2026-2027学年苏科版八年级上册数学期中综合提优练习

2026-2027学年第一学期初二数学期中综合提优练习 一．选择题（共8小题） 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2﹣（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．x2+y2 D．x2﹣6x+9 2．据人民网消息，2025年国庆中秋假期，全国国内出游8.88亿人次，国内出游总花费8090.06亿元．其中8090.06亿精确到的数位是（　　） A．百分位 B．十分位 C．千万位 D．百万位 3．如图，在△ABC中，BE是中线，AD是角平分线，AD与BE相交于点O，连接DE．下列结论：①AO是△ABE的中线；②BO是△ABD的角平分线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的中线．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 第3题第4题第5题 5．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，A是DE的中点，若AB＝CB，DB＝DE＝2，连接CE，则CE的长为（　　） A． B． C．4 D． 7．若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 8．“杨辉三角”（如图）是中国古代数学无比睿智的成就之一，他可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．则（x﹣1）2026的计算结果中含x2025项的系数（　　） A．2025 B．﹣2025 C．2026 D．﹣2026 第6题第8题 二．填空题（共8小题） 9．已知一个等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为________ ． 10．已知a+b＝﹣4，ab＝﹣21，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为 _______ ． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 _______ ． 12．已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，满足|a﹣6|+（b﹣8）2＝0，则△ABC的周长是__________ ． 13．在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 _______ 米． 第11题第13题 14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝10cm，AD＝3cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，且AP＝4cm，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为____________________ 秒时，△DPQ为直角三角形． 第14题 15．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x，y都取9时，各因式的值是162，18，0，于是可以把“162180”作为一个六位数密码．类似的对于多项式16x3﹣xy2，当x、y都取10时，最小的6位密码是___________ ． 16．如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形（a＞b），其面积为12．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，记图②中的大正方形的面积为S1，中间小正方形的面积为S2，且s1+s2＝20．将图②中的大正方形和中间小正方形拼成如图③所示的图形，点A到线段BC的距离为，则图③中阴影部分的面积是_____ ． 第16题 三．解答题（共11小题） 17．（1）因式分解：a2﹣4a+4； （2）因式分解：2a2﹣8； （3）直接写出的化简结果． 18．分解因式：（1）ab2﹣2ab+a； （2）m2（a﹣2）+（2﹣a）． 19．已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF，AE∥BF． （1）求证：△AEC≌△BFD； （2）若∠A＝60°，∠BFD＝80°，求∠C的度数． 20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，分别交AB，AC于点E，D． （1）若∠ADE＝40°，求∠DBC的度数； （2）若BC＝6，△CDB的周长为15，求AB的长． 21．如图，四边形AOBC中，AC＝BC，∠A+∠OBC＝180°，CD⊥OA于D． （1）求证：OC平分∠AOB； （2）若OD＝3DA＝6，求OB的长． 22．如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 23．【阅读材料】我们把二次三项式ax2+bx+c恒等变形为a（x+h）2+k（h、k为常数）的形式叫作配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题． 例如，分解因式：x2+4x﹣5． 解：x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣4﹣5＝（x+2）2﹣32＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）． 【实践应用】请用配方法解答下列问题： （1）分解因式：x2+2x﹣3． （2）求多项式x2﹣4x+5的最小值． （3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2﹣6a+b2﹣6b+c2﹣6c+27＝0，判断△ABC的形状． 24．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，BC＝4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，则BP的长为_____ ． 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4． ①求AD的取值范围； ②当AD的长度为正整数时，则AD＝_____ ． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC于点F，连接EF． （1）如图1，EF与CD相交于点G． ①求证：AE＝CF； ②当AD＝CE，DG＝4时，求CG的长． （2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE：CE＝2：5，求的值． 26．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，我们将（a﹣b）2写成[a+（﹣b）]2，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：（a﹣b）2＝[a+（﹣b）]2＝a2+2a•（﹣b）+（﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：a3﹣b3＝a3+（﹣b）3＝____________________ ． 【应用公式】（2）因式分解：x3﹣3x2y+3xy2﹣y3． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，设S四边形ABCD＝S1，S四边形EFGH＝S2，S四边形MNPQ＝S3，若S1+S2+S3＝33，则： ①S2＝_______ ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且S3＝3，请先将代数式a3+2a2b+2ab2+b3进行因式分解，然后求出代数式的值． 27．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，如果我们将（a﹣b）2写成[a+（﹣b）]2，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：（a﹣b）2＝[a+（﹣b）]2＝a2+2a•（﹣b）+（﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：a3﹣b3＝a3+（﹣b）3＝____________________ ； 【应用公式】（2）因式分解：x3﹣8； 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，设S四边形ABCD＝S1，S四边形EFGH＝S2，S四边形MNPQ＝S3．若S1+S2+S3＝39，则： ①S2＝_______ ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且S3＝1，请先将代数式a3+2a2b+2ab2+b3进行因式分解，然后求出代数式的值． ∴EC，故选：D． 【点评】考查勾股定理、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出EF和CF的长． 7．【解答】解：根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9，∴a+2＝±6，∴a＝4或a＝﹣8，故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8．【解答】解：由“杨辉三角”中数的排列规律可知， （x﹣1）2026的计算结果中含x2025项为2026x2025•（﹣1）＝﹣2026x2025， 所以含x2025项的系数为﹣2026，故选：D． 【点评】本题考查代数式，掌握“杨辉三角”数的排列规律是正确解答的关键． 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：在等腰三角形中，若角120°为底角，则另一底角也为120°，其和大于180°，不成立．故角只能为顶角，∵120°为三角形的顶角，∴底角为：．答案：30°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出底角的度数． 10．【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）．∵a+b＝﹣4，ab＝﹣21，∴原式＝（﹣21﹣1）×（﹣4）＝88．故答案为：88． 【点评】本题考查了因式分解的应用．关键是把所给代数式先进行因式分解．用到的知识点为：要进行因式分解的多项式有四项，应采用分组分解法：“三、一”分组或“两、两”分组． 11．【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16，∴AE＝BE＝16，故答案为：16． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 12．【解答】解：根据绝对值和平方的非负性可知：a﹣6＝0，b﹣8＝0， ∴a＝6，b＝8．∵△ABC为等腰三角形，且三边为a，b，c， ∴①若a、c为腰，则c＝a＝6，则底边b＝8，此时三边为6、6、8，满足三角形三边关系，周长为6+6+8＝20． ②若b、c为腰，则b＝c＝8，底边a＝6，三边为6、8、8，满足三角形三边关系，周长为6+8+8＝22．∴△ABC的周长为20或22．故答案为：20或22． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 13．【解答】解：设正三角形的边长为x，∵正三角形的高是， ∴（）2+（）2＝x2，∴x＝2，∴正三角形的边长＝2， 如图，将木块展开，得到如图的长方形， 如图长方形的AB相当于是6+2+2﹣2＝8，宽BC＝6米． 在Rt△ABC中，AC10， 昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米．故答案为：10． 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，有一定的难度，将木块表面展开，正确得到蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程的等价距离是关键． 14．【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°， 如图1，当∠DQP＝90°时，∵∠ADQ＝∠A＝∠DQP＝90°，AB＝10cm，AD＝3cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，且AP＝4cm，∴四边形APQD为矩形，∴DQ＝AP＝4cm， ∴CQ＝CD﹣DQ＝15﹣4＝11（cm），∵点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动， ∴此时点Q运动的时间为：11÷1＝11（秒）； 如图2，当∠DPQ＝90°时，过点P作PE⊥CD于点E，∵∠ADE＝∠A＝∠DEP＝90°， ∴四边形APED为矩形，∴DE＝AP＝4cm，PE＝AD＝3cm， 设EQ＝xcm，则DQ＝DE+EQ＝（4+x）cm， 在Rt△PDE中，， ∵PQ2＝PE2+EQ2，PQ2＝DQ2﹣DP2，∴PE2+EQ2＝DQ2﹣DP2， 即32+x2＝（x+4）2﹣52，解得：，∴，， ∴，∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上所述，t为11秒或秒时，△DPQ为直角三角形．故答案为：11或． 【点评】考查勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 15．【解答】解：16x3﹣xy2，＝x（16x2﹣y2）＝x（4x+y）（4x﹣y）， 当x、y都取10时，4x+y＝40+10＝50，4x﹣y＝40﹣10＝30， 各个因式的值为：10，50，30，所以最小的6位密码是103050．故答案为：103050． 【点评】考查因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法、平方差公式分解因式． 16．【解答】解：∵图①是一个长为2a，宽为2b的长方形（a＞b），其面积为12， ∴4ab＝12，即ab＝3，∵S1+S2＝20，∴（a+b）2+（a﹣b）2＝20，∴a2+b2＝10， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+6＝16，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝10﹣6＝4，而a＞b＞0， ∴a+b4，a﹣b2，如图③，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作CD的垂线，交DC的延长线于点N，由题意得，AM（a﹣b）AC，∴∠ACM＝30°， ∴∠ACN＝90°﹣30°＝60°，∠FCN＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△FCN中，∠FCN＝30°，∴FNFC（a﹣b）， ∴S阴影＝S△ABC+S△DCF（a+b）（a﹣b）（a+b）（a﹣b） （a+b）（a﹣b）4×2＝4，故答案为：4． 【点评】考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：（1）a2﹣4a+4＝（a﹣2）2； （2）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）； （3）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，分式的约分，正确计算是解题的关键． 18．【解答】解：（1）ab2﹣2ab+a＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2； （2）m2（a﹣2）+（2﹣a）＝m2（a﹣2）﹣（a﹣2） ＝（a﹣2）（m2﹣1）＝（a﹣2）（m﹣1）（m+1）． 【点评】本题主要考查了分解因式，掌握提公因式法、公式法是解决本题的关键． 19．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠AEC＝∠BFD， 在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）； （2）解：∵△AEC≌△BFD，∴∠AEC＝∠BFD＝80°， ∵∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 【点评】考查全等三角形判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 20．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB， ∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°； （2）∵DE垂直且平分AB，∴AD＝BD， △BDC的周长＝BC+BD+CD＝15，又∵BC＝6，∴AB＝AC＝9． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 21．【解答】证：（1）作CE⊥OB于E， ∵∠A+∠OBC＝180°，∠OBC+∠CBE＝180°，∴∠A＝∠CBE， 在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS）， ∴CD＝CE，∴OC平分∠AOB． （2）∵OD＝3DA＝6，∴AD＝BE＝2， 在Rt△ODC和Rt△OEC中，∵， ∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）， ∴OE＝OD＝6，∴OB＝OE﹣BE＝4． 【点评】本题考查了三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 22．【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD， ∵AB＝AD，∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键． 23．【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2﹣4x+4+1＝（x2﹣4x+4）+1＝（x﹣2）2+1， ∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1的最小值为1，∴x2﹣4x+5的最小值是1． （3）△ABC是等边三角形．理由： ∵a2﹣6a+b2﹣6b+c2﹣6c+27＝0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+c2﹣6c+9＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣3）2＝0，∵（c﹣3）2≥0，（a﹣3）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴c﹣3＝0，a﹣3＝0，b﹣3＝0，∴c＝3，a＝3，b＝3，∴a＝b＝c＝3，∴△ABC是正三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 24．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABP与△CBP是积等三角形，∴S△ABP＝S△ACP，∴，∴BP＝CP， ∵BP+CP＝BC，∴BP＝CP＝2．故答案为：2； （2）①如图2，延长AD至N，使DN＝AD，连接CN， ∵△ABD与△ACD为积等三角形，∴BD＝CD， 在△ADB和△NDC中，，∴△ADB≌△NDC（SAS），∴AB＝NC＝2， 在△ACN中，AC﹣CN＜AN＜AC+CN，∵AC＝4，∴4﹣2＜AN＜4+2， ∴2＜AN＜6，∴2＜2AD＜6，∴1＜AD＜3； ②∵1＜AD＜3，∴当AD的长度为正整数时，则AD＝2；故答案为：2； （3）是积等三角形； 证明：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， ∵MN⊥AC，∴∠ACD＝∠AHE＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH﹣∠DAH＝∠DAE﹣∠DAH， ∴∠EAH＝∠DAC， 在△HAE和△CAD中，， ∴△HAE≌△CAD（AAS），∴AC＝AH，EH＝CD， ∵S△BAE，S△ACD， ∵AB＝AC，∴S△ACD，∴S△BAE＝S△ACD，∴△ABE与△ACD为积等三角形． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25．【解答】（1）①证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°（等边对等角）， ∵D是AB的中点，∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD， ∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDA＝90°（垂直的定义），∴∠FDC＝∠EDA， 在△DFC与△DEA中，，∴△DFC≌△DEA（ASA）， ∴CF＝AE（全等三角形对应边相等）； ②解：由①可得，△DFC≌△DEA，∴DF＝DE（全等三角形对应边相等）， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠CED＝∠DEF+∠CEF＝45°+∠CEF， 又∵∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF，∴∠EGD＝∠CED， ∵CE＝AD，AD＝CD，∴CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE（等边对等角）， ∴∠CDE＝∠EGD，∴EG＝DE（等角对等边）， 如图1：过E作EQ⊥DC于Q，∴，且∠QCE＝∠QEC＝45°， ∴CQ＝EQ，设CQ＝EQ＝x，∴，∴， ∴，∴，∴； （2）解：如图2：延长FC到N，使得CN＝FC，连接EN． ∵CF＝CN，CE＝CE，∠FCE＝∠NCE＝90°， 在△FCE和△NCE中，，∴△FCE≌△NCE（SAS）， ∴∠FEC＝∠NEC，NC＝CF，∵AE：CE＝2：5，∴设AE＝2a，CE＝5a， 由（1）CF＝AE，DE＝DF，∠EDF＝90°， ∴AE＝CF＝CN＝2a，∠DEF＝45°＝∠A， ∴∠CED＝∠CEF+∠DEF＝∠ADE+∠ADE，∴∠ADE＝∠FEC， 设∠FEC＝∠NEC＝α，则∠ADE＝∠FEC＝α， ∵∠CME＝2∠ADE＝2α，∴∠N＝90°﹣α， ∴∠MEN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠N＝∠MEN，∴MN＝ME， 设MN＝ME＝x，则MC＝x﹣2a，∵CM2+CE2＝ME2， ∴（x﹣2a）2+（5a）2＝x2，解得：．∴．∴． 【点评】本题主要考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 26．【解答】解：（1）因为a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）， 将a3﹣b3转化为a3+（﹣b）3，代入和的立方公式得：a3+（﹣b）3 ＝[a+（﹣b）][a2﹣a（﹣b）+（﹣b）2]＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， 因此，a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）； （2）x3﹣3x2y+3xy2﹣y3＝（x3﹣y3）﹣3xy（x﹣y）＝（x﹣y）（x2+xy+y2）﹣3xy（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2+xy+y2﹣3xy）＝（x﹣y）（x﹣y）2＝（x﹣y）3； （3）①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， 则：大正方形ABCD的边长为a+b，面积； 小正方形MNPQ的边长为b﹣a，面积S3＝（b﹣a）2，三角形的面积为， a2+b2，根据题意S1+S2+S3＝33，（a+b）2+a2+b2+（b﹣a）2＝33， a2+2ab+b2+a2+b2+b2﹣2ab+a2＝33，3a2+3b2＝33，a2+b2＝11，即S2＝11．故答案为：11． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $