15.4 等腰三角形 题型专练 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

沪科版（2024）八年级上册 15.4 等腰三角形 题型专练 【题型1】等腰三角形性质与判定 【典例】如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论，其中不正确的有（ ） A．是等腰三角形 B． C．若，则 D． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，是等腰三角形，，点D与点E分别是与上的中点，点P是线段上的一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝10，BH＝2，则BC＝__________． 【举一反三4】将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形． 【题型2】等边三角形的性质 【典例】如图，是等边三角形，E为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在等边△ABC中，点D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为 （      ）  A．50° B．60° C．65° D．75° 【举一反三2】如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： ①可以由绕点B逆时针旋转得到； ②点O与的距离为4； ③； ④； ⑤. 其中结论正确的是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【举一反三3】点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为__________． 【举一反三4】如图，在边长为1的等边三角形中，边上的动点（不与端点重合），过点于点．下列说法正确的有 __________ ．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积是关于的二次函数； ④仅存在一点，使得． 【举一反三5】如图，点A、B、C、D依次在同一直线上，为等边三角形，且.在延长线上取点F，使得，连结. (1)求证：. (2)若，求的长. 【举一反三6】如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接并延长交于点. (1)求证：； (2)若，求的长. 【题型3】等边三角形的判定 【典例】等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【举一反三1】如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（ ）个. A． B． C． D． 【举一反三2】如图，AD是等腰三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=__________时，△PBC是等边三角形． 【举一反三3】如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是__________ ． 【举一反三4】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． 求证：∠C＝∠CDE． 【题型4】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【举一反三1】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　） A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm 【举一反三2】如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．是等边三角形 D．垂直平分 【举一反三3】如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.若CD=3AE，CF=6，则AC的长为__________ . 【举一反三4】在中，，平分，若，分别是，上的动点，，，当取得最小值时，则__________ ，与的数量关系为__________ . 【举一反三5】(苏科课本P47练习T3)如图，在 中，，垂足为 .求证： . 【举一反三6】如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，. （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长. 【题型5】等边对等角 【典例】如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为（　　） A．58° B．56° C．62° D．60° 【举一反三1】如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP.当是等腰三角形时，__________ 度. 【举一反三2】(人教课本P84习题T6)如图, 的垂直平分线 交 于点 .求 的度数. 【举一反三3】如图，在中，为线段的中点，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型6】三线合一 【典例】“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光.如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB=AC，D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是 （      ）  A．∠ADB=∠ADC B．BD=CD C．BC=2AD D．S△ABD=S△ACD 【举一反三1】已知△ABC，AB＝AC，∠B＝65°，则∠C的度数是（　　） A．50° B．65° C．70° D．75° 【举一反三2】如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．16 B．15 C．12 D．10 【举一反三3】如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为__________ ． 【举一反三4】等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为__________ ． 【举一反三5】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 【题型7】等角对等边 【典例】△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且BE＝BC，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三1】在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝__________°时，△ABC是等腰三角形． 【举一反三2】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，__________ 时，的形状是等腰三角形． 【举一反三3】如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点. (1)证明：. (2)证明：是等腰三角形. 【题型8】角平分线与平行线构造等腰三角形 【典例】如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三1】如图，直线，平分交于点E，，点F在的延长线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF=CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【举一反三3】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是__________． 【举一反三4】若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是__________三角形． 【举一反三5】如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形． 【举一反三6】如图，在中，平分交于点．过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：． 沪科版（2024）八年级上册 15.4 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】等腰三角形性质与判定 【典例】如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论，其中不正确的有（ ） A．是等腰三角形 B． C．若，则 D． 【答案】D 【解析】∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则选项A正确，不符合题意； 同理可得：， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，则选项C正确，不符合题意； 若，则，根据已知条件无法证明这一点， ∴不一定等于，则选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A 【解析】因为BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， DE∥BC，所以∠CBF=∠DBF=∠DFB, ∠BCF=∠FCE=∠EFC, 所以△BDF和△CEF都是等腰三角形，DE=DF+FE=BD+CE，△ADE的周长为AD+AE+DE= AD+AE+DF+EF= AD+AE+DB+EC=AB+AC；故①，②，③正确，选A. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，，是等腰三角形，，点D与点E分别是与上的中点，点P是线段上的一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【举一反三3】如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝10，BH＝2，则BC＝__________． 【答案】14． 【解析】如图，延长HB到点D，使得BD＝BA， ∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠ABC＝∠BDA+∠BAD， ∴∠ABC＝2∠BDA， ∵∠ABC＝2∠ACB， ∴∠ADB＝∠ACB， ∴AD＝AC， ∵AH⊥BC， ∴DH＝CH， ∵DH＝BH+BD， ∴DH＝CH＝BH+BA， ∴BC＝BH+CH＝2BH+BA， ∵AB＝10，BH＝2， ∴BC＝2×2+10＝14， 故答案为：14． 【举一反三4】将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形． 【答案】证明 ∵在△BDC 中，BC=DE， ∴∠BDC=∠BCD． ∵∠DEF=30°，∴∠BDC=∠BCD=75°， ∵∠ACB=45°， ∴∠DOC=30°+45°=75°．∴∠DOC=∠BDC， ∴△CDO是等腰三角形． 【题型2】等边三角形的性质 【典例】如图，是等边三角形，E为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，且， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ 故选：C. 【举一反三1】如图，在等边△ABC中，点D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为 （      ）  A．50° B．60° C．65° D．75° 【答案】B 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠BDE＝∠CFD＝90°， ∴∠CDF＝90°－60°＝30°， ∴∠EDF＝180°－90°－30°＝60°. 【举一反三2】如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： ①可以由绕点B逆时针旋转得到； ②点O与的距离为4； ③； ④； ⑤. 其中结论正确的是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】D 【解析】连接，过点O作，垂足为D， 由旋转得：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴点O与的距离为4，故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∴ ，故④不正确； 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，如图： 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴ ， 故⑤不正确； 所以，上列结论，正确的结论是①②③， 故选：D. 【举一反三3】点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为__________． 【答案】120° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠DCB=∠ABD，∴∠DBC+∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°． 【举一反三4】如图，在边长为1的等边三角形中，边上的动点（不与端点重合），过点于点．下列说法正确的有 __________ ．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积是关于的二次函数； ④仅存在一点，使得． 【答案】①②③④ 【解析】是边长为1的等边三角形， ． ①判断的取值范围： ， 中，． 边上的动点（不与端点重合）， ， ． 又， ，故①正确； ②比较面积大小： 在中，， ， ． 又， ，即． ， ，故②正确； ③建立面积关于的函数： 设，则， 在中，， ， 的面积是关于的二次函数，故③正确； ④判断满足面积相等的点是否存在： 如图，过点于点， 是等边三角形， ， 在中，． 当时，，， ， ， ， ． 令， =， 解得（负根舍去）． 在范围内， 仅存在一点，故④正确． 综上所述，正确的有。 【举一反三5】如图，点A、B、C、D依次在同一直线上，为等边三角形，且.在延长线上取点F，使得，连结. (1)求证：. (2)若，求的长. 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴； (2)解： ∵， ∴， ∴， ∴. 【举一反三6】如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接并延长交于点. (1)求证：； (2)若，求的长. 【答案】(1)如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【题型3】等边三角形的判定 【典例】等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【答案】A 【解析】如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F，∴AE=AF，又∠BAC=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选A． 【举一反三1】如图，点在直线上，、都是等边三角形，和交于点，和交于点．有如下结论：（1）；（2）；（3）；（4）平分；（5）是等边三角形．其中正确结论有（ ）个. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ，故（1）正确； 、都是等边三角形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 是等边三角形， 故（5）正确； ， ， ， ， ， ，故（2）错误； ，如图， ， , ，即， 在上取一点，使，则是等边三角形， ， ， ， ， ，故（3）正确； ， ，即， ， ， 平分，故（4）正确． 综上所述，（1）（3）（4）（5）正确， 故选：C． 【举一反三2】如图，AD是等腰三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=__________时，△PBC是等边三角形． 【答案】15° 【解析】当∠PBA=15°时，△PBC是等边三角形，理由如下：∵AD是等腰三角形ABC斜边上的中线，∴∠ABC=45°，BD=DC，AD⊥BC，∴PB=PC，∵∠PBA=15°，∴∠PBC=60°，∴△PBC是等边三角形，故答案为：15°. 【举一反三3】如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是__________ ． 【答案】6 【解析】如图，作点P关于的对称点，则， 当点、D、E三点共线，且时，光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短， ∵光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为， ∴， 过点P作， ∵点P是距离地面为的一个光源， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 【举一反三4】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． 求证：∠C＝∠CDE． 【答案】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AB， ∴∠CED＝∠B， ∴∠C＝∠CDE； 【题型4】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】B 【解析】已知树与地面的夹角为30°，根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”去求解可得这棵树在折断前的高度为9米。 【举一反三1】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　） A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm 【答案】D 【解析】过点C作CD⊥AD，∴CD=3cm，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6 cm，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6cm，∴BC2=AB2+AC2=62+62=72cm2，∴BC=62cm，故选：D． 【举一反三2】如图，在中，，，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在边上，点落在的延长线上，连接，，，若，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．是等边三角形 D．垂直平分 【答案】A 【解析】如图，设交于点G， 根据题意得：， ∵O为的中点， ∴，，，， ∴，， ∴是等边三角形， 故C正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴，故A错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分，故D正确； 综上所述，错误的是A. 故选：A. 【举一反三3】如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.若CD=3AE，CF=6，则AC的长为__________ . 【答案】10 【解析】 解： AC与DE相交于G，如图， ∵为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE=30°， ∴∠CGD=30°， ∵∠ACB=∠CGD+∠D， ∴∠D=30°， ∴CG=CD， 设AE=x，则CD=3x，CG=3x， 在中，AG=2AE=2x， ∴AB=BC=AC=5x， ∴BE=4x，BF=5x﹣6， 在中，BE=2BF， 即4x=2（5x﹣6），解得x=2， ∴AC=5x=10. 故答案为10. 【举一反三4】在中，，平分，若，分别是，上的动点，，，当取得最小值时，则__________ ，与的数量关系为__________ . 【答案】. ； . 【解析】过点作交于点，交于点， ，平分， ， 作点关于的对称点，则点在上，， 此时，取得最小值， ，， ， 即， ，即的最小值为， ∵，， ， ， 在中，， ， . 故答案为：，. 【举一反三5】(苏科课本P47练习T3)如图，在 中，，垂足为 .求证： . 【答案】证明　　， . ， ， . . . 【举一反三6】如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，. （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长. 【答案】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点作，交于点， ∵是边的垂直平分线， 是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴ ∴在中，， ∴， 由（1）得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得，， ∴. 【题型5】等边对等角 【典例】如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数为（　　） A．58° B．56° C．62° D．60° 【答案】C 【解析】设∠ADE＝x°，且∠BAD＝18°，∠EDC＝12°， ∴∠B+18°＝x°+12°， ∴∠B＝x°﹣6°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝x°﹣6°， ∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝x°﹣6°+12°＝x°+6°， ∵AD＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE＝x°+6°， 在△ADE中，由三角形内角和定理可得 x+x+6+x+6＝180， 解得x＝56，即∠ADE＝56°， ∴∠DAE＝62° 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP.当是等腰三角形时，__________ 度. 【答案】60或105或150 【解析】当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 【举一反三2】(人教课本P84习题T6)如图, 的垂直平分线 交 于点 .求 的度数. 【答案】解　, . 又∵ 是 的垂直平分线, . . . 【举一反三3】如图，在中，为线段的中点，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴为等腰三角形底边上的中线， ∴， 即； (2)解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【题型6】三线合一 【典例】“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光.如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB=AC，D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是 （      ）  A．∠ADB=∠ADC B．BD=CD C．BC=2AD D．S△ABD=S△ACD 【答案】C 【解析】因为∠ADB=∠ADC， ∠ADB+∠ADC=180°， 所以∠ADB=∠ADC=90°， 即AD是△ABC的高线， 因为△ABC是等腰三角形，AB=AC， 所以AD是△ABC的角平分线， 故A选项不符合题意； 因为△ABC是等腰三角形，BD=CD， 所以AD是△ABC的角平分线， 故B选项不符合题意； 若BC=2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线， 故C选项符合题意； 因为S△ABD=S△ACD， 所以BD=CD， 所以AD是△ABC的角平分线， 故D选项不符合题意. 【举一反三1】已知△ABC，AB＝AC，∠B＝65°，则∠C的度数是（　　） A．50° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∵∠B＝65°， ∴∠C＝65°， 故选：B． 【举一反三2】如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【解析】如图，连接， 是的垂直平分线， ，点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∴的长为的最小值， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 的周长最短 故选：B. 【举一反三3】如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为__________ ． 【答案】12 【举一反三4】等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为__________ ． 【答案】或 【举一反三5】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 【答案】证明 如图，过点A作AP⊥BC于P． ∵AB=AC，∴BP=PC， ∵AD=AE，∴DP=PE， ∴BP﹣DP=PC﹣PE， ∴BD=CE． 【题型7】等角对等边 【典例】△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且BE＝BC，则图中等腰三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴BD＝AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BD＝BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE＝BC， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠ADE， ∴DE＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个． 故选：D． 【举一反三1】在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝__________°时，△ABC是等腰三角形． 【答案】40. 【解析】∵△ABC是等腰三角形，∠A＝100°， ∴∠B40°． 故答案为：40． 【举一反三2】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．点在滑动时，__________ 时，的形状是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】，， ， ①当时，此时， ， ， ； ②当时，此时， ， ， ，此时点与点重合； ③当时，此时， ， ； 综上可知，点在滑动时，或或时，的形状是等腰三角形， 故答案为：或或 【举一反三3】如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点. (1)证明：. (2)证明：是等腰三角形. 【答案】(1)在和中，， ∴. (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. 【题型8】角平分线与平行线构造等腰三角形 【典例】如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】∵∠A＝36°，∠B＝72°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝36°， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°， ∵DE∥AC， ∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°， ∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°， ∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个， 故选：D． 【举一反三1】如图，直线，平分交于点E，，点F在的延长线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，， ∴，， ∵平分交于点E， ∴， ∴． 故选：A． 【举一反三2】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF=CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A 【解析】∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A． 【举一反三3】如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中的等腰三角形是__________． 【答案】△ABD 【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，故△ABD是等腰三角形，故答案为：△ABD． 【举一反三4】若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是__________三角形． 【答案】等腰 【解析】可依据题意线作出简单的图形，结合图形可得∠B=∠A，进而可得其为等腰三角形．解：如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，∴∠ACD=∠DCE，∠A=∠ACD，∠B=∠DCE∴∠B=∠A，∴△ABC为等腰三角形．故填等腰． 【举一反三5】如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形． 【答案】证明 ∵CE∥DA，∴∠A=∠CEB． 又∵∠A=∠B， ∴∠CEB=∠B．∴CE=CB． ∴△CEB是等腰三角形． 【举一反三6】如图，在中，平分交于点．过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)解：平分 ， 设， 则，， 根据三角形内角和定理得， 解得， ． (2)证明：根据题意，得， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $