精品解析：北京市东城区2025-2026 学年第一学期九年级数学限时作业

2025—2026学年第一学期九年级数学限时作业 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、C、D不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 下列函数是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故选：B ． 4. 如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（ ） A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. ±4 【答案】C 【解析】 【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解. 【详解】把x＝4代入方程 可得16-12=， 解得a=±2， 故选C． 考点：一元二次方程的根． 5. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 射击运动员射击一次，命中9环 C. 明天会下雨 D. 度量三角形的内角和，结果是360° 【答案】D 【解析】 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件； B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件； C、明天会下雨，是随机事件； D、因为三角形的内角和是180°，所以度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件． 故选D． 6. 半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在上或外 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点P到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵的半径为5， ∴半径， ∴ 点P在上． 故选：B． 7. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意知抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故答案选A． 考点：抛物线与x轴的交点． 8. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 4 cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得DP=CP=3，根据三角函数求出∠ODP=30°，由此得到OP=，即可得到AB的长． 【详解】解：利用垂径定理可知，DP=CP=3， ∵P是半径OB的中点． ∴OB=2OP，AB=4OP， 连接OD， ∵sin∠ODP= ∴∠ODP=30°， ∴OP= 即AB=4． 故选D． 【点睛】此题考查了垂径定理，锐角三角函数，正确掌握各计算法则及定理是解题的关键． 9. 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( ) A. S△ABC＝S△A′B′C′ B. AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO＝S△A′B′O 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称的性质即可解答． 【详解】选项A，根据中心对称的两个图形全等，可得△ABC≌△A′B′C′，即可得S△ABC＝S△A′B′C′； 选项B，根据中心对称的两个图形全等，可得△ABC≌△A′B′C′，所以AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′； 选项C，根据对称点到对称中心的距离相等，即可证得对应线段平行，所以AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′； 选项D，S△A′B′O=S△ABO≠S△ACO． 故选D. 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质：成中心对称的两个图形全等，且对称点到对称中心的距离相等． 10. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为点关于原点对称的点的坐标为，所以将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵所求点与点关于原点对称， ∴所求点的坐标为． 11. 抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A. y＝3x2＋2x－5 B. y＝3x2＋2x－4 C. y＝3x2＋2x＋3 D. y＝3x2＋2x＋4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C． 考点：二次函数的图象与几何变换． 12. 一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意知，共有4个球，每次摸到一个一共能摸到4次，而红球有两个， ∴． 13. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可． 【详解】第一次降价后的价格为：25×(1-x)； 第二次降价后的价格为：25×(1-x)2； ∵两次降价后的价格为16元， ∴25(1-x)2=16． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b． 14. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 15. 如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是圆O的直径，可得∠A=∠D=90°，又在圆上且平分弧，则∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长. 【详解】解：∵是圆O的直径， ∴∠A=∠D=90°. 又在圆上且平分弧， ∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形. 在Rt△ABC中，，，根据勾股定理，得BC==2. ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴CD==. 故选:D. 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（每小题3分，共18分） 16. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． 【答案】5 【解析】 【分析】确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解． 【详解】解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1 则其和为2+4-1=5； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和出算式是解题关键． 17. 已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 18. 已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 19. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ . 【答案】（﹣2，0） 【解析】 【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0） 20. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__． 【答案】80° 【解析】 【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2∠C=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 21. 如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过D点作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据旋转的性质以及等积法求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：过D点作，垂足为F， 由题意，在中，， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积为. 三、解答题（共52分） 22. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，； 【小问3详解】 解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 23. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，请用树状图法求两次摸出的小球标号之和等于5的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图，则可得两次摸出的小球标号的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球标号之和等于5的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球标号共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球标号之和等于5的结果有4种， 所以两次摸出的小球标号之和等于5的概率为． 24. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2．请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2． 【答案】详见解析． 【解析】 【详解】解：答案如图： 图中每个图形即为所求． 25. 如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO． 【答案】5米 【解析】 【详解】试题分析： 设半径OD=r，则由题意易得OF=OE-EF=r-2；由OE⊥CD，根据“垂径定理”可得DF=CD=4，这样在Rt△ODF中由勾股定理建立方程就可解得r. 试题解析： 设⊙O的半径为r米，则OF=(r-2)米, ∵OE⊥CD ∴ DF=CD=4 在Rt△OFD中，由勾股定理可得：(r-2)2+42=r2， 解得：r=5， ∴ CD所在⊙O的半径DO为5米. 26. 如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转90°，得到． （1）写出，两点的坐标； （2）求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转90°，得到， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； 27. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天的销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系 （其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液的售价为多少元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每瓶消毒液的售价为20元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大，最大利润是500元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为，根据“当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶．”可求出，即可求解； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为，根据题意得： ，解得：， ∴y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ∵， ∴当时，w最大，最大值为500， 答：当每瓶消毒液的售价为20元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大，最大利润是500元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级数学限时作业 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 下列图标中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（ ） A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. ±4 5. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 射击运动员射击一次，命中9环 C. 明天会下雨 D. 度量三角形的内角和，结果是360° 6. 半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在上或外 7. 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. m＜2 B. m＞2 C. 0＜m≤2 D. m＜﹣2 8. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（ ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 4 cm 9. 如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( ) A. S△ABC＝S△A′B′C′ B. AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO＝S△A′B′O 10. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A. y＝3x2＋2x－5 B. y＝3x2＋2x－4 C. y＝3x2＋2x＋3 D. y＝3x2＋2x＋4 12. 一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 13. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ） A. B. C. D. 14. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，是圆上一点，是直径，，，点在圆上且平分弧，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 16. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． 17. 已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 18. 已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 19. 如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 ____ . 20. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=__． 21. 如图，将含角的直角三角尺绕点B顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为__________________． 三、解答题（共52分） 22. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3）． 23. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，请用树状图法求两次摸出的小球标号之和等于5的概率． 24. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2．请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2． 25. 如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO． 26. 如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转90°，得到． （1）写出，两点的坐标； （2）求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 27. 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天的销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系 （其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液的售价为12元时，每天的销售量为90瓶；当每瓶消毒液的售价为15元时，每天的销售量为75瓶． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液的售价为多少元时，药店销售该消毒液每天获得的销售利润最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $