专题02 期中真题压轴百炼通关51题17大压轴题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题02 期中真题压轴百炼通关（51题17大压轴题型） 易错·固本强基 题型1 黄金分割的压轴问题 题型2 相似三角形的动点问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 相似三角形的实际应用 题型5 二次函数的图象与性质压轴 题型6 二次函数的最值问题 题型7 二次函数的平移问题 题型8 二次函数的角度问题 题型9 二次函数的面积问题 题型10 二次函数的存在性问题 题型11 二次函数的新定义问题 题型12 二次函数的实际应用 题型13 反比例函数的图象与性质 题型14 反比例函数k值意义综合 题型15 反比例函数与几何综合 题型16 解直角三角形综合 题型17 锐角三角函数的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 黄金分割的压轴问题（共3小题） 1．（26-27九年级上·北京西城·期中）“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，取中点连接，利用直角三角形斜边中线定理及等腰三角形性质证得为“黄金三角形”；根据“黄金三角形”定义分点与重合、两种情况，结合等腰三角形判定与性质、相似三角形性质列方程求解． 【详解】解：在中，，， ， 取的中点，连接， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， 若是“黄金三角形”，分两种情况讨论： ①当点与点重合时，即为，符合题意， ； ②当为顶角时，即， ， ，， ，， ， 设，则， ，， ， ，即， 整理得，解得（负值舍去）， ； 综上所述，的长为或． 2．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在矩形中，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形（）与矩形相似，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形对应边成比例可知，根据矩形的性质、折叠的性质可证四边形是正方形，根据正方形的性质和矩形的性质可知边之间的关系，从而可得：，设，解方程求出的值即为的值． 【详解】解：四边形（）与矩形相似， ， 四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 设， 则有， 整理可得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， ． 3．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 【答案】(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 题型2 相似三角形的动点问题（共3小题） 4．（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为（秒）， ∵， ∴当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，则， ∴， 解得； 综上. 5．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 6．（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 题型3 相似三角的判定与性质综合（共3小题） 7．（26-27九年级上·陕西汉中·期中）如图①，已知正方形的边长为，点，分别是，上的动点，满足，连接，交于点． (1)求证：⊥； (2)如图②，连接与交于点，恰好是的中点． ①求的长； ②如图③，点为上一点，⊥，垂足为，求+的最小值． 【答案】(1)证明：在正方形中，，． 在和中： ， ． ， ， ，即． (2)①；② 【分析】（1）由正方形的边、角相等，用证，把转移到，再在中用两锐角互余证； （2）①由垂直平分得，再由得，用对应边成比例求，即得； ②由垂直平分把换成，把化为点到直线的距离，用垂线段最短求最小值． 【详解】（1）略 （2）解：①是的中点，且由（1）知， 垂直平分， ． 在正方形中，， ． ， ， ， 即， ， ． ②连接交于点，连接， 垂直平分， 点关于的对称点为， ， ． ，由垂线段最短，当点为过点所作的的垂线与的交点时，取得最小值，最小值为点到的距离即的长． 正方形的两条对角线互相垂直平分， 点到的距离为， 的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质，以及“垂线段最短”；解题关键是由全等把转化为，再由垂直平分同时得到与，从而把两条线段的和化为点到直线的距离． 8．（26-27九年级上·四川成都·期中）在中，于点E，，于点G交线段于点F． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，求的值； (3)如图3，平行四边形外面有一点H，连接、，满足，，探索线段、、的数量关系并证明 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形的性质即可证明，利用全等三角形的性质及勾股定理即可求解． （2）作辅助线，证明，，利用相似三角形的性质即可求解． （3）作辅助线，证明四边形为矩形，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 在中，， 在中，， ， 又， ； ， 在中，， ， ， ； （2）解：过作交于点，如图， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过点作于点，交于点，连接，交于点，交于点，如图所示， 四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵， ∴， ，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，已知在四边形中，，点为边上一点，且，连接与对角线交于点，，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接交对角线于点． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：延长交于点M， 设， ， ， ，，， ，，， ， ，， 点F是边的中点， ， ， ， 而， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即； (2)①；②或 【分析】（1）延长交于点M，设，根据相似三角形的判定与性质，证明，然后推出，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）①过点D作于点H，由可证明，由此进一步证明，得到，然后证明，设，列方程求出，再求出，即可得到答案； ②延长交于点M，连接，先求出，，然后分三种情况讨论：当时，可求得，再用勾股定理求出的长；当时，求出，再用勾股定理求出的长，即可求得答案；当时，可证明这种情况不存在． 【详解】（1）略 （2）解：①过点D作于点H，如图， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 或（舍去）， ， 在中，， ， ； ②延长交于点M，连接，如图， 由（1）知，，，， ， ， ，， 当是等腰三角形时， 分三种情况：当时， ， ， ， 在中，； 当时， 由（1）知，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 当时，点O在的垂直平分线上， ， 点M在的垂直平分线上， 垂直平分，不符合题意，这种情况不存在； 综上所述，的长为或． 题型4 相似三角形的实际应用（共3小题） 10．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 11．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 12．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）将，代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，同（2）证明，，得到，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）； 故答案为：； （2） 略 （3）解：如图，过点A作于点H，    ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5 二次函数的图象与性质压轴（共3小题） 13．（25-26八年级下·北京·期中）对于平面内三个不同的点，，，给出如下定义：若为直角三角形且，则称为线段的关联点，特别的如果，称为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， (1)如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； (2)已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点既是线段的关联点又是线段的强关联点，直接写出的取值范围是_____________________． 【答案】(1)，； (2)①且；②且， ，，，， 【分析】（1）直角在、时，在竖直线上，逐一验证各点坐标，即可判断； （2）①强关联点需满足直角在或，且，即直角边、．分别推导两种直角下所在直线及横坐标范围，再联立直线，根据交点横坐标的约束列不等式，最终得且；②点需同时是的关联点与的强关联点．的关联点在两条竖线上，分别设的坐标，结合强关联点的直角条件与角度约束列方程与不等式，分四类情况讨论求解，整合范围并排除点重合的特殊值，得且． 【详解】（1）解：由题意得，为直角三角形且直角顶点是或，则是线段的关联点， ∵，， ∴是水平线段， 当时，则，为竖直线，即在直线上（点除外）； 当时，则，为竖直线，即在直线上（点除外）， ：不在上，不是关联点； ：不在上，不是关联点； ：在上，且，是关联点； ：在上，且，是关联点； （2）解：①当时，，， 当直角在点时，即， ∴， 设， ∴，， 又∵ ∴ 解得， ∴当直角在点时，点在直线上， ∵点G为线段的强关联点， ∴， ∴， ∴，即， 将代入，则， ∵， ∴关于的抛物线开口向上，如图， 令，此时 解得， 由图可得，当时，即时，此时x为， ∴强关联点G是直线上的线段， 同理可得，直角在时，由，可得， ∵， ∴， ∴ 同理可得，， ∴强关联点G是直线上的线段， ∵强关联点G在上， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得； ， 解得， ∵， ∴ 解得， 综上所述，的取值范围为且； ②由题意得，的关联点G，直角顶点在或上， ∴在竖直线（不与重合）或（不与重合）上， 的强关联点G，直角顶点在或上，且， 当在竖直线时，设，当直角顶点为点时，即， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时，（舍去）； 当直角顶点为点时，即， 由，同理可得，， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，． 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时， 解得（舍去）； 当在竖直线时，设， 当直角顶点为点时，即， 由勾股定理，同理可得，． ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时，（舍去）； 当直角顶点为时，即， 由勾股定理，同理可得，， ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与重合时， 解得（舍去）； 综上所述，t的范围为，． 【点睛】先拆解定义，将“关联点”转化为过线段端点的垂线（直角在端点），“强关联点”增加的约束；解题时按直角顶点分类讨论，联立方程结合范围求解．常见错误：遗漏分类情况、忽略点不可重合的约束、角度与边长转化出错． 14．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)若，，求的长的最大值； (2)在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置使得长度相等，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为已知，所以先将代入抛物线和直线解析式，再根据点的垂线与抛物线、直线的交点，用t表示出M、N的纵坐标，进而得到的长度表达式；因为该表达式是二次函数形式，所以可利用二次函数的性质，结合的范围求最大值． （2）先用t和a表示出的长度表达式；因为至少存在两个不同位置使长度相等，所以该表达式对应的函数在存在不同的增减情况，据此进行分类讨论来确定a的取值范围． 【详解】（1）当时，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，则，． 所以 ∵，∴， ∴． 当时，取得最大值． （2）由题意，，，则 ， 由于是常数，的长度相等等价于的值相等． 当时，，所以． 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为． 在上，随t的增大而增大； 在上，随t的增大而减小． 当时，，当时，， 当时，，所以． 这是一个开口向上的二次函数，对称轴， 在时，随t的增大而减小． 当时，在这个范围中是随t的增大而减小，不存在两个不同的 t 使相等，所以不满足条件． 当时，在这个范围内存在两个不同的 t 使 相等，必须让这个范围覆盖对称轴 的两侧，或者包含端点 0和 3． 若，完全在对称轴左侧，随t的增大而增大，每个函数值只对应一个 t，不满足． 若，包含 0到 的上升段和 到 a 的下降段，因此存在两个不同的 t 使 相等，满足条件． 若，包含 0 到 3 的整个部分，又因为和都在这个范围内，所以存在两个不同的位置（和）使长度相等，同时，对于其他值也有对称点，因此也满足条件． 综上，当时，满足“至少存在两个不同位置使长度相等”． 15．（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②存在，t的值为或． 【分析】（1）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （2）①根据题意得出方程有两个相等的实数根，即，进而得出，根据“二倍点”的定义得出“二倍点”的坐标为．代入得出，进而求得的值，代入解析式，即可求解； ②先化为顶点式，，分类讨论，①当，②当，③当时，根据二次函数的性质求得最小值，根据题意列出方程，即可求得的值． 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． 题型6 二次函数的最值问题（共3小题） 16．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； (4)设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把解析式化为顶点式求出对称轴，再由对称性求出点B的坐标；连接，由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，据此求解直线的解析式即可求出点P的坐标； （3）根据平移方式可推出平移后的抛物线的对称轴为直线，讨论对称轴的位置，根据当时，函数有最大值2求解即可； （4）取点，连接，可证明，则可证明，据此求出直线的解析式，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴由对称性可得点B的坐标为； 如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：将抛物线的函数图象向右平移h个单位长度得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值，且最大值为4，此时不符合题意； 当，即时，在满足的条件下，当时，y有最大值， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，h的值为或； （4）解：如图所示，取点，连接， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵点D和点M都在直线的同一侧， ∴， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 17．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 18．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)点的坐标是 (3)四边形面积的最大值是，此时点的坐标是 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、将军饮马原理、最短路径． 利用一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴是，可得关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可得到抛物线的解析式； 根据将军饮马原理可知，当的值最小时，点是直线与对称轴的交点，即可求出点的坐标； 设点的坐标为 ，点的坐标为，结合和，则，利用二次函数的性质化简为顶点式求得最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 抛物线经过点，， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线交于点，连接、和，    直线， 当时，， ， 直线垂直平分， ，， 的周长， ， 当点与点重合时，，此时的周长最小， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ∵直线， ∴点的坐标是， ∴， ∵，，此时的值最小， 当的值最小时，的周长最小为，点的坐标是； （3）解：如图，作轴于点，交于点，    点的横坐标为， 点的坐标为 ，点的坐标为， ， ∴点的坐标是， ∴， ，， 则， 当时，，此时， 则四边形面积的最大值是，此时点的坐标是． 题型7 二次函数的平移问题（共3小题） 19．（26-27九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，若抛物线恒过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得，即，结合根的判别式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， 要使该方程有实数解，则判别式， 整理得， ∵， ∴． 20．（25-26九年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 21．（25-26九年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限． (1)抛物线的对称轴为直线___________； (2)延长线段交轴于点，当时，将沿方向平移得到，将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)是， 【分析】（1）对，令，可得或，从而得，，由对称性可求出对称轴； （2）过点作轴于点，如图所示，设，则，，由，则，将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位，根据平移的性质可得平移后对应点的坐标分别为，，，所以抛物线的对称轴为直线，从而得抛物线的解析式为，联立，可解得，从而知抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：， 令， 得或， 即，， 对称轴为直线； （2）解：抛物线与交于定点，理由如下： 过点作轴于点，如图所示， 设，则，， ， ， 将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位， 又，，， ，，， 故抛物线的对称轴为直线， 抛物线的解析式为， 由， 解得， 抛物线与交于定点． 题型8 二次函数的角度问题（共3小题） 22．（26-27九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求以点、、为顶点的三角形的面积； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②抛物线上始终存在与不重合的点； 理由如下：点在抛物线上， ， 轴， 直线为， 点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 把坐标代入，得 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组： 整理得，， 解得，，， 对应点， 点的横坐标为， 代入抛物线，得： ， ， ， ， 点在射线上， 射线与射线关于直线对称， ， 点始终存在． 【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解． （2） ①求出直线的解析式，利用平行四边形一组对边平行且相等列方程． ②作射线与射线关于直线对称，求射线与抛物线除点外的另一个交点，并验证该点始终存在． 【详解】（1）解：令， ， 整理得：， ， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，得， ， ， ． （2）解：设， 点在抛物线上， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： 解得：，， 直线的解析式为， 轴， ， ， ， ， ①四边形为平行四边形， ， ， 整理得：， ， ， ． ②略 23．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)抛物线上有一点，且满足，求点的坐标； (3)点为直线上方抛物线上一点，连接，交于点，请直接写出的最大值，并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）根据题意得到点、、的坐标，采用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）利用等角证得，将角度相等的条件转化为线段比例关系，分点在轴左侧和右侧两种情况讨论，分别求出直线的解析式，然后联立直线和抛物线的方程，求出符合条件的点； （3）设点的坐标为，延长与的延长线交于点，利用相似求出点的坐标，根据表示的面积，求出点的坐标后再表示，然后将表示出来，可知当点位于抛物线顶点时，取得最大值，进而求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 根据题意可知，，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将坐标代入抛物线的表达式， 可得， 解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：已知，，设点的坐标为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴， ，， ∵，， ， ，即， 可得， 则直线的解析式为， 代入， 可得， 解得，， 当，，此时点与点重合，舍去， 当，，此时点的坐标为； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴， ，， 同上可得， 可得，即， 可得， 则直线的解析式为， 代入， 可得， 解得，， 当，，此时点与点重合，舍去， 当，，此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． （3）解：如图，设点的坐标为，过点作轴，交于点，连接，，，连接并延长与的延长线交于点， 点为直线上方抛物线上一点，则， 轴， ， ， ， ， ， 即， 解得， 则点的坐标为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为， 当，， 点的坐标为， 可得， 则， ， 可知当取最大值时，取得最大值， 抛物线，开口向下， 当时，取得最大为， 故的最大值为，点的坐标为． 24．（26-27九年级上·重庆巴南·期中）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)解：将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线的解析式为：， ∵，A向左平移1个单位得到， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q是抛物线上一动点，且， ∴此时点Q的位置分情况讨论： 情况1：当点Q位于点下方时： 如图，过点C作交的延长线于点K，过点K作轴于点L， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， ∴， 情况2：当点Q位于点上方时： 如图，作射线交新抛物线于点Q，使得，过点C作交于点R，过点R作轴交y轴于点T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， 综上，Q点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法将点C和点A代入即可求得抛物线解析式； （2）作轴交于H，设，先求出直线的解析式，再设，从而得到的表达式，由三角形面积公式得出其表达式，利用二次函数的最值得到此时点P的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到，当、M、N、四点共线时，取最小值，利用勾股定理即可求得最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，从而得到平移后的点的坐标，再根据点Q是抛物线上一动点，且，分情况讨论点Q的位置：当点Q位于点下方时，当点Q位于点上方时；利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质推导出相关点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数后，联立新抛物线解析式即可得出点Q的坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 得到：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，作轴交于H， ∵P是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线的解析式为：， 将A，C两点坐标代入直线得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 作点P关于y轴的对称点，点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴，， ∴，， ∴， ∴当、M、N、四点共线时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． （3）略 题型9 二次函数的面积问题（共3小题） 25．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 26．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，过点作轴于点，设点，即可表示出，，，根据列出关于m的函数关系式，问题随之得解； （2）结合（1）中的结论，利用，即可作答； （3）根据，可得，利用已知的，结合三角形外角的定义可以证明，进而可证明，设，表示出，再在中，利用勾股定理求出n，问题得解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， ， 过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （2）解：，， ，， ， 又， ∴当取大值，即时，也有最大值， 的最大值； （3）解：轴，轴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 在中，有， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，勾股定理等知识，问题的难点在第三小问，合理利用这一条件证明，是解答本题的关键． 27．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 题型10 二次函数的存在性问题（共3小题） 28．（26-27九年级上·山东东营·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 29．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；②的值为或． 【分析】（1）根据题意求得，，再根据抛物线的对称性质求解即可； （2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点，再求得直线的解析式，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； ②分当点在原点上方和下方两种情况讨论，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①将，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点是的中点， ∴点， 当时，， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； ②∵点是抛物线上一个动点， ∴，则， 当点在原点上方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 当点在原点下方时， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 30．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形面积的最大值为，； (3)或或或或 【分析】把代入中求出b，c的值即可； 先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； 先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用菱形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴， 设， 当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 当为菱形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在点坐标为或或或或使得以为顶点的四边形是菱形． 题型11 二次函数的新定义问题（共3小题） 31．（26-27九年级上·北京西城·期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“二倍点”，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】根据二倍点定义得二倍点在直线上，问题转化为方程在上有且只有一个解，分判别式等于0和判别式大于0两种情况，结合根的分布求解． 【详解】解：由“二倍点”定义可知，二倍点在直线上． ∵二次函数在范围内有且只有一个“二倍点”， ∴方程在范围内有且只有一个根． 整理方程得 ． 分两种情况讨论： ①方程有两个相等的实根，即 ∵， ∴令，解得． 此时方程的根为，满足，符合条件． ② 方程有两个不相等的实根，即可得， 解得． 设，函数开口向上，要只有一个根在内，需满足， 计算得 ，， ∴， 解得． 验证端点：当时，方程根为，， 只有满足，符合条件． 当时，方程根为，，两个根都不满足，不符合条件． 因此这种情况下，结果为． 综上，的取值范围是 或 ． 32．（25-26九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将抛物线的解析式写成顶点式，求出顶点坐标，再结合画出大致图象，结合图象求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴可以大致画出图象如图， ∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界） ∴点、、、必在区域内． 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域内有6个整点， 当代入抛物线解析式，得， 解得：， 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为， 这样区域有8个整点， 将代入抛物线解析式，得， 解得：， ∴当时，区域恰有6个整点． 故选：D． 33．（25-26九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于线段，点Q和图形T进行以下定义：若线段绕点Q旋转180度后，新线段（A对应M，B对应N）在图形T里（包括图形T边界），我们就称点Q是图形T和线段的凸显点，若点Q在图形T里（包括边界），且满足凸显点定义 则称点Q是图形T和线段的凸显差距点 (1)已知，是线段p的两个端点，，，，，我们将四边形称为图形． 则下列点是图形和线段p的凸显点的是 （填写序号） ①；       ② ；       ③；           ④ (2)若，，图形以点为中心作边长为6的正方形，且各边均与坐标轴平行， ①若 ，当时，存在点Q使得Q为图形和线段的凸显差距点，求此时点Q横坐标的取值范围． ②以点P为中心作边长为3的正方形，且各边均与坐标轴平行，我们将其与图形的非重叠部分记为图形．直线l过点，线段关于直线l对称后的线段记作线段m，无论直线l如何旋转，总会有点Q是图形和线段m的凸显差距点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)②④ (2)①，② 【分析】（1）根据题意得到，Q为、中点，Q为、中点，由中点公式求出、坐标，当，，，时，线段在图形内，依次判断，即可求解， （2）①根据中点公式得到，，由图形的横坐标范围：，得到，代入得： ，即： ，解得：，当时，， ②记、关于直线l的对称点分别为，，由翻折的性质可得：，，由存在点Q是图形和线段m的凸显差距点，得到，，当时，存在点Q是图形和线段m的凸显差距点，代入得，即可求解， 本题考查了，中点公式，点到点距离公式，旋转的性质，轴对称的性质，解题的关键是：根据题意列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意得：，，，，，， 当时，，，，，解得：，，，，即：，， ∵， ∴线段不在图形内，①不符合题意， 当时，，，，，解得：，，，，即：，， ∵，，，， 线段在图形内，②符合题意， 当时，，，，，解得：，，，，即：，， ∵， ∴线段不在图形内，③不符合题意， 当时，，，，，解得：，，，，即：，， ∵，，，， ∴线段在图形内，④符合题意， 故答案为：②④， （2）解：①由，，， 得：，，，，解得：，，，，即：，， ∵图形以点为中心作边长为6的正方形， ∴图形的横坐标范围：， ∴，代入得：，即： ，解得：， 当时，， ②记、关于直线l的对称点分别为，，， 由翻折的性质可得：，， ∵存在点Q是图形和线段m的凸显差距点， ∴，，即：，， ∴，，，， ∴当时，存在点Q是图形和线段m的凸显差距点， ∴，解得：， ∴． 题型12 二次函数的实际应用（共3小题） 34．（26-27九年级上·北京西城·期中）某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 【答案】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式为，可设移动后抛物线解析式为，函数图象的顶点坐标为，求出，由题意可得，，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴可设移动后抛物线解析式为， 即函数图象的顶点坐标为， 令，则，解得，， ∴， ∴， 由题意可得，， 解得． 35．（25-26九年级上·北京·期中）AI的应用早已渗透到从医疗诊断、智能教育到智能家居、工业制造等各个领域．我们经常可以看到无人驾驶的快递车穿梭在路上，它早已在快递运送中大展身手：既优化分拣与路线，又赋能无人车自主配送，让包裹送达更智能高效．一辆无人驾驶快递车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有T（T为的正整数）站，从A地出发时，装上发往后面每站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，将A，B之间所有站按依次标记，记快递车在第x站装卸完毕后剩余邮件数为y，根据以上资料，回答问题： (1)时，站号x和剩余邮件数y满足如下关系，补全表格； 站号x 1 2 3 4 5 6 剩余邮件数y 5 8 9 8 0 (2)在平面直角坐标系中描出时各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，此时站号x和剩余邮件数y满足的函数关系式为_____；（不要求x的取值范围） (3)时，第_____站剩余邮件数y最大； (4)T给定时，直接写出y和x满足的函数关系式为_____．（用含有T的式子表示，不要求x的取值范围） 【答案】(1)5 (2) 如图所示为所求： (3)15或16 (4) 【分析】本题考查了实际问题中的数量关系分析，表格数据的补充与分析，函数图象的绘制与函数关系式的确定及二次函数的性质应用． （1）根据题意分析出当时每站的剩余邮件数情况，并将表格空白处补全即可； （2）将（1）中的数据在平面直角坐标系中描出所有的点，并用平滑曲线连接即可，此时函数为二次函数，并利用待定系数法求出二次函数的表达式即可； （3）根据题意计算出当时的剩余邮件数，并得出y关于x的函数表达式，再通过该函数表达式求得此时y的最大值； （4）根据题意求得当T为定值时y关于x的函数表达式即可． 【详解】（1）解：由题意知，站号时：从A地出发，要发往后面站的邮件各1件，所以装上5件邮件，此时剩余邮件数； 站号时：到达第2站，卸下前面1站发往该站的1件邮件，同时装上发往后面站的邮件各1件，即装上4件，则剩余邮件数； 站号时：到达第3站，卸下前面2站发往该站的2件邮件，同时装上发往后面站的邮件各1件，即装上3件，则剩余邮件数； 站号时：到达第4站，卸下前面3站发往该站的3件邮件，同时装上发往后面站的邮件各1件，即装上2件，则剩余邮件数； 站号时：到达第5站，卸下前面4站发往该站的4件邮件，同时装上发往后面站的邮件1件，因此剩余邮件数； 站号时：到达第6站，卸下前面5站发往该站的5件邮件，此时没有要装的邮件了，因此剩余邮件数， 故表格空白处填5． （2）解：此时站号x和剩余邮件数y满足二次函数的关系式，设函数关系式为，将，，代入可得： ，解得， ∴函数关系式为， 故答案为：． （3）解：当时，在第x站时，装上发往后面站的邮件各1件，卸下前面站发往该站的邮件件，则，对称轴为， ∵x为正整数， ∴当或时，y可以取得最大值， 当时，；当时，， ∴第15或16站剩余邮件数y最大， 故答案为：15或16． （4）解：在第x站时，装上发往后面站的邮件各1件，卸下前面站发往该站的邮件件， 则， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·福建厦门·期中）厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. （1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量； （2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围． 【详解】（1）依题意，设，将，代入中， 得：， 解得：， ∴日销售量与时间t（天）的关系． 当时，． 答：在第30天的日销售量为60千克． （2）解：依题意，得：， 该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 由二次函数的性质知：，解得． 又∵， ∴． 题型13 反比例函数的图象与性质（共3小题） 37．（2026九年级下·北京西城·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求a值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将交点A的坐标代入反比例函数求出a的值，再把A点坐标代入一次函数求出k，进而得到一次函数解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数的交点，再根据时函数值的大小关系，结合特殊点的函数值确定n的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得， ∴， 将点代入， 得：， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：联立与， 得：，解得或， ∴一次函数的图象与函数的图象的交点为，， 如图，作一次函数的图象和函数的图象， ∵当时，，， ∴当直线过点时，， ∴， 当直线过点时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴n的取值范围是． 38．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且与函数的图象在第一象限交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)或 【分析】(1)根据一次函数图象平移的规律得出，再根据点在反比例函数图象上，求出的坐标，最后，将的坐标代入可得结论； (2)首先，根据一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为，可得两图象在第三象限内的交点，再根据已知条件画出一次函数与反比例函数的图象，根据题目要求，再结合图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴． ∵点在函数的图象上， ∴． 把点代入，得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：根据题意画出函数图象如图所示， ∵一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， ∴，解得或， ∴当时，， ∴一次函数的图象与反比例函数的图象在第三象限内的交点坐标为， ∴从函数图象可知当时，的取值范围为或． 39．（25-26九年级上·广东佛山·期末）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．    (1)在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； (2)如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； (3)如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接点C和中点D，根据题意得出，设，则，则，通过证明为等边三角形，得出，即可求解； （2）过点B作于点H，易得，根据题意得出，求出，最后根据即可解答； （3）根据题意得出，然后进行分类讨论：①当时，过点B作轴于点N，过点C作于点M，通过证明，设，则，得出，，即可解答；②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，通过证明，设，则，则，设，则，得出，，即可解答． 【详解】（1）解：连接点C和中点D， ∵为卓越角，为卓越边， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∵，点D为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：；    （2）解：过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∵是卓越角，为卓越边， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴；    （3）解：∵卓越中，为卓越边，为卓越角， ∴， ①当时， 过点B作轴于点N，过点C作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去）， ∴；    ②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去），    综上：． 【点睛】本题主要考查了新定义，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确理解题目所给“卓越三角形”的定义是解题的关键． 题型14 反比例函数k值意义综合（共3小题） 40．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 41．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 42．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 题型15 反比例函数与几何综合（共3小题） 43．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用相似三角形性质求出点 坐标，联立方程求出点 坐标，利用面积和差法求解． 【详解】解：过点 作 轴于点 ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 点 在第二象限， 点 的纵坐标为 ， 把 代入 ，得 ， ， 把 ， 代入 ， 得 ，解得 ， 直线解析式为 ， 联立 ， 解得 ，， ， ． 44．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求b和m的值； (2)将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与线段为图形G．若双曲线与图形G恰有两个公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）把B的坐标代入直线即可求得b，然后代入，即可求得m，得出； （2）根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得C、D的坐标；要使双曲线与图形G恰有两个公共点，需双曲线同时与线段和线段相交，分别求解两种情况的的范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ， 直线的解析式为， 又直线经过点， ； （2）解：由（1）得：点， ，将点B向右平移到y轴上，得到点C， ，点B关于原点的对称点为； 当反比例函数的图象与相交时， 需满足，且对于反比例函数，时，，且时，， 即 ， 即； 当反比例函数的图象与相交时， 需满足，且对于反比例函数，时，， 即 ， 即； ∵双曲线要恰有两个公共点， ∴双曲线需同时与两条线段各有一个交点， ∴． 45．（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，双曲线的函数表达式为 (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，解得， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入，得， 点的坐标为，则， ∴ ， ． ∵ ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 题型16 解直角三角形综合（共3小题） 46．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，的延长线与的延长线相交于点F，连接．若，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】解直角三角形求出，，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴． 47．（2025九年级·全国·专题练习）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如下图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，．求的长． 【答案】 【分析】通过作垂线构造直角三角形，分别在和中，利用三角函数和角度关系求出相关线段长度，进而得到的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，，，， ，． ， ． 在中，，． 在中，，， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形与三角函数的综合应用，掌握通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和角度关系求解线段长度是解题的关键． 48．（25-26九年级上·北京·期中）给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点Q逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”． 例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”． 在平面直角坐标系xOy中 (1)已知点，在，，，中，______是线段关于点O的“完美点”； (2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长； (3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”．当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) (3)当线段取得最大值时，；当线段取得最小值时， 【分析】（1）根据“完美点”的定义判断即可； （2）根据“完美点”的定义计算即可； （3）根据“完美点”的定义画出图形再分别计算即可． 【详解】（1）∵点 ∴线段关于点O的“完美点”在第二象限， ∴是线段关于点O的“完美点”；其他点都不符合题意； 故答案为：； （2）点恰好是线段关于点B的“完美点”， 是等边三角形. 过点O作于点M. ∴， ∴ 在直线上， 当时，；当时，，解得， ∴直线与x轴交点为，与y轴交点为， ∴直线与x轴，y轴相交构成的三角形是等腰直角三角形， ， ∵点恰好是线段关于点B的“完美点”， ∴，， ∴， ∵即， ∴ . . （3）∵点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”， ∴、是等边三角形， ∴，，， 当线段取得最大值时，此时在线段上，此时 ∴ ∴， ∴， ∴； 当线段取得最小值时，此时在线段上， 过作于，则 ∴，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角函数，一次函数的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是理解“完美点”的定义得到等边三角形． 题型17 锐角三角函数的实际应用（共3小题） 49．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 50．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． 51．（2026·贵州遵义·模拟预测）根据以下材料，完成任务． 材料1 “天下第一壶”位于中国名茶之乡遵义湄潭县天壶公园，建筑由茶壶和底座构成，壶身最大直径24米，是世界上最大的茶壶实物造型，并于2006年5月18日被上海大世界吉尼斯总部授予（中国之最）最大实物造型，被誉为遵义的又一地标性建筑． 材料2 小明画出了建筑的侧面示意图，水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的茶壶，经过测量，从A到C处的斜坡的坡度且米．假设在同一竖直平面内． 材料3 已知在处测得建筑物顶端的仰角，在处测得的仰角． (1)任务1：求平台到地面的高度； (2)任务2：求建筑物的高度．（结果保留整数） 参考数据：，，，，， 【答案】(1)平台到地面的高度为25米； (2)建筑物的高度约为米． 【分析】（1）过点作于点，利用斜坡的坡度，结合勾股定理即可解答； （2）延长交于点，设米，则米，分别在和中，由三角函数的定义求出，利用，求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得（负值舍去）， ∴米， 答：平台到地面的高度为25米； （2）解：延长交于点， ∵， ∴， 则四边形是矩形， ∴米，， 设米，则米， ∵（米）， ∴米， 在中，，则（米）， 在中，，则米， ∴米， ∴， 解得米， ∴米， 答：建筑物的高度约为米． $ 专题02 期中真题压轴百炼通关（51题17大压轴题型） 易错·固本强基 题型1 黄金分割的压轴问题 题型2 相似三角形的动点问题 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 相似三角形的实际应用 题型5 二次函数的图象与性质压轴 题型6 二次函数的最值问题 题型7 二次函数的平移问题 题型8 二次函数的角度问题 题型9 二次函数的面积问题 题型10 二次函数的存在性问题 题型11 二次函数的新定义问题 题型12 二次函数的实际应用 题型13 反比例函数的图象与性质 题型14 反比例函数k值意义综合 题型15 反比例函数与几何综合 题型16 解直角三角形综合 题型17 锐角三角函数的实际应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 黄金分割的压轴问题（共3小题） 1．（26-27九年级上·北京西城·期中）“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 2．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在矩形中，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形（）与矩形相似，则为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 题型2 相似三角形的动点问题（共3小题） 4．（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 5．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 题型3 相似三角的判定与性质综合（共3小题） 7．（26-27九年级上·陕西汉中·期中）如图①，已知正方形的边长为，点，分别是，上的动点，满足，连接，交于点． (1)求证：⊥； (2)如图②，连接与交于点，恰好是的中点． ①求的长； ②如图③，点为上一点，⊥，垂足为，求+的最小值． 8．（26-27九年级上·四川成都·期中）在中，于点E，，于点G交线段于点F． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，求的值； (3)如图3，平行四边形外面有一点H，连接、，满足，，探索线段、、的数量关系并证明 9．（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，已知在四边形中，，点为边上一点，且，连接与对角线交于点，，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接交对角线于点． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 题型4 相似三角形的实际应用（共3小题） 10．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 11．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 12．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 题型5 二次函数的图象与性质压轴（共3小题） 13．（25-26八年级下·北京·期中）对于平面内三个不同的点，，，给出如下定义：若为直角三角形且，则称为线段的关联点，特别的如果，称为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， (1)如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； (2)已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点既是线段的关联点又是线段的强关联点，直接写出的取值范围是_____________________． 14．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)若，，求的长的最大值； (2)在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置使得长度相等，求的取值范围． 15．（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型6 二次函数的最值问题（共3小题） 16．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若将函数图象向右平移h个单位长度，当时，函数有最大值2，求h的值； (4)设点M在抛物线上，且在直线上方，当时，求点M的坐标． 17．（26-27九年级上·上海金山·期中）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 18．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； 题型7 二次函数的平移问题（共3小题） 19．（26-27九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，若抛物线恒过，求的取值范围． 20．（25-26九年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 21．（25-26九年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限． (1)抛物线的对称轴为直线___________； (2)延长线段交轴于点，当时，将沿方向平移得到，将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 题型8 二次函数的角度问题（共3小题） 22．（26-27九年级上·福建厦门·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求以点、、为顶点的三角形的面积； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 23．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)抛物线上有一点，且满足，求点的坐标； (3)点为直线上方抛物线上一点，连接，交于点，请直接写出的最大值，并直接写出此时点的坐标． 24．（26-27九年级上·重庆巴南·期中）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 题型9 二次函数的面积问题（共3小题） 25．（26-27九年级上·湖北襄阳·期中）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 26．（26-27九年级上·安徽安庆·期中）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 27．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 题型10 二次函数的存在性问题（共3小题） 28．（26-27九年级上·山东东营·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一个动点，连接，，交轴交于点，作轴于点． ①若点是的中点，求的面积； ②若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 30．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型11 二次函数的新定义问题（共3小题） 31．（26-27九年级上·北京西城·期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“二倍点”，则的取值范围是______． 32．（25-26九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于线段，点Q和图形T进行以下定义：若线段绕点Q旋转180度后，新线段（A对应M，B对应N）在图形T里（包括图形T边界），我们就称点Q是图形T和线段的凸显点，若点Q在图形T里（包括边界），且满足凸显点定义 则称点Q是图形T和线段的凸显差距点 (1)已知，是线段p的两个端点，，，，，我们将四边形称为图形． 则下列点是图形和线段p的凸显点的是 （填写序号） ①；       ② ；       ③；           ④ (2)若，，图形以点为中心作边长为6的正方形，且各边均与坐标轴平行， ①若 ，当时，存在点Q使得Q为图形和线段的凸显差距点，求此时点Q横坐标的取值范围． ②以点P为中心作边长为3的正方形，且各边均与坐标轴平行，我们将其与图形的非重叠部分记为图形．直线l过点，线段关于直线l对称后的线段记作线段m，无论直线l如何旋转，总会有点Q是图形和线段m的凸显差距点，直接写出t的取值范围． 题型12 二次函数的实际应用（共3小题） 34．（26-27九年级上·北京西城·期中）某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 35．（25-26九年级上·北京·期中）AI的应用早已渗透到从医疗诊断、智能教育到智能家居、工业制造等各个领域．我们经常可以看到无人驾驶的快递车穿梭在路上，它早已在快递运送中大展身手：既优化分拣与路线，又赋能无人车自主配送，让包裹送达更智能高效．一辆无人驾驶快递车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有T（T为的正整数）站，从A地出发时，装上发往后面每站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，将A，B之间所有站按依次标记，记快递车在第x站装卸完毕后剩余邮件数为y，根据以上资料，回答问题： (1)时，站号x和剩余邮件数y满足如下关系，补全表格； 站号x 1 2 3 4 5 6 剩余邮件数y 5 8 9 8 0 (2)在平面直角坐标系中描出时各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，此时站号x和剩余邮件数y满足的函数关系式为_____；（不要求x的取值范围） (3)时，第_____站剩余邮件数y最大； (4)T给定时，直接写出y和x满足的函数关系式为_____．（用含有T的式子表示，不要求x的取值范围） 36．（24-25九年级上·福建厦门·期中）厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 题型13 反比例函数的图象与性质（共3小题） 37．（2026九年级下·北京西城·专题练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求a值及一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 38．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且与函数的图象在第一象限交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围． 39．（25-26九年级上·广东佛山·期末）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角．    (1)在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； (2)如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； (3)如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 题型14 反比例函数k值意义综合（共3小题） 40．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 41．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 42．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型15 反比例函数与几何综合（共3小题） 43．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 44．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求b和m的值； (2)将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与线段为图形G．若双曲线与图形G恰有两个公共点，直接写出k的取值范围． 45．（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 题型16 解直角三角形综合（共3小题） 46．（2026·北京·模拟预测）如图，在矩形中，点E在边上，的延长线与的延长线相交于点F，连接．若，，，则的面积为______． 47．（2025九年级·全国·专题练习）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如下图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，．求的长． 48．（25-26九年级上·北京·期中）给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点Q逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”． 例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”． 在平面直角坐标系xOy中 (1)已知点，在，，，中，______是线段关于点O的“完美点”； (2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长； (3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”．当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长． 题型17 锐角三角函数的实际应用（共3小题） 49．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 50．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 51．（2026·贵州遵义·模拟预测）根据以下材料，完成任务． 材料1 “天下第一壶”位于中国名茶之乡遵义湄潭县天壶公园，建筑由茶壶和底座构成，壶身最大直径24米，是世界上最大的茶壶实物造型，并于2006年5月18日被上海大世界吉尼斯总部授予（中国之最）最大实物造型，被誉为遵义的又一地标性建筑． 材料2 小明画出了建筑的侧面示意图，水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的茶壶，经过测量，从A到C处的斜坡的坡度且米．假设在同一竖直平面内． 材料3 已知在处测得建筑物顶端的仰角，在处测得的仰角． (1)任务1：求平台到地面的高度； (2)任务2：求建筑物的高度．（结果保留整数） 参考数据：，，，，， 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $