，结合角判定为等边三角形，判断④正确．过向、作垂线，借助全等三角形对应高相等得到，依据角平分线判定定理得到平分，判断⑤正确．在上截取构造等边，再证明得到，等量代换推出，判断⑥正确；六个结论全部正确，选择 D． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，． ∴， ， ． 在和中 ， ， ，故结论①正确． ． 又， ， ，故结论③正确． ，，， 在和中 ， ，故结论②正确． ． 又， 是等边三角形，故结论④正确． 如图，过点作于，于． ， 两个全等三角形对应边上的高相等，即． ，， 点在的角平分线上，即平分，故结论⑤正确． 如图，在上截取，连接． ，， 是等边三角形． ，， ． ，平分， ， ． ， ． 在和中 ， ， ． ，， ，故结论⑥正确． 综上，①②③④⑤⑥全部正确，正确结论共 6 个， 故选：D． 变式3-3如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作交于点，作于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论是________． 【答案】①②③ 【分析】①证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得是等腰直角三角形，则，进而得到；②根据，，，可依据“”判定和全等得；③先证明得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得；④根据点在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，故③正确； ∵点在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故④不正确， 故正确结论的是①②③． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，、旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用旋转的性质得到，，然后结合等边对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解： ， ． 由折叠的性质得， ， ． 分三种情况：当时，则， ， ， 解得； 当时，则， ， ， ， 解得； 当时，则， 不存在， 综上所述，的度数为或． 3．如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H．下面说法正确的是（     ） ①的面积的面积； ②； ③； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③ 【答案】C 【分析】根据三角形中线性质判断①，利用同角的余角相等及角平分线定义判断②，通过计算角度证明等腰三角形判断③，根据已知条件无法推导④． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 无法推出，即无法推出，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 4．如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断；②根据等角的余角相等得出，利用证明即可判断；③利用角平分线的定义得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可判断；④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出判断；⑤根据现有条件无法证明，即可判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤根据现有条件无法证明，故⑤错误； 综上，正确的有①②③④，共4个． 5．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 【答案】C 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②④，结合条件可证明，则有，，可得；③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．⑤假设G为的中点，先证明，可得，据此推出矛盾，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故③不正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴与、相交相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故⑤错误， 即正确的有①②④． 6．如图：O是等边内一点，线段以C为旋转中心顺时针旋转得到，连接、、、，若，当是等腰三角形，则______度． 【答案】100或130或160 【分析】由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，所以，推导出，再证明≌，则，再分三种情况讨论，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 线段以C为旋转中心顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形，， ， 在和中， ， ≌， ， 当时，则， ， ，且， ， ， ； 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：100或130或160． 7．如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中： ①；②； ③；④． 错误的是__________．（写出所有错误结论的序号） 【答案】④ 【分析】根据，，得出，可判断①；根据证明，可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据平分，得出，证出，即可得，可判断③；得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴，④错误． 综上所述，错误的是④． 8．如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，， 设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 9．如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________ 【答案】45 【分析】设，利用等腰三角形性质以及折叠得到，然后利用三角形外角性质列方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可知：， ， ， 又由折叠可知：， ， ， ， ， ， ， 解得， 则的度数为． 10．在中，，，点为射线上一动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于点，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作的垂线交于点，若点是的中点，求证：． (3)当点在的延长线上时，连接，与的延长线交于点，求的值． 【答案】(1)证明：交于点， ， ， ，， ， 绕点 B 逆时针方向旋转得到线段 ， ， 在和中． ， ； (2)证明：由（1）可得， ∴， 是的中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)的值为 【分析】（1）由旋转的性质得，先证，结合已知，可得答案； （2）先证，再证，再证，即可得答案； （3）先证，再证，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）解：如下图，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ， ∵将线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 11．已知，在中，，于点D，E是上一点，满足：；将绕点E顺时针旋转，交于点F． (1)如图1， ①试说明：； ②若，请探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若E是线段的中点，求的值． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转，交于点F， ， ， ， ； ②，理由如下： 过F作于H， 由①知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)3 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再根据旋转性质和余角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； ②过F作于H，则，证明得到即可得到结论； （2）过F作于G，根据等腰三角形的性质，结合已知可得，由推导出，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①略； ②略 （2）解：如图，过F作于G， 是线段的中点， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， 即， ， ， ． 12．为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 【答案】(1) (2)线段与相等，理由： ∵沿折叠得到， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ (3) 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求，结合三角形内角和算出； （2）由折叠得边、角相等，推出直角相等，结合，证三角形全等，得； （3）结合等边、折叠、平行线导等角，证全等得，同高三角形面积比等于底之比，代入线段长度求面积比值． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵点是中点， ∴，即， ∵， ∴； （2）略； （3）∵为等边三角形， ∴，即， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵和等高， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $