九年级数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（新教材北京版）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版九年级数学上册第18~20章。 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（2分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B． C． D． 2．（2分）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2分）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（2分）人字梯为家庭常用工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端A离地面的高度是（   ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 5．（2分）如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 6．（2分）如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 7．（2分）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着x的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（2分）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（2分）已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 10．（2分）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 11．（2分）已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 12．（2分）已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 13．（2分）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 14．（2分）如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 15．（2分）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 16．（2分）某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 三、解答题（本大题共12小题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 19．（5分）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 20．（6分）如图，在中，点D，E分别是边上的点． (1)若，且，求的长； (2)若，且的周长为，求的周长． 21．（5分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 22．（6分）如图，在和中，若． (1)在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； (2)在你选的（1）条件下，若，求的长度． 23．（5分）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 24．（6分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 25．（5分）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： (1)列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． (2)小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． (3)结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． (4)点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 26．（6分）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 27．（7分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 28．（7分）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（2分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 2．（2分）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为． 3．（2分）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 4．（2分）人字梯为家庭常用工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端A离地面的高度是（   ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，然后解即可． 【详解】解：过点作于点， ， ， 在中， ，， ， ． 5．（2分）如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义得，即可得出结论． 【详解】解：∵点E恰好是线段的黄金分割点（其中）， ∴，故①正确，②错误， 故选：A． 6．（2分）如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，结合已知得到，求解即可． 【详解】解：矩形，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， 故． 7．（2分）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着x的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】通过观察图象判断函数值的大小关系，以及利用抛物线的对称性确定对称轴和增减性． 【详解】判断结论①：： 观察直线的图象，从左往右看，直线是下降的，即y随x的增大而减小，根据一次函数的性质，当图象呈下降趋势时，． 所以，结论①正确． 判断结论②：当时，： 不等式的几何意义是：抛物线的图象在直线的图象下方，观察图象，在内，抛物线的图象位于直线的下方． 所以，结论②正确． 判断结论③：方程的解为，： 方程的解，对应的是抛物线与x轴交点的横坐标，观察图象，抛物线与x轴的一个交点是，所以是方程的一个解； 另一个交点在x轴负半轴，但点B的坐标是，点B在第二象限，并不在x轴上，因此，不是抛物线与x轴交点的横坐标，即不是方程的解． 所以，结论③错误． 判断结论④：当时，函数值随着x的增大而减小： 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据抛物线的对称性，对称轴为直线． ∵点在点右侧， ∴， ∴． 对于开口向上的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵的区域完全位于对称轴的左侧， ∴当时，函数值y随x的增大而减小． 所以，结论④正确． 综上所述，正确的结论是①、②、④． 8．（2分）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（2分）已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 10．（2分）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由正切函数定义求解即可． 【详解】解：在中，，，则由勾股定理可得， ． 11．（2分）已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据已知点的横坐标和纵坐标的大小关系，判断的取值范围，即可得到符合条件的值． 【详解】解：∵，， ∴在同一象限内随的增大而减小， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴（答案不唯一）． 12．（2分）已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 13．（2分）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 14．（2分）如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将原不等式化为，然后得到该表达式的解集即为抛物线不在直线上方时，对应的取值范围． 【详解】解：点 B 在轴上且是两图象的交点，所以抛物线与直线交点的横坐标为和． 由 B 是公共点知， 于是等价于， 即抛物线不在直线上方． 由图象，这在两交点之间成立，故解集为． 15．（2分）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是斜边上的中线，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又， ，， ， ． 16．（2分）某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 【答案】 11 4006 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意找到等量关系列出方程和函数表达式是解题的关键． （1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z，根据总工人数70和A、C零件总数相等，列出方程组解答即可； （2）设加工A零件的工人数为x，加工B零件的工人数为y，加工C零件的工人数为z，总利润为W，根据题意得到，，分别表示出A、B、C零件的利润表达式，进而将W表示为x的函数，利用二次函数性质求最大值即可解答． 【详解】解：（1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z， 依题意得 解得； （2）设加工A零件的工人数为x，加工B零件的工人数为y，加工C零件的工人数为z，总利润为W， 则， ∴ ∴， ∵B零件总数至少10件， ∴， ∴ ∵A零件每件获利24元，利润为； C零件每件获利48元，利润为； B零件总数为y，每件获利为，利润为； ∴总利润， ∵，x为整数，且，， ∴当时，， 时，， ∵， ∴当加工A零件的工人数为17人时，可获得最大利润，最大利润为4006元． 故答案为：11；4006． 三、解答题（本大题共12小题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ．························5分 18．（5分）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，，························5分 19．（5分）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即，························4分 ∴，，．························5分 20．（6分）如图，在中，点D，E分别是边上的点． (1)若，且，求的长； (2)若，且的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）利用比例式的性质可求解； （2）通过证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴；························3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的周长．························6分 21．（5分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是；························2分 （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是．························5分 22．（6分）如图，在和中，若． (1)在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； (2)在你选的（1）条件下，若，求的长度． 【答案】(1) 可选②或③，可使得， 选②，，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 选③，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，（1）选②：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可；选③：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）由（1）得，，从而可得，证得，进而求解即可． 【详解】（1）可选②或③，可使得， 选②，，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 选③，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； ·····················3分 （2）解：由（1）得，， ， ， ∵， ， ， ，，， ， ；·····················6分 23．（5分）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为．·····················2分 （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：．·····················3分 （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为．·····················5分 24．（6分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：，·····················2分 ∴关于的函数表达式为； （2）解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为．·····················6分 25．（5分）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： (1)列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． (2)小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． (3)结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． (4)点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 【答案】(1)1 (2) (3)③④ (4)或 【分析】（1）求解n时，将代入函数解析式，按照绝对值运算和代数运算规则计算即可． （2）画函数图象时，先根据绝对值的定义将函数写成分段形式，分界点为；或者先确定函数的对称轴，利用对称性补全部分的点，再平滑连线． （3）判断函数性质时，结合画出的图象：①若判断对称轴，看图象沿哪条直线对折后重合；②若判断增减性，观察区间内随变化的趋势；③若判断最小值，找图象的最低点对应的函数值；④若判断直线与图象的交点数，取不同范围的观察交点的最大数量． （4）求解的范围时，先解得到的取值范围，再解得到的取值范围；因为对任意满足条件的，都要落在对应的范围内，据此建立不等式求解． 【详解】（1）解：将代入函数解析式，原式可变形为完全平方形式，代入得．·····················1分 （2）解：该函数本质是两个分段抛物线： 当时，，是顶点在的开口向上抛物线； 当时，，是顶点在的开口向上抛物线；整体图象关于直线对称，补全左侧点并平滑连线即可得到完整W型图象． 作图略；·····················2分 （3）解：①函数图象对称轴为直线，不是y轴， 错误； ②当时，， 在时，y随x增大而减小， 在时，y随x增大而增大， 错误； ③当或时，y有最小值0， 正确； ④当或时，直线与该函数图象有两个交点； 当时，直线与该函数图象有三个交点； 当时，直线与该函数图象有四个交点． 正确．·····················3分 （4）解：∵， ∴， 得， ∴， 即点M的横坐标范围是； 又∵， ∴， 得， ∴或， 即满足的点横坐标范围是或． 题目要求对任意，都有或： 若所有，则区间左端点， 得； 若所有，则区间右端点， 得． 因此k的取值范围是或．·····················5分 26．（6分）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为；·····················2分 （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为；····················4分 ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范．····················6分 27．（7分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴；····················1分 （2）解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或；···················3分 （3）解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或．····················7分 28．（7分）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为，····················1分 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为····················2分 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时····················4分 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为．····················7分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C A C C C 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9． 10． 11．1（答案不唯一） 12． 13． 14． 15． 16．11 4006 三、解答题（本大题共12小题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ．························5分 18．（5分） 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，，························5分 19．（5分） 【答案】，， 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即，························4分 ∴，，．························5分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）利用比例式的性质可求解； （2）通过证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴；························3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的周长．························6分 21．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是；························2分 （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是．························5分 22．（6分） 【答案】(1) 可选②或③，可使得， 选②，，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 选③，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，（1）选②：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可；选③：利用等式性质得，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）由（1）得，，从而可得，证得，进而求解即可． 【详解】（1）可选②或③，可使得， 选②，，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 选③，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； ·····················3分 （2）解：由（1）得，， ， ， ∵， ， ， ，，， ， ；·····················6分 23．（5分） 【答案】(1)直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为．·····················2分 （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：．·····················3分 （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为．·····················5分 24．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：，·····················2分 ∴关于的函数表达式为； （2）解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为．·····················6分 25．（5分） 【答案】(1)1 (2) (3)③④ (4)或 【分析】（1）求解n时，将代入函数解析式，按照绝对值运算和代数运算规则计算即可． （2）画函数图象时，先根据绝对值的定义将函数写成分段形式，分界点为；或者先确定函数的对称轴，利用对称性补全部分的点，再平滑连线． （3）判断函数性质时，结合画出的图象：①若判断对称轴，看图象沿哪条直线对折后重合；②若判断增减性，观察区间内随变化的趋势；③若判断最小值，找图象的最低点对应的函数值；④若判断直线与图象的交点数，取不同范围的观察交点的最大数量． （4）求解的范围时，先解得到的取值范围，再解得到的取值范围；因为对任意满足条件的，都要落在对应的范围内，据此建立不等式求解． 【详解】（1）解：将代入函数解析式，原式可变形为完全平方形式，代入得．·····················1分 （2）解：该函数本质是两个分段抛物线： 当时，，是顶点在的开口向上抛物线； 当时，，是顶点在的开口向上抛物线；整体图象关于直线对称，补全左侧点并平滑连线即可得到完整W型图象． 作图略；·····················2分 （3）解：①函数图象对称轴为直线，不是y轴， 错误； ②当时，， 在时，y随x增大而减小， 在时，y随x增大而增大， 错误； ③当或时，y有最小值0， 正确； ④当或时，直线与该函数图象有两个交点； 当时，直线与该函数图象有三个交点； 当时，直线与该函数图象有四个交点． 正确．·····················3分 （4）解：∵， ∴， 得， ∴， 即点M的横坐标范围是； 又∵， ∴， 得， ∴或， 即满足的点横坐标范围是或． 题目要求对任意，都有或： 若所有，则区间左端点， 得； 若所有，则区间右端点， 得． 因此k的取值范围是或．·····················5分 26．（6分） 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为；·····················2分 （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为；····················4分 ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范．····················6分 27．（7分） 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴；····················1分 （2）解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或；···················3分 （3）解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或．····················7分 28．（7分） 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为，····················1分 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为····················2分 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时····················4分 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为．····················7分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版九年级数学上册第18~20章。 5．难度系数：0.68 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（2分）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A．B． C． D． 2．（2分）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2分）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（2分）人字梯为家庭常用工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端A离地面的高度是（   ）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 5．（2分）如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②都错误 D．①②都正确 6．（2分）如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 7．（2分）如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论： ①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着x的增大而减小． 其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（2分）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（2分）已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 10．（2分）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 11．（2分）已知点，在反比例函数的图象上，若，请写出一个符合条件的的值是___． 12．（2分）已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 13．（2分）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 14．（2分）如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 15．（2分）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 16．（2分）某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 三、解答题（本大题共12小题，第17-19题每题5分，第20题每题6分，第21题每题5分，第22题每题6分，第23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27–28题每题7分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 19．（5分）已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 20．（6分）如图，在中，点D，E分别是边上的点． (1)若，且，求的长； (2)若，且的周长为，求的周长． 21．（5分）已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 22．（6分）如图，在和中，若． (1)在下列条件中：①，②；③，任选一个条件，使，并说明理由； (2)在你选的（1）条件下，若，求的长度． 23．（5分）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 24．（6分）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 25．（5分）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： (1)列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． (2)小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． (3)结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． (4)点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 26．（6分）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 27．（7分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 28．（7分）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $