专题01 期中真题易错百炼通关108题36大易错题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题01 期中真题易错百炼通关（108题36大易错题型） 易错·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形 题型5 相似三角形的判定 题型6 相似三角形的性质 题型7 相似三角形的实际应用 题型8 图形的位似 题型9 二次函数的相关概念 题型10 二次函数图象与各项系数关系 题型11 二次函数与一次函数、反比例函数图象 题型12 二次函数的对称性 题型13 待定系数法求二次函数解析式 题型14 二次函数的平移问题 题型15 二次函数与方程的关系 题型16 二次函数与不等式的关系 题型17 二次函数的实际应用 题型18 反比例函数的相关概念 题型19 画反比例函数的图象 题型20 反比例函数的对称性 题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型22 已知反比例函数的增减性求参数 题型23 比较反比例函数值或自变量的大小 题型24 反比例函数的k值意义 题型25 一次函数与反比例函数结合 题型26 反比例函数的实际问题 题型27 求锐角三角函数值 题型28 根据锐角三角函数求角的度数 题型29 同角三角函数的关系 题型30 特殊角的三角函数值 题型31 解直角三角形 题型32 解非直角三角形 题型33 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型34 仰俯角问题 题型35 方位角问题 题型36 坡度比问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）若，则代数式______． 2．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在中，点D，E分别是边上的点． (1)若，且，求的长； (2)若，且的周长为，求的周长． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知线段，，线段是，的比例中项（即），则线段的长为________． 题型2 黄金分割（共3小题） 4．（2026·山西太原·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点设计在唢呐的黄金分割点（即），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是________．（结果保留根号） 5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 6．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 题型3 平行线分线段成比例（共3小题） 7．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，点分别在，上，且．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，直线，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，，则的长为________． 题型4 相似多边形（共3小题） 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 12．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，四边形四边形，，，，，，，． (1)______ ； (2)求边，的长度． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 14．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．（25-26九年级上·北京通州·期中）如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 题型6 相似三角形的性质（共3小题） 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，点D是上一点，于点E．    (1)求证：． (2)若，，求AD的长． 17．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． (1)若，求线段的长； (2)若的面积是36，求的面积． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 题型7 相似三角形的实际应用（共3小题） 19．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 20．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 21．（25-26九年级上·河北衡水·期中）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 题型8 图形的位似（共3小题） 22．（26-27九年级上·山东济南·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； (3)在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 24．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 题型9 二次函数的相关概念（共3小题） 25．（26-27九年级上·北京西城·期中）如果函数是关于的二次函数，则________． 26．（26-27九年级上·全国·期中）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 27．（26-27九年级上·全国·期中）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 题型10 二次函数图象与各项系数关系（共3小题） 28．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 30．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 二次函数与一次函数、反比例函数图象（共3小题） 31．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型12 二次函数的对称性（共3小题） 34．（26-27九年级上·北京东城·期中）已知、是抛物线上的两点，则________． 35．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______． 36．（24-25九年级下·江苏泰州·期中）已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 题型13 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 37．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 38．（25-26九年级上·重庆开州·期末）抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 39．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴正半轴交于点C，若的面积为6，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型14 二次函数的平移问题（共3小题） 40．（26-27九年级上·北京西城·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 41．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（    ） A． B．2026 C．2026 D．2029 题型15 二次函数与方程的关系（共3小题） 43．（26-27九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 44．（25-26九年级上·北京·期中）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为_____ 45．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 题型16 二次函数与不等式的关系（共3小题） 46．（25-26九年级上·广西百色·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 47．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，． (1)根据图象，直接写出不等式的解集． (2)若对称轴上有一点，当最小时，则点的坐标是 ． 48．（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线经过点A，C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)不等式的解集为________； (3)若点M在抛物线上，且在y轴左侧，当时，求点M的横坐标． 题型17 二次函数的实际应用（共3小题） 49．（26-27九年级上·北京西城·期中）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 50．（25-26九年级上·广东深圳·期中）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式.（，且为整数） (1)该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； (2)在这20天中，第8天的日销售利润为_______元； (3)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 51．（25-26九年级上·北京顺义·期末）洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； (2)在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 题型18 反比例函数的相关概念（共3小题） 52．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 53．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 54．（26-27九年级上·北京·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 题型19 画反比例函数的图象（共3小题） 55．（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 56．（25-26九年级上·全国·期中）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： (2)根据表格中的对应值为点坐标，在图中画出函数图象． 57．（25-26九年级上·北京西城·期中）已知反比例函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 1 2 4 … … 2 4 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_______________； (3)根据图象回答：当且时，的取值范围是__________________． 题型20 反比例函数的对称性（共3小题） 58．（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 59．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 60．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 61．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 62．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 63．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 题型22 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 64．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为_______． 65．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 66．（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 题型23 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 67．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用连接） 68．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 69．（2026九年级上·广东·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 题型24 反比例函数的k值意义（共3小题） 70．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 71．（26-27九年级上·山东·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 72．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作平行四边形，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为________． 题型25 一次函数与反比例函数结合（共3小题） 73．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 74．（26-27九年级上·山东德州·期中）如图，一次函数与反比例函数交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 75．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 题型26 反比例函数的实际问题（共3小题） 76．（26-27九年级上·河北沧州·期中）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 77．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 78．（26-27九年级上·广西南宁·期中）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 【前期准备】查阅资料，了解音乐、物理相关的知识；准备相同规格的吸管，剪刀，刻度尺，频谱分析仪． 【收集数据】取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），数据如表： … 30 24 20 18 16 15 … … 240 300 360 400 450 480 … 【建立模型】 (1)为直观分析f与l的变化规律，根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点． (2)结合表中数据和图象分析，判断f与l满足的函数关系是______函数（填“一次”，“二次”，“反比例”），并求出f与l之间的函数解析式（不要求写出自变量l的取值范围）； (3)【应用模型】如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，就可以制作成乐器． 唱名 在制作乐器时，求唱名对应的吸管长度（结果保留整数）． 题型27 求锐角三角函数值（共3小题） 79．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 80．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 81．（26-27九年级上·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型28 根据锐角三角函数求角的度数（共3小题） 82．（26-27九年级上·山东济宁·期中）若均为锐角，且满足，求的值． 83．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）在中，，均为锐角，且满足，则__________． 84．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型29 同角三角函数的关系（共3小题） 85．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 86．（26-27九年级上·山东东营·期中）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 87．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 题型30 特殊角的三角函数值（共3小题） 88．（26-27九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)． (2)． 89．（2026·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 90．（2026·湖南长沙·一模）计算：． 题型31 解直角三角形（共3小题） 91．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） ∵在中，，且， ∴可得． ∴． 92．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 93．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 题型32 解非直角三角形（共3小题） 94．（26-27九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，求BC的长． 95．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 96．（26-27九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 题型33 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（共3小题） 97．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，，，，求的面积． 98．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 99．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 题型34 仰俯角问题（共3小题） 100．（25-26九年级上·北京·期中）育才中学九（三）班的数学活动小组要测量学校综合办公楼的高度，李刚带领组员们在地面处竖直放置一带刻度的标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得点，，在一条直线上．如图所示，该小组在标杆的点处通过平面镜恰好观测到楼顶（此时），在点处测得楼顶的仰角为，平面镜的俯角为，，求综合办公楼的高度为多少？（结果精确到）（参考数据：，，） 101．（2026·江苏盐城·一模）如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点320米的点测得山顶的仰角为，请帮助小明解决下列问题： (1)求山顶到山脚的距离． (2)如图2，若在山脚距离60米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度．（，，，） 102．（25-26九年级上·广西南宁·期中）某校数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图，图． 【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角． 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1．          测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点处，然后看着镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明站在点处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． ∵法线，， ． ∵①________， ． ，即． ②________（）． 故旗杆的高度为 m． 方案二：如图，小亮在测点D处安置测倾仪，测得旗杆顶端B的仰角，量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． （）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 题型35 方位角问题（共3小题） 103．（2026·重庆·三模）如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 104．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 105．（2026·广东广州·一模）如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． (1)求学校与公园之间的距离； (2)若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 题型36 坡度比问题（共3小题） 106．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 107．（2026·陕西西安·模拟预测）某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线下的影子端点落在E处，测量为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，，小明每一步的长度为米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物的高度． 108．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 期中真题易错百炼通关（108题36大易错题型） 易错·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 题型4 相似多边形 题型5 相似三角形的判定 题型6 相似三角形的性质 题型7 相似三角形的实际应用 题型8 图形的位似 题型9 二次函数的相关概念 题型10 二次函数图象与各项系数关系 题型11 二次函数与一次函数、反比例函数图象 题型12 二次函数的对称性 题型13 待定系数法求二次函数解析式 题型14 二次函数的平移问题 题型15 二次函数与方程的关系 题型16 二次函数与不等式的关系 题型17 二次函数的实际应用 题型18 反比例函数的相关概念 题型19 画反比例函数的图象 题型20 反比例函数的对称性 题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围 题型22 已知反比例函数的增减性求参数 题型23 比较反比例函数值或自变量的大小 题型24 反比例函数的k值意义 题型25 一次函数与反比例函数结合 题型26 反比例函数的实际问题 题型27 求锐角三角函数值 题型28 根据锐角三角函数求角的度数 题型29 同角三角函数的关系 题型30 特殊角的三角函数值 题型31 解直角三角形 题型32 解非直角三角形 题型33 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型34 仰俯角问题 题型35 方位角问题 题型36 坡度比问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）若，则代数式______． 【答案】/ 【分析】已知分式比例关系，可通过设参数法将、用同一参数表示，代入所求代数式化简求值． 【详解】解：由，设，（，因分式分母不能为0）， 将，代入， 得：（，约去） 2．（25-26九年级上·北京·期末）如图，在中，点D，E分别是边上的点． (1)若，且，求的长； (2)若，且的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）利用比例式的性质可求解； （2）通过证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的周长． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期中）已知线段，，线段是，的比例中项（即），则线段的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了比例中项．根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：∵线段是，的比例中项， ∴， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴，∴（线段长度取正值）． 故答案为：2． 题型2 黄金分割（共3小题） 4．（2026·山西太原·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一．如图，唢呐主要由唢呐杆和唢呐碗两部分组成．制作唢呐时，通常将连接点设计在唢呐的黄金分割点（即），这样唢呐既美观又有最好的音效．现有一个长度为的唢呐杆，准备用其制作一个这样的黄金分割唢呐，则需要制作的唢呐碗的长度是________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义得到，再由即可求解． 【详解】解：∵连接点设计在唢呐的黄金分割点，而由题意得， ∴， ∴ ∴唢呐碗的长度是． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 6．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 【答案】(1)； (2)该雕像的下半身设计高度为． 【分析】本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（或）． （2）解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 题型3 平行线分线段成比例（共3小题） 7．（26-27九年级上·四川·期中）如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，点分别在，上，且．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，直线，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，通过已知线段的长度建立比例关系，从而求出未知线段EF的长度． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型4 相似多边形（共3小题） 10．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 【答案】 20 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 12．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，四边形四边形，，，，，，，． (1)______ ； (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据多边形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵四边形四边形，，，， ∴，， ∴， （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 13．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵且， ∴， ∴， ∴， 即； (2)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两边对应成比例及其夹角相等判定，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）由得到，则有，再根据两边对应成比例及其夹角相等即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：，，， ， ， ， ， (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：△△， ， ， ． 15．（25-26九年级上·北京通州·期中）如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 【答案】(1) 证明：、E、F分别是三边的中点， ，，， ， ； (2) 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似解答． （1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似； （2）根据相似比为，故面积比为． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 题型6 相似三角形的性质（共3小题） 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，点D是上一点，于点E．    (1)求证：． (2)若，，求AD的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵ ∴ (2)5 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法． 17．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，．，连接． (1)若，求线段的长； (2)若的面积是36，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行可得，再由相似三角形的性质求解即可； （2）利用共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）解：由（1）可得 ∴ ∵共以为底边上的高， ∴ ∴ ∴． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）利用矩形和直垂直的定义可得、，从而证明结论； （2）首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即梦． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 题型7 相似三角形的实际应用（共3小题） 19．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】变短了，短了2.8米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得出，，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案． 【详解】解：设小云在B点时，身高为，在点A时，身高为， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得，米； 同理，由，可求得米， 则小云的身影变短了米． ∴变短了，短了2.8米． 20．（25-26九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）当减小、增大时，的高度变大； （4） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可； （4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． 21．（25-26九年级上·河北衡水·期中）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】(1)③ (2)解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【分析】（1）根据相似三角形的知识，发现两种方案都是可以的： （2）选择一种方案，利用相似三角形的知识给出解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 题型8 图形的位似（共3小题） 22．（26-27九年级上·山东济南·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； (3)在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1)如图， (2)如图， (3) 【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变换的性质，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：图略， （2）略 （3）解：以原点为位似中心，相似比为，在同一侧的位似点坐标规律：点，对应点坐标为． 23．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， (1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； (2)与的面积比为________． (3)的面积是________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)14 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； （3）解：的面积是． 24．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 题型9 二次函数的相关概念（共3小题） 25．（26-27九年级上·北京西城·期中）如果函数是关于的二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可以得到，根据可得：或，根据可得，从而确定的值． 【详解】解： 函数是关于的二次函数. 满足条件， 解方程， 可得：， 解得：或， ， ， . 26．（26-27九年级上·全国·期中）已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 27．（26-27九年级上·全国·期中）已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 题型10 二次函数图象与各项系数关系（共3小题） 28．（2026·安徽阜阳·二模）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的个数为（    ） ①；②；③；④若点在函数图像上，且满足，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，即；再结合抛物线与y轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；因为对称轴，当时，，则当时，，即可判断②；由对称轴为直线，则，即可判断③； 由，即，由抛物线的对称轴是直线，即点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，所以，故可以判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为，， ∴，即； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，即①错误； ∵对称轴，当时，，则 ∴当时，，即可②正确； ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，即③错误． ∵抛物线对称轴为，， ∴当时的函数值大于当时的函数值． ∵， ∴， ∴当点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，故④正确． 综上，正确的结论是②④，共2个． 29．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会根据二次函数的图象判断各项系数和式子符号是解答的关键． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：①∵图象开口向下，对称轴为直线，图象与轴交于正半轴， ∴，，， ∴， 则①错误； ②∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，．故②正确． ③当时，二次函数取得最大值为． 当时，二次函数的值为， ∴ 即， ∴ 故③正确． ④∵当时，． 当时，， ∴， ∴，即，故④错误， 所以正确的结论是②③． 故选C． 30．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据抛物线图象确定参数的取值即可； ②根据对称轴确定点坐标，然后当时，确定函数值的取值即可； ③根据对称轴确定参数的数量关系即可； ④根据抛物线顶点坐标即可确定不等式． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵抛物线交轴于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线，且， ∴， 结合抛物线图象可得，当时，， 即， 故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④∵抛物线开口向下， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 当时，， 当时，， ∴， 即， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故选：C． 题型11 二次函数与一次函数、反比例函数图象（共3小题） 31．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 32．（24-25九年级上·山东青岛·期末）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 33．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）如图，抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，可得方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，从而可判断； 【详解】由图像可知a＞0，b＞0，c＞0，k＜0，则b－k＞0，可排除选项B、D，由图像可知抛物线y＝a＋bx＋c与直线y＝kx有两个不同的交点，则一元二次方程a＋bx＋c＝kx有两个不等的实数根，即一元二次方程a＋（b－k）x＋c＝0有两个不等的实数根，所以二次函数y＝a＋（b﹣k）x＋c的图象与x轴有两个交点，故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 题型12 二次函数的对称性（共3小题） 34．（26-27九年级上·北京东城·期中）已知、是抛物线上的两点，则________． 【答案】2 【分析】根据两个点的纵坐标相等求得抛物线的对称轴为直线，进而由对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵、是抛物线上的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 35．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 36．（24-25九年级下·江苏泰州·期中）已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 题型13 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 37．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 【分析】（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，代入已知点坐标求解参数； （2）代入点的横坐标计算函数值，与点的纵坐标对比判断． 【详解】（1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； （2）略 38．（25-26九年级上·重庆开州·期末）抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查用待定系数法求二次函数的解析式，把的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可．由于抛物线与x轴交于和两点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得，即，整理得①， 将代入，得，即，整理得②， 由，得，解得， 将代入①，得，即，解得， 故抛物线的解析式为， 故答案为：． 39．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴正半轴交于点C，若的面积为6，则该二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 由二次函数与x轴交点可知其交点式，再根据三角形面积公式求出a，进而求解即可． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于、两点， ∴设二次函数为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵抛物线与y轴正半轴交于点C， ∴当时，， 由可知，当时，， ∴， ∴ ∵、 ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴（不符合题意，舍去）或 ∴当时，． 故选：A． 题型14 二次函数的平移问题（共3小题） 40．（26-27九年级上·北京西城·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原抛物线解析式为， 向右平移2个单位长度，将替换为，得， 再向上平移3个单位长度，得. 41．（2026·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 42．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（    ） A． B．2026 C．2026 D．2029 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的平移规律，熟练掌握抛物线的平移规律是关键．利用“左加右减，上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将已知点代入求解a的值即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得． 故选：D． 题型15 二次函数与方程的关系（共3小题） 43．（26-27九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象经过点和，则方程的解为________ 【答案】， 【分析】二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解，已知二次函数图象过两个x轴上的点，直接可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴这两个点是二次函数图象与x轴的交点， ∴方程的解为：，． 44．（25-26九年级上·北京·期中）如图，二次函数的图象与直线相交于点和点，对称轴为直线，那么关于的一元二次方程的解为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与一元二次方程的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性求出点的横坐标． 一元二次方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，已知一个交点，再根据对称轴求出另一个交点的横坐标． 【详解】解：二次函数的图象与直线的交点横坐标就是方程的解， 已知交点，且二次函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点和点关于对称轴对称， 设点的横坐标为，则，解得， 关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 45．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 题型16 二次函数与不等式的关系（共3小题） 46．（25-26九年级上·广西百色·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 47．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，． (1)根据图象，直接写出不等式的解集． (2)若对称轴上有一点，当最小时，则点的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是数形结合． （1）根据直线方程得到点的坐标，再根据图象不等式的解集即为二次函数在一次函数上方时对应的自变量取值范围； （2）根据待定系数法求出抛物线解析式，即可求出抛物线对称轴，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接，则，得出当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点，即可求解； 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 则点， 根据图象得，不等式的解集为； （2）解：把，分别代入得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 如图，根据二次函数对称性可得点C关于对称轴的对称点是点A，连接， 则， 当点三点共线时，最小，最小值为，点P位于对称轴与直线交点， ∴． 48．（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线经过点A，C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)不等式的解集为________； (3)若点M在抛物线上，且在y轴左侧，当时，求点M的横坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）令，，求出三个点的坐标即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）求出直线的解析式，过点M作轴交直线于点N，设，则，根据三角形的面积关系，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ， 令，则，解得，， ，． （2）解：由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：，，， ，， ， ， ． 设直线的表达式为， 将点，的坐标代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 如图，当点M位于y轴左侧时，过点M作轴交直线于点N， 设，则， ∴， ， ，解得， ， ， ∴M的横坐标为． 题型17 二次函数的实际应用（共3小题） 49．（26-27九年级上·北京西城·期中）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． 已知，九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 3 5 6 7 9 竖直高度y/m 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】(1)最大高度为，； (2)． 【分析】（1）观察数据发现函数关于对称，顶点为，用待定系数法求二次函数关系式． （2）分别令求出两次训练实心球落地时的水平距离，比较大小． 【详解】（1）解：观察表格数据，当和时值相同，当和时值相同， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 实心球竖直高度的最大值为， 设， 将代入得：， 解得：， ． （2）解：第一次训练，令： ， ， ， ， ， 第二次训练，令： ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 50．（25-26九年级上·广东深圳·期中）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式.（，且为整数） (1)该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； (2)在这20天中，第8天的日销售利润为_______元； (3)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)第10天日销售利润最大，最大日销售利润是450元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，涉及函数关系式的求解、特定值的计算以及最值问题。解题关键是根据题意建立函数模型，并利用初中数学知识求解． （1）设日销售量与时间之间的函数关系式为，当时，；当时，，代入求出，即可； （2）根据日销售利润日销售量(售价成本)计算即可得解； （3）设日销售利润为元，得到，求最值计算即可； 【详解】（1）设日销售量与时间之间的函数关系式为， 根据题意，当时，；当时，， 有方程组：， 解得， ； （2）售价，成本为元/盏， 每盏利润， 当时，日销售量（盏）， 每盏利润（元）， 日销售利润 （元）； 答：第8天的日销售利润为元． （3）设日销售利润为元， 则， 化简得：， ， 有最大值， 当时，最大， 最大利润（元）； 答：第10天日销售利润最大，最大日销售利润是元． 51．（25-26九年级上·北京顺义·期末）洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； (2)在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①根据抛物线的对称性求得对称轴，进而结合表格，即可求解； ②待定系数法求得抛物线解析式，然后令即可求解； （2）由上边缘落地点的水平距离和喷出水的落地区域的宽度范围求出下边缘落地点的水平距离范围，代入临界值列不等式即可解答． 【详解】（1）解：①∵当和时，， ∴上边缘抛物线对称轴为直线， 由表格知，当时，，即喷出水的上边缘竖直高度的最大值； 故答案为：； ②由表可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为：， 令，， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴喷出水的上边缘落地点的水平距离为； （2）解：∵喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足， 令，得， 设其正根为，则喷出水的下边缘落地点的水平距离为， ∵喷出水的上边缘落地点的水平距离为，喷出水的落地区域的宽度， ∴， 解得：， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴． 题型18 反比例函数的相关概念（共3小题） 52．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 53．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）已知y与成反比例，并且时，求： (1)y和x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与成反比例设出函数形式，再代入已知条件求出得到函数关系式； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与成反比例， ∴设， 将，代入得， 解得， ∴和之间的函数关系式为； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 解得． 54．（26-27九年级上·北京·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)该反比例函数的解析式为． (2)的取值范围是． 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可． （2）当时，求出x的值，再结合反比例函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 则， 解得， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：当时，则， 解得． ∵， ∴反比例函数在第二、四象限，且在各自的象限内y随着x的增大而增大． ∴当时，． 题型19 画反比例函数的图象（共3小题） 55．（26-27九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)函数的图象在哪几个象限？画出函数的图象； (3)点在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)函数图象在第二、四象限，图象如下图所示： (3)点在该函数图象上，点不在该函数图象上 【分析】（1）把已知点坐标代入反比例函数解析式，列方程求出的值； （2）根据的正负判断函数图象所在象限，通过列表描点画出函数图象； （3）利用反比例函数的特点，代入点的横纵坐标验证，判断点是否在函数图象上． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）得反比例函数解析式为， ， 函数图象位于第二、第四象限， 列表如下：      描点连线即可； （3）解：， 点在这个函数的图象上； ， 点不在这个函数的图象上． 56．（25-26九年级上·全国·期中）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． (1)填写表格： (2)根据表格中的对应值为点坐标，在图中画出函数图象． 【答案】(1) 填写表格如下： (2) 画函数图象如下： 【分析】本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． （）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，， 当时，； （2）略 57．（25-26九年级上·北京西城·期中）已知反比例函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 1 2 4 … … 2 4 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_______________； (3)根据图象回答：当且时，的取值范围是__________________． 【答案】(1) 描点、连线画出函数图象如图： (2) (3)或 【分析】（1）根据函数解析式可以将表格补充完整，然后描点、连接作图象即可； （2）根据函数图象，写出的取值范围即可； （3）根据函数图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 列表如下： … 1 2 4 … … 1 2 4 … （2）解：当时，， 当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：当时，， 解得：， 当且时，的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数的作图方法是解本题的关键． 题型20 反比例函数的对称性（共3小题） 58．（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 【答案】（-2，-4） 【分析】根据交点的横坐标是2，得到，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图像的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可． 【详解】∵交点的横坐标是2， ∴， 解得k=2， 故函数的解析式为y=2x，y=， 当x=2时，y=4， ∴交点坐标为（2，4）， 根据图像的中心对称性质， ∴另一个交点坐标为（-2，-4）， 故答案为：（-2，-4）． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图像的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图像的中心对称性质是解题的关键． 59．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 60．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图，正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点．求点的坐标．    【答案】 【分析】把代入反比例函数解析式可得点A坐标，然后根据点和点关于原点对称可得点的坐标． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∵正比例函数（）与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握正比例函数与反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 题型21 已知双曲线分布的象限求参数范围（共3小题） 61．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）反比例函数的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，图象在第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可得到的范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， 比例系数， 解得． 62．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 63．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，判断出，解不等式即可； （2）结合反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，从而得到和的大小关系． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得，； （2）解：结合反比例函数的图象可知，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 题型22 已知反比例函数的增减性求参数（共3小题） 64．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，指数部分应为，即，再根据函数在每个象限内随的增大而增大，系数，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数是反比例函数， 则指数部分， 解得：， 又∵在每个象限内，随的增大而增大， ∴系数，即， ∴． 65．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，根据图象经过第二、四象限得到，然后求解即可； （2）根据反比例函数的定义得到，根据在每一象限内，y随x的增大而减小得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵此函数为正比例函数， ∴， 解得， ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， 解得， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． 66．（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 题型23 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 67．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用连接） 【答案】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象在第一、三象限， ∵， ∴点，在第三象限， ∵函数图象在第三象限内为减函数， ∴， ∵， ∴在第一象限， ∴， ∴、、的大小关系是． 68．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． 69．（2026九年级上·广东·专题练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． (4)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用待定系数法直接解答即可； （2）把代入上一小问求出的解析式，求出函数值即可求出答案； （3）把取值范围的端点值代入第一小问的解析式，结合函数图象，求出的取值范围； （4）根据二次函数的顶点坐标公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为． （2）解：由（1）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，． （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． （4）解： ， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得或（舍去）， ∴． 题型24 反比例函数的k值意义（共3小题） 70．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 71．（26-27九年级上·山东·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积． 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． 72．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作平行四边形，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为________． 【答案】20 【分析】连接，先根据平行四边形的性质得到，，易证，再根据，推出，进而推出，由，求出，再求出，从而求出，由点D在反比例函数图象上，即可求出k的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，点A，B在x轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在反比例函数图象上，且， ∴， ∴． 题型25 一次函数与反比例函数结合（共3小题） 73．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将点代入求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出反比例函数关系式，然后将两个关系式联立求出点B的坐标即可； （2）先求出点C的坐标，再将两个函数关系式联立，并根据只有一个公共点求出a值，然后根据函数值的大小求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴ 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； （2）解：令，， ∴点． ∵直线经过点， ∴， ∴直线的关系式为． 将两个关系式联立，得， ∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴有两个相等的实数根， 即， 解得， ∴直线． 将直线和反比例函数联立，得 ， 解得． 当时，；当时，， 所以当或时，． 74．（26-27九年级上·山东德州·期中）如图，一次函数与反比例函数交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）将点代入反比例函数关系即可求出反比例函数解析式；再求出点的坐标，再根据点A、点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，进而可得出，根据可得，据此计算即可作答． 【详解】（1）解：将代入，可得：，即， ∴反比例函数的关系式为， 将代入，可得：，即， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）如图， 令，，即， ∴， ∵，，， ∴． 75．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 【答案】(1)， (2)和 (3)或 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． （2）解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． （3）解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 题型26 反比例函数的实际问题（共3小题） 76．（26-27九年级上·河北沧州·期中）在物理实验课上，小高正在探究“电压一定时，通过导体的电流与导体电阻的关系”．他搭建了一个电路，保持定值电阻两端的电压(伏特)不变，通过更换不同的定值电阻(欧姆)，记录下对应的电流表读数(安培)．已知该电路允许的最大电流为安培．记录的数据如下表所示： 电阻(欧姆) 电流(安培) (1)根据表中的实验数据，可以将电流与电阻看成________函数关系，其函数解析式为________； (2)如果小高想在电路中接入一个阻值为欧姆的电阻进行实验，请通过计算说明这样做是否安全(即电流是否会超过电路允许的最大值安培)？如果不安全，接入的电阻最小应为多少欧姆？ 【答案】(1)反比例，． (2)不安全（此时电流为安培，超过安培）；接入的电阻最小应为欧姆． 将代入， 得（安培）． ， 接入欧姆电阻时电流超过电路允许的最大值，不安全． 若电流不超过安培，则， 解得． 接入的电阻最小应为欧姆． 【分析】（1）由与的乘积为定值判断二者成反比例函数关系，并用表中数据求出，得解析式； （2）将代入解析式算出电流，与安培比较判断安全性，再由反求最小电阻． 【详解】（1）解：电压保持不变， 电流与电阻的乘积为定值，即与成反比例函数关系． 取表中时，得（伏特）． 函数解析式为． （2）略 77．（26-27九年级上·安徽合肥·期中）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， 【答案】(1)线段的函数解析式为；段的函数解析式为 (2)12小时 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出点C的横坐标即可得到答案； （2）把分别代入到两个函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，得， 解得， 线段的函数解析式为． 设双曲线段的函数解析式为， 将代入，得， ∴双曲线段的函数解析式为， 在中，当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令， 解得， 段温度为的时刻为3时， （小时）， 答：温度不低于的时长为12小时． 78．（26-27九年级上·广西南宁·期中）乐音的音调与振动频率有关，为从数学的角度理解它们之间的关系，某兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 【前期准备】查阅资料，了解音乐、物理相关的知识；准备相同规格的吸管，剪刀，刻度尺，频谱分析仪． 【收集数据】取若干根吸管，将它们裁剪成不同长度，然后吹奏吸管并测出这些吸管的振动频率．吸管长度记为l（单位：），振动频率记为f（单位：），数据如表： … 30 24 20 18 16 15 … … 240 300 360 400 450 480 … 【建立模型】 (1)为直观分析f与l的变化规律，根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线顺次连接各点． (2)结合表中数据和图象分析，判断f与l满足的函数关系是______函数（填“一次”，“二次”，“反比例”），并求出f与l之间的函数解析式（不要求写出自变量l的取值范围）； (3)【应用模型】如表是唱名与振动频率对照表．用建立的模型和对照表提供的信息确定唱名所对应的吸管长度，就可以制作成乐器． 唱名 在制作乐器时，求唱名对应的吸管长度（结果保留整数）． 【答案】(1)如图， (2)反比例， (3)16 【分析】（1）描点，然后连线即可； （2）根据题意反比例函数特点判断，然后利用待定系数法求解； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，f与l满足的函数关系是反比例函数， 设f与l的解析式为 将，代入得， 解得 ∴f与l的解析式为； （3）解：将代入得， 解得 ∴唱名对应的吸管长度为． 题型27 求锐角三角函数值（共3小题） 79．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 80．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 【答案】5 【分析】作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． 81．（26-27九年级上·湖南株洲·期中）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 题型28 根据锐角三角函数求角的度数（共3小题） 82．（26-27九年级上·山东济宁·期中）若均为锐角，且满足，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∵、均为锐角， ∴，， ∴． 83．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 84．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 题型29 同角三角函数的关系（共3小题） 85．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 【答案】(1) (2) (3)，，此时或 【分析】（1）先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解． （2）先对进行展开，再结合韦达定理求出的值． （3）先将的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出的值． 【详解】（1） ． （2）， ， ． （3）， ，解得，， ①当，时，， ②当，时，． 86．（26-27九年级上·山东东营·期中）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 87．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型30 特殊角的三角函数值（共3小题） 88．（26-27九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 89．（2026·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 【答案】 【分析】先计算角的正切值，再计算绝对值和零指数，最后合并化简即可． 【详解】解：原式 ． 90．（2026·湖南长沙·一模）计算：． 【答案】6 【分析】先计算特殊角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减，即可求解． 【详解】解：原式． 题型31 解直角三角形（共3小题） 91．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 【答案】 是 【分析】（1）先利用矩形性质得所有内角为直角，再根据折叠性质得，推导，结合，得到两组角对应相等，用两角对应相等的三角形相似判定定理判断相似性． （2）根据折叠的全等性质，得，结合，运用勾股定理，即可用含的式子表示、． 【详解】判断与是否相似 ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质可知， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵在中，，且， ∴可得． ∴． 92．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由题意可得，利用正切的定义可得；再利用勾股定理列方程求得，最后利用正切的定义求的长即可； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，即，再利用勾股定理列方程求得，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去），即， ∵， ∴，即，解得：． （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴． 93．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：是上的高， ， ，． 在和中， ，， 又， ， ． (2)8 (3) 【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等． （2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算． （3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴可设，， ∵， ． ，又， ． ∵， ， ， ． （3）解：设，，， ∵， ∴， ． ， 则， ， ∴， ∴， 解得， ． 题型32 解非直角三角形（共3小题） 94．（26-27九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 95．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴． 96．（26-27九年级上·山东泰安·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 题型33 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（共3小题） 97．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 98．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 99．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型34 仰俯角问题（共3小题） 100．（25-26九年级上·北京·期中）育才中学九（三）班的数学活动小组要测量学校综合办公楼的高度，李刚带领组员们在地面处竖直放置一带刻度的标杆，并在地面上水平放置一个平面镜，使得点，，在一条直线上．如图所示，该小组在标杆的点处通过平面镜恰好观测到楼顶（此时），在点处测得楼顶的仰角为，平面镜的俯角为，，求综合办公楼的高度为多少？（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，由平面镜反射得，结合俯角得为等腰直角三角形，从而，且，故为等腰直角三角形，，设，则仰角 的正切为，解方程即可解得答案． 【详解】解：如图，过作与交于点， 由题意，平面镜水平放置，反射角等于入射角， ∴ ． ∵ 从点 看平面镜 的俯角为 ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，且 ． ∴ ． 在 中，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． 设 ，则 ． 在点 处测得楼顶 的仰角为 ， ， ， ∴ ． 代入 ，得 解得， ∴ ． 答：综合办公楼 的高度约为 ． 101．（2026·江苏盐城·一模）如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点320米的点测得山顶的仰角为，请帮助小明解决下列问题： (1)求山顶到山脚的距离． (2)如图2，若在山脚距离60米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度．（，，，） 【答案】(1)500米 (2)260米 【分析】（1）过A作于E，设，在、中，根据正切的定义分别求出，，结合得出，求出，，然后根据勾股定理求解即可； （2）以B为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设交y轴于D，过A作于E，延长交于F，待定系数法求出直线解析式为，根据，可设直线解析式为，把代入可求出，则可求出，根据平行线间的距离求出，即可求解． 【详解】（1）解：过A作于E， 根据题意，得，，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 答：山顶到山脚的距离为500米； （2）解：以B为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设交y轴于D，过A作于E，延长交于F， 根据题意，得，，，， ∴， 由（1）知：，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点距离地面的高度为260米． 102．（25-26九年级上·广西南宁·期中）某校数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图，图． 【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角． 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，），如图1．          测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点处，然后看着镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明站在点处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，． ∵法线，， ． ∵①________， ． ，即． ②________（）． 故旗杆的高度为 m． 方案二：如图，小亮在测点D处安置测倾仪，测得旗杆顶端B的仰角，量出测点D到旗杆的距离，量出测倾器的高度． （）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（），， （） 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形， ()根据题意证明，再利用相似三角形对应边成比例，建立等式求解，即可解题． ()根据题意得出，利用，求得，再根据，即可解题． 【详解】（）解：由测量知，， ∵法线，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故旗杆的高度为. 故答案为：；； （）解：由题知，，， ∴， ∵ ， ∴， 即， ∴ . ∴旗杆的高度约为． 题型35 方位角问题（共3小题） 103．（2026·重庆·三模）如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米 (2)194.6米 【分析】（1）过点A作，垂足为M，根据题意利用解直角三角形的性质即可得解； （2）当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处，过点E作，垂足为N，设米，则米，利用解直角三角形得出相关线段的表达式，再利用勾股定理列出方程求解x的值，即可求得最终结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为M， ∴， 由题意知，，，米， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴A、C两地的距离为米． （2）解：如图，当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处， ∴（米）， 过点E作，垂足为N， ∴， 设米，则米， 在中，，， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴（米）， ∴小鑫与点A的距离为194.6米． 104．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 105．（2026·广东广州·一模）如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米． (1)求学校与公园之间的距离； (2)若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．） 【答案】(1)学校与公园之间的距离约为270米； (2)学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 【分析】（1）过点作的平行线，过点作的垂线，进而求出的内角，过C点作的垂线构造直角三角形，利用特殊角、的三角函数值求解． （2）先计算点A到直线的垂直距离，与噪音半径比较；若受影响，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线，过点作的垂线，两线交于点． 由题意得，． ∵，， ∴，， ∴， ∴； 过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴（米）． 答：学校与公园之间的距离约为270米． （2）如图，过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， 由（1）知，在中，，， ∴，， ∴学校在大型货车的噪声污染范围内． 设货车在点与点之间行驶时，学校受到噪声污染，连接、、则 ∵， ∴， ∴米． 答：学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米． 题型36 坡度比问题（共3小题） 106．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． 107．（2026·陕西西安·模拟预测）某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线下的影子端点落在E处，测量为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，，小明每一步的长度为米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物的高度． 【答案】 【分析】过点C作于点F，延长交于点G，解直角三角形求解即可； 【详解】解：过点C作于点F，延长交于点G， 因为，， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 根据题意，得，，, 因为坡角为， 所以， ， ， 所以， 因为同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为米， 所以物高与影长成正比， 所以， 所以， 解得 所以． 108．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②略 $