专题07 解直角三角形24大题型72题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题07 解直角三角形（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算 题型2 余弦的相关计算 题型3 正切的相关计算 题型4 已知角度比较三角函数值的大小 题型5 特殊角的三角函数值 题型6 解直角三角形（重点） 题型7 解非直角三角形 题型8 解直角三角形的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值 题型11 根据锐角三角函数求长度 题型12 特殊三角形的三角函数 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型14 同角三角函数关系式 题型15 解直角三角形的相关计算（重点） 题型16 非直角三角形的相关计算（重点） 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型18 仰俯角问题（重点） 题型19 方位角问题（重点） 题型20 坡度坡比问题（重点） 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（难点） 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（难点） 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（难点） 题型24 解直角三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算（共3小题） 【易错】正弦是对边比斜边，不是对边比邻边，容易和正切混淆。要认准锐角，必须放在直角三角形内；非直角三角形不能直接用 sin，不区分斜边与直角边会直接列式出错。 1．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 题型2 余弦的相关计算（共3小题） 【易错】余弦为邻边比斜边，邻边是锐角相邻直角边，不是任意边。审题易选错邻边；注意角变化，锐角越大 cos 值越小，忽略直角三角形前提，直接对斜三角形套用公式。 4．（24-25九年级下·北京西城·期中）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 题型3 正切的相关计算（共3小题） 【易错】正切是对边比邻边，不含斜边，极易和 sin、cos 混淆。注意必须是同一个锐角的两条直角边；看错角，把另一个角的对边、邻边代入，计算时分母分子颠倒。 7．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是________． 9．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 题型4 已知角度比较三角函数值的大小（共3小题） 【易错】记错增减性：sin、tan 随锐角增大而增大，cos 随锐角增大而减小。常把 cos 增减性记反；角度不在同一范围时，不转化直接比较，忽略锐角范围限制。 10．（24-25九年级上·北京·期末）比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 11．（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级下·湖北襄阳·期中）s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 题型5 特殊角的三角函数值（共3小题） 【易错】30°、45°、60° 函数值记混，如sin60^=这类低级错误。分不清分子谁带根号；计算时不化简根式，代入时分母有理化遗漏，混淆角度对应式子。 13．（26-27九年级上·全国·期中）的值等于（     ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南·三模）已知公式：．已知．则______． 15．（25-26九年级上·山东威海·期末）计算：_____． 题型6 解直角三角形（共3小题） 【易错】解直角三角形需至少已知 2 个条件（至少一条边）。习惯盲目套用三角函数，不先判断边角；忽略直角隐含条件，选错边角关系式，多余条件干扰列式，计算不检验。 16．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，，于点，，，则的值______． 17．（25-26九年级上·山东滨州·期末）三角函数：如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 18．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 题型7 解非直角三角形（共3小题） 【易错】不主动作高构造直角，直接用三角函数。作高位置选错，破坏已知角；拆分后两个直角三角形公共边识别错误，边角对应混乱，角度拆分出错，漏看隐藏直角。 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 20．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 21．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）中，，，，求边的长度． 题型8 解直角三角形的实际应用（共3小题） 【易错】不会把实际场景转化几何图形，看错仰角俯角、线段。单位不统一；分不清观测点，图中边角标注错误；建立方程后，解出结果忘记按题意取舍，忽略实际意义。 22．（25-26九年级上·四川资阳·期末）如图，某兴趣小组想测量某时刻飞机的高度，在地面点处设置了一个观察点，沿水平方向前进千米到达点处，再沿坡比的斜坡行走千米到达观察点处，某时刻空中点处有一架正在降落的飞机，在处测得飞机的仰角为，同时在处测得飞机的仰角为，求此时飞机的高度？ 23．（25-26九年级上·陕西西安·期末）九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 24．（25-26九年级上·北京平谷·期末）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 题型9 网格中的三角函数值（共3小题） 25．（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 26．（2026·广东深圳·三模）如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为（     ） A． B． C． D．2 27．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值（共3小题） 【易错】直接拿已知线段比值，不锁定目标锐角。无直角三角形时不构造；求一个角三角函数，误用别的角的对边邻边；相似转化边长时比例颠倒，忽略角不变性。 28．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 29．（25-26九年级下·北京·期中）如图，在中，于点，，分别为，的中点，为边上一点，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若点是的中点，，，求的长． 30．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 题型11 根据锐角三角函数求长度（共3小题） 【易错】列式时比例写反，对边邻边混淆。设未知数后解方程计算失误；分不清斜边、直角边；多个直角三角形时，不会利用公共边过渡，跨三角形边角乱代换。 31．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·北京延庆·模拟预测）如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 33．（2025·广东·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 题型12 特殊三角形的三角函数（共3小题） 【易错】等腰、等边三角形，不会作高转化 Rt△。等边三角形内角 60°，等腰底角易判断错误；直接用原三角形边长求三角函数，不分割，斜边直角边概念缺失。 34．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 35．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，点，，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为________． 36．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（    ）      A． B． C． D． 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数（共3小题） 37．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 38．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 39．（24-25九年级下·全国·期中）已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 题型14 同角三角函数关系式（共3小题） 40．（25-26九年级上·山东泰安·期中）计算： （1）； （2）． 41．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）下列说法中正确的是（    ） A． B．若为锐角，则 C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则 42．（25-26九年级上·北京·期中）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 题型15 解直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】优先选原始已知条件列式，不用算出的中间值，防止误差。边角对应错位；勾股定理与三角函数混用混乱；根式计算不化简，近似取值过早造成结果偏差。 43．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 44．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在菱形中，，，分别交于点E，F，，连接． (1)求证：； (2)求点E到的距离和的值． 45．（2026·北京东城·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型16 非直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】作高只想到向底边作垂线，不会灵活选顶点。分割后角度拆分错误；两个直角三角形公共高不会联立方程；边角跨三角形混用，忽略角之间的和差关系。 46．（25-26九年级上·全国·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 47．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 48．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（共3小题） 【易错】辅助线盲目画，分割后产生多余未知量。不会用割补法；构造后找错目标角；面积计算忘记加减多余部分，线段重复或漏算，三角函数与面积公式搭配出错。 49．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，，，则_____． 50．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 51．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 题型18 仰俯角问题（共3小题） 【易错】仰角俯角是视线与水平线夹角，不是和竖直线夹角。不会用内错角转化；两个观测点高度差忽略；设高列方程时，水平距离加减搞反，画图时角度标注错误。 52．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 53．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 54．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告： 活动背景 汾阳后沟村玲珑塔是明代古建筑，位于吕梁市汾阳市峪道河镇后沟村村口高崖上，八角形七层楼阁式砖塔，2026年被公布为第六批山西省文物保护单位． 活动主题 测算玲珑塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点B到点A上升的高度为3米； 3．A处测得塔顶D的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行15米到达点P处； 5．在P处测得塔角E的俯角为，测得坡底B处的俯角为（点B，E在同一水平线上） 测量示意图 任务1 求的距离（结果精确到1米） 任务2 求玲珑塔的高度（结果精确到0.1米） 参考数据 题型19 方位角问题（共3小题） 【易错】方位角从正北或正南开始计量，不是正东正西。南北线是平行线，内错角不会转化；画图漏画十字方位；航行图形中角度算错，边长关系判断颠倒。 55．（2026·重庆·三模）如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 56．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 57．（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 题型20 坡度坡比问题（共3小题） 58．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 59．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 60．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 题型21 解直角三角形的多结论问题（共3小题） 61．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，，点分别在上，且均不与各顶点重合，的面积分别为．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 62．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，正三角形的边长为a，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中， ①若，则； ②的度数随着点E的运动而逐渐变小； ③若点G为的中点，则的最小值为； ④面积的最大值为． 其中正确的是_____________．（写出所有正确结论的序号） 63．（2026九年级下·四川达州·专题练习）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为__________． 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（共3小题） 64．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，O为中点，过点A作于点E，连接，并延长到点D，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 65．（2026·北京平谷·二模）如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． (1)若，，求的长； (2)连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 66．（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（共3小题） 67．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 68．（2026九年级下·北京西城·专题练习）某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 69．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 题型24 解直角三角形的新定义问题（共3小题） 70．（24-25九年级上·北京海淀·期中）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为______． (2)对于，的正对值的取值范围是______． (3)已知，试求的值． (4)设，，通过完善的推导，将写成的表达式． 71．（2025·河南周口·一模）【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 72．（25-26九年级下·湖南湘西·期中）【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解直角三角形（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算 题型2 余弦的相关计算 题型3 正切的相关计算 题型4 已知角度比较三角函数值的大小 题型5 特殊角的三角函数值 题型6 解直角三角形（重点） 题型7 解非直角三角形 题型8 解直角三角形的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值 题型11 根据锐角三角函数求长度 题型12 特殊三角形的三角函数 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型14 同角三角函数关系式 题型15 解直角三角形的相关计算（重点） 题型16 非直角三角形的相关计算（重点） 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型18 仰俯角问题（重点） 题型19 方位角问题（重点） 题型20 坡度坡比问题（重点） 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（难点） 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（难点） 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（难点） 题型24 解直角三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正弦的相关计算（共3小题） 【易错】正弦是对边比斜边，不是对边比邻边，容易和正切混淆。要认准锐角，必须放在直角三角形内；非直角三角形不能直接用 sin，不区分斜边与直角边会直接列式出错。 1．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 2．（2026九年级下·北京·期中）如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，，， ． 3．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)84 【分析】本题考查了比例的性质，一元一次方程的解法，解直角三角形，设出未知数并表示出与c是解决本题的关键． （1）设，则依次用x表示与c的值，再由即可求解； （2）作出三角形的高，由即可求解三角形的高，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ 设， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ； （2）解：过点C作交于点D，如图， 在中，， 由（1）知，，， ∴，解得， ∴． 题型2 余弦的相关计算（共3小题） 【易错】余弦为邻边比斜边，邻边是锐角相邻直角边，不是任意边。审题易选错邻边；注意角变化，锐角越大 cos 值越小，忽略直角三角形前提，直接对斜三角形套用公式。 4．（24-25九年级下·北京西城·期中）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 6．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 正切的相关计算（共3小题） 【易错】正切是对边比邻边，不含斜边，极易和 sin、cos 混淆。注意必须是同一个锐角的两条直角边；看错角，把另一个角的对边、邻边代入，计算时分母分子颠倒。 7．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 8．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，在中，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是________． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为： 9．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 题型4 已知角度比较三角函数值的大小（共3小题） 【易错】记错增减性：sin、tan 随锐角增大而增大，cos 随锐角增大而减小。常把 cos 增减性记反；角度不在同一范围时，不转化直接比较，忽略锐角范围限制。 10．（24-25九年级上·北京·期末）比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 11．（2025·广东惠州·三模）已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 12．（25-26九年级下·湖北襄阳·期中）s，， 的大小关系是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于，大于，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知，，． 又，正弦值随着角的增大而增大， ． 故选D． 题型5 特殊角的三角函数值（共3小题） 【易错】30°、45°、60° 函数值记混，如sin60^=这类低级错误。分不清分子谁带根号；计算时不化简根式，代入时分母有理化遗漏，混淆角度对应式子。 13．（26-27九年级上·全国·期中）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：原式 ． 14．（2026·湖南·三模）已知公式：．已知．则______． 【答案】 【分析】根据给定的公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算即可. 【详解】解：由题意， . 15．（25-26九年级上·山东威海·期末）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的加法． 先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：. 题型6 解直角三角形（共3小题） 【易错】解直角三角形需至少已知 2 个条件（至少一条边）。习惯盲目套用三角函数，不先判断边角；忽略直角隐含条件，选错边角关系式，多余条件干扰列式，计算不检验。 16．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，，于点，，，则的值______． 【答案】 【分析】由角度等量代换可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26九年级上·山东滨州·期末）三角函数：如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 【答案】(1) 高即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，解直角三角形，勾股定理． （1）根据过已知点作已知直线的垂线方法画出图形，即可； （2）在和中，求出的长，即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的面积． 18．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 题型7 解非直角三角形（共3小题） 【易错】不主动作高构造直角，直接用三角函数。作高位置选错，破坏已知角；拆分后两个直角三角形公共边识别错误，边角对应混乱，角度拆分出错，漏看隐藏直角。 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 20．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 21．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 题型8 解直角三角形的实际应用（共3小题） 【易错】不会把实际场景转化几何图形，看错仰角俯角、线段。单位不统一；分不清观测点，图中边角标注错误；建立方程后，解出结果忘记按题意取舍，忽略实际意义。 22．（25-26九年级上·四川资阳·期末）如图，某兴趣小组想测量某时刻飞机的高度，在地面点处设置了一个观察点，沿水平方向前进千米到达点处，再沿坡比的斜坡行走千米到达观察点处，某时刻空中点处有一架正在降落的飞机，在处测得飞机的仰角为，同时在处测得飞机的仰角为，求此时飞机的高度？ 【答案】此时飞机的高度为千米． 【分析】过点作于点，过点作延长线的垂线，垂足为点，作于点，由坡比，结合勾股定理，可得，，解和可得，即可得此时飞机的高度． 【详解】解：过点作于点，过点作延长线的垂线，垂足为点，作于点，设千米， ∵千米，， ∴， ∴千米， ∴千米，千米， 又∵千米， ∴千米， 又∵在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵在中，， ，即， 解得， ∴， ∴此时飞机的高度为千米． 23．（25-26九年级上·陕西西安·期末）九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】32米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，过点作于，则四边形是矩形，，，，，可得 ，，计算求解，进而可求． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∴， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 宿舍楼的高度约为． 24．（25-26九年级上·北京平谷·期末）为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米） (1)求直吊臂的长； (2)为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？ 【答案】(1)13米 (2)上升了约6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，读懂题意是解题的关键． （1）理解题意，根据在中，米，，代入数值到进行计算，即可作答． （2）理解题意，把数值代入进行计算，得的长，再结合，得出的长，即可作答． 【详解】（1）解：在中，米，， ∴（米）， ∴直吊臂的长约为13米； （2）解：延长交水平线于点C， 则水平线， 在中，米，， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴当时，货物M上升了约6米． 提升·进阶突破 题型9 网格中的三角函数值（共3小题） 25．（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】取格点，连接，结合网格可得，根据勾股定理求出的长，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，在正方形网格中，取格点，连接， 由图可知，， ∴， ∴在中，． 26．（2026·广东深圳·三模）如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理以及逆定理证明，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∴ ∴ ∴． 27．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接格点、，根据网格特征结合勾股定理得出，，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，连接格点、， ∵正方形网格的边长为， ∴，，，， ∴，是直角三角形，， ∴， ∴． 题型10 根据锐角三角函数求三角函数值（共3小题） 【易错】直接拿已知线段比值，不锁定目标锐角。无直角三角形时不构造；求一个角三角函数，误用别的角的对边邻边；相似转化边长时比例颠倒，忽略角不变性。 28．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（25-26九年级下·北京·期中）如图，在中，于点，，分别为，的中点，为边上一点，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵F为边中点，， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵E，F分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，进而可证明得到，再根据三角形的中位线性质证得，然后根据平行四边形的判定可证得结论； （2）根据正切定义可设，则，根据中点的定义，平行四边形的性质可求出，根据三角形中位线定理得出，求出，则，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴设，则， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 30．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【答案】(1)的余弦值为 (2)边的长为 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． （2）解：由（1）知，， 在中，． 在中， ，． 答：边的长为． 题型11 根据锐角三角函数求长度（共3小题） 【易错】列式时比例写反，对边邻边混淆。设未知数后解方程计算失误；分不清斜边、直角边；多个直角三角形时，不会利用公共边过渡，跨三角形边角乱代换。 31．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点D，在中，利用勾股定理求得线段的长，再按照正弦函数的定义计算即可． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 根据题意，得， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 故选：D． 32．（2025·北京延庆·模拟预测）如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ． 即， 中，，D为中点， ． ，． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合直角三角形的性质，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵菱形， ∴O为中点，． ∴是的中位线． ． 又， ． ∵在中，， ． ． ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的应用，平行四边形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 33．（2025·广东·模拟预测）如题图所示，在中，，的垂直平分线分别交，于D，E两点．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，利用正弦值求边长，勾股定理，利用垂直平分线的性质得出，进一步求出，再利用勾股定理求出，再利用正弦函数建立等式求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴在中， ， ∴在中， ． 即 ． 题型12 特殊三角形的三角函数（共3小题） 【易错】等腰、等边三角形，不会作高转化 Rt△。等边三角形内角 60°，等腰底角易判断错误；直接用原三角形边长求三角函数，不分割，斜边直角边概念缺失。 34．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 【答案】(1) 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出与的度数，进而可得出结论； （2）根据与的三角函数值代入进行计算即可． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，准确分析计算是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知:，， ∴原式． 35．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，点，，将沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的运算，勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练运用勾股定理是解题的关键． 过点作轴于点，利用特殊角的三角函数值，利用折叠的性质得到，，再利用勾股定理列式求出点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿直线AB翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 把代入可得： ， ∴， 故答案为：． 36．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，设计一张折叠型方桌子，若，，将桌子放平后，要使距离地面的高为，则两条桌腿需要叉开的为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，根据题意，得在中，，，由此可以推出，接着可以求出，再根据三角形的内角和即可求出的度数． 【详解】解：作于．   ，， ∴ ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到是解题的关键． 题型13 根据特殊角三角函数值求角的度数（共3小题） 37．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 38．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 39．（24-25九年级下·全国·期中）已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 【答案】(1)锐角三角形 (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，三角形的分类． （1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案． （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴， ∴， ∴是锐角三角形； （2）解：原式 ． 题型14 同角三角函数关系式（共3小题） 40．（25-26九年级上·山东泰安·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）代入特殊角度的三角函数值计算即可； （2）根据互余两角三角函数的关系即可解题． 【详解】（1）； ； ； ； （2）． 【点睛】本题考查锐角三角函数的计算．解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值以及互余两角三角函数的关系：若A、B互余，则,． 41．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）下列说法中正确的是（    ） A． B．若为锐角，则 C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可． 【详解】A、，故说法不正确； B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若为锐角，则，故说法正确； C、当β=60°时，，则，故说法不正确； D、当α=45°时，，故说法不正确； 故选：B 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键． 42．（25-26九年级上·北京·期中）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型15 解直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】优先选原始已知条件列式，不用算出的中间值，防止误差。边角对应错位；勾股定理与三角函数混用混乱；根式计算不化简，近似取值过早造成结果偏差。 43．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ． ，， ． 四边形是菱形， ， ， ， ； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可证，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）连接，交于点，作交于点K，先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，进而根据矩形的性质得到，根据菱形的性质得到，，，根据三角函数及勾股定理求出，进而求出，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，即，根据勾股定理求出，根据题意得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：连接，交于点，作交于点K， 四边形是菱形， ，． 为中点， ． ， ，， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形， ， ， ∵， ． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，​，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在菱形中，，，分别交于点E，F，，连接． (1)求证：； (2)求点E到的距离和的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； (2)点E到的距离为； 【分析】（1）根据菱形的性质结合证明即可； （2）作于H，先由求出，然后解斜即可；过点作交延长线于点，解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点F作于H， ∵四边形是菱形，，， ，，， ， ∴， ， ， ，， 和是等边三角形，， ， ， ∴， ， ， ； 过点作交延长线于点， ∵ ∴ ∴， 即点E到的距离为． 45．（2026·北京东城·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据“有三个角为直角的四边形为矩形”，即可证明结论； （2）首先利用三角函数解得，由角平分线的性质定理可得；设，则，证明，由相似三角形的性质解得的值，易得，进而由勾股定理解得的长度；证明，由相似三角形的性质求的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，即，解得， ∵平分，，于点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 题型16 非直角三角形的相关计算（共3小题） 【易错】作高只想到向底边作垂线，不会灵活选顶点。分割后角度拆分错误；两个直角三角形公共高不会联立方程；边角跨三角形混用，忽略角之间的和差关系。 46．（25-26九年级上·全国·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 47．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 48．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____． 【答案】 【分析】过点作于，根据勾股定理求得的长，继而求得，设，则，则，根据，解得，在中，，根据即可求解． 【详解】过点作于，如图， ∠BFE＝30°， ， ∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键． 题型17 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（共3小题） 【易错】辅助线盲目画，分割后产生多余未知量。不会用割补法；构造后找错目标角；面积计算忘记加减多余部分，线段重复或漏算，三角函数与面积公式搭配出错。 49．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 50．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 51．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 题型18 仰俯角问题（共3小题） 【易错】仰角俯角是视线与水平线夹角，不是和竖直线夹角。不会用内错角转化；两个观测点高度差忽略；设高列方程时，水平距离加减搞反，画图时角度标注错误。 52．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 53．（2026·江西宜春·模拟预测）玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 54．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告： 活动背景 汾阳后沟村玲珑塔是明代古建筑，位于吕梁市汾阳市峪道河镇后沟村村口高崖上，八角形七层楼阁式砖塔，2026年被公布为第六批山西省文物保护单位． 活动主题 测算玲珑塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点B到点A上升的高度为3米； 3．A处测得塔顶D的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行15米到达点P处； 5．在P处测得塔角E的俯角为，测得坡底B处的俯角为（点B，E在同一水平线上） 测量示意图 任务1 求的距离（结果精确到1米） 任务2 求玲珑塔的高度（结果精确到0.1米） 参考数据 【答案】任务1：米；任务2：米 【分析】本题考查了三角函数，含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 任务1：过点P作于点F，则，利用求出的距离即可； 任务2：过点A作于H．于点G．利用的坡比为及米，可求出的长度，进而求出及的长度．然后利用，问题即可解决． 【详解】解：任务1：过点P作于点F，则， 在中， ，即， ． 在中，， ，即，， （米） 答：的距离为米． 任务2：过点A作于H．于点G． 的坡比为， 在中，． 点B到点A上升的高度为3米， 米，米． 又米， 米． 又四边形AGEH是矩形， ，米． 在中，， 即， （米）， （米）． 答：玲珑塔的高度约为米． 题型19 方位角问题（共3小题） 【易错】方位角从正北或正南开始计量，不是正东正西。南北线是平行线，内错角不会转化；画图漏画十字方位；航行图形中角度算错，边长关系判断颠倒。 55．（2026·重庆·三模）如图为某乡村研学基地的平面示意图，点A、B、C、D为四个活动站点．经测量，站点A位于站点B的南偏西方向900米处，且位于站点C的西南方向上，站点C位于站点B的正北方向且位于站点D的北偏东方向上，站点D位于站点A的正北方向上．（参考数据：，，） (1)求站点A、C之间的距离（结果保留根号）； (2)小明，小鑫分别从站点C、D同时匀速出发，小明沿向站点A慢跑，小鑫沿向站点A步行．当小明跑到其路程的一半时，两人之间的距离与小鑫到站点A的距离之比为，求此时小鑫到站点A的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米 (2)194.6米 【分析】（1）过点A作，垂足为M，根据题意利用解直角三角形的性质即可得解； （2）当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处，过点E作，垂足为N，设米，则米，利用解直角三角形得出相关线段的表达式，再利用勾股定理列出方程求解x的值，即可求得最终结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为M， ∴， 由题意知，，，米， 在中，，， ∴（米），（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴A、C两地的距离为米． （2）解：如图，当小明跑到一半时，小鑫位于点E处，小明位于点F处， ∴（米）， 过点E作，垂足为N， ∴， 设米，则米， 在中，，， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴（米）， ∴小鑫与点A的距离为194.6米． 56．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 57．（2026·重庆武隆·一模）如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) (1)求的长度(结果保留小数点后一位)； (2)某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，设，解，再由建立方程求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，由题意，设，解中， ．在等腰中， ，则，解得，那么．设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点，最后对运用勾股定理建立方程及其即可． 【详解】（1）解：如答图1，过点作的垂线，交的延长线于点． 由题意，． 设． 在中， ． 在等腰中，， 则， 解得， ． ； （2）解：能． 如答图2，过点作的垂线，垂足为点． 由题意，设， 在中， ． 在等腰中， ， ， 解得， ． 如答图2，设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点， ， ， ． 在中，由勾股定理列方程， 解得． 答：在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流． 题型20 坡度坡比问题（共3小题） 58．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 【答案】 【分析】延长交于F，得到平行四边形，得到，，，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在直角中， ∵， ∴． 59．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 60．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②略 拔高·压轴破难 题型21 解直角三角形的多结论问题（共3小题） 61．（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，，点分别在上，且均不与各顶点重合，的面积分别为．给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性较强，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 可得，则， 再由三角形的外角性质得到，故②正确；证明，则，即，故③正确；过点作于点，证明，则，，可得为等腰直角三角形，故 ，设，，由，得到，则，故②正确． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴同理可得：， ∴， ∴，即，故③正确； 过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确， 故选：D． 62．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，正三角形的边长为a，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中， ①若，则； ②的度数随着点E的运动而逐渐变小； ③若点G为的中点，则的最小值为； ④面积的最大值为． 其中正确的是_____________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】如图，过点A作AM垂直BC，垂足为点M，过点E作EH⊥BC，垂足为H，过G作GN⊥AF，垂足为N，证明 可判断①，证明 可判断②；求解 当点F与点N重合时，GF最小，其最小值为GN的长度，可判断③；设 则 ，再利用二次函数的性质可判断④． 【详解】解：如图，过点A作AM垂直BC，垂足为点M，过点E作EH⊥BC，垂足为H，过G作GN⊥AF，垂足为N， 为等边三角形， 为等边三角形， 在与中， ， 当时， 故①符合题意； 而 而 在点E从点B向点A的运动过程中，的度数随着运动而逐渐变小， 的度数随着运动而逐渐变小，故②符合题意； 等边三角形ABC的边长为a， 是AC的中点， 当点F与点N重合时，GF最小，其最小值为GN的长度， 的最小值为 故③符合题意； 设 则 等边三角形ABC的边长为a， 的底边AF上的高为的值， 当时，取得最大值，其最大值为 故④不符合题意； 综上可得：符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，熟练是运用以上知识解题是关键． 63．（2026九年级下·四川达州·专题练习）如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G．于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】利用菱形的性质和全等三角形的判定证明①，利用AA定理证明△FCE∽△FGC，从而证明②，由含30°直角三角形的性质和平行线分线段成比例定理分析求解，从而证明③和④． 【详解】解：在菱形ABCD中，AD=DC，∠ADB=∠CDB 又∵DF=DF ∴△ADF≌△CDF， ∴，故①正确； ∵AD∥BC ∴∠DAF=∠FEC 又①中已证△ADF≌△CDF， ∴∠DAF=∠DCF，AF=CF ∴∠DCF=∠FEC 又∵∠CFG=∠CFG ∴△FCE∽△FGC， ∴， 即，故②正确； ∵在菱形中，， ∴∠DBC=∠BDC=30° 又∵ ∴在Rt△DCF中，∠CDE=30° ∴ ∴在菱形ABCD中， 又∵AD∥BC， ∴ 由①已证AF=FC ∴ 由②已证， 设FC=2k，EF=3k ∴FG=，EG= ∴，故③正确； 由③已知 设DF=2a，BF=3a ∴BD=5a ∴在Rt△BDE中， 在Rt△CDE中， 在Rt△DFH中，， ∴ ∴在Rt△FCH中， 又由②③已证，， 设FG=4m，EG=5m，则EF=9m ∴，解得（负值舍去） ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 题型22 根据锐角三角函数求解几何问题压轴（共3小题） 64．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，O为中点，过点A作于点E，连接，并延长到点D，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵O为中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分的判定定理证得四边形是平行四边形，再由得证结论； （2）利用正弦的定义可求得的长度，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，利用矩形的性质证出，从而得到，即，求得的长度，最后通过勾股定理即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 在中，，， ∴， ∵，O为的中点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，． 65．（2026·北京平谷·二模）如图，在中，，，过点作射线，交线段于，，过点作于点，延长到点，使． (1)若，，求的长； (2)连接，交射线于点，为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ①如图所示； ②，证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ． 【分析】（1）因为是等腰直角三角形且，所以先得出的长度；因为，是直角三角形，已知的值，所以结合勾股定理可求出的长度，又因为，即可得到的长． （2）①依据题干描述的点的位置、连线关系补全图形即可． ②首先证明和全等，得到对应角相等，进而推出；如果M是中点，可过点作于，过点作交于，结合线段的和差关系推导与的数量关系． 【详解】解：， ， 在中： ， 设，． ， 根据勾股定理： ，即， 解得（）， ． ． （2）①如图所示； ②， 证明：如图，过点作于，过点作交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ，， ， ， ． 66．（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作于，过点作交延长线于， ∵平行四边形， ∴， 不妨设，，则， 由，得， ∵， ∴， 设， 则由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 题型23 解直角三角形的实际应用压轴（共3小题） 67．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． 68．（2026九年级下·北京西城·专题练习）某公园计划用一块宽为13米的矩形空地（）规划50个停车位，为了尽量少占用土地面积，其中一侧停车位设置为垂直式（图中矩形等），另一侧设置为倾斜式（图中等），两侧停车区总长度相等，并在中间设置宽为4米的行车区以保证车辆正常出入，规划方案如图所示在不考虑停车位间隔线和车道间隔线的宽度情况下，求这块空地的长度．（图中）应该至少设计为多少米（精确到）．（） 【答案】86m 【分析】利用几何图形中的边角关系，求出倾斜式停车位的水平间距以及单个倾斜车位的水平投影长度，再通过“两侧停车区总长度相等”这一条件建立方程，求出倾斜车位和垂直车位的数量，进而计算出空地的总长度，最后根据“至少”的要求进行取整． 【详解】解：如图，过点作于点T， 由，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， 设倾斜车位有x个，则垂直车位有个， 由两侧停车区总长度相等，得：， 解得：， ∴垂直停车位有34个，停车区长度为：， 倾斜停车区长度为：， ∴空地长度应至少设计为． 69．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 题型24 解直角三角形的新定义问题（共3小题） 70．（24-25九年级上·北京海淀·期中）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为______． (2)对于，的正对值的取值范围是______． (3)已知，试求的值． (4)设，，通过完善的推导，将写成的表达式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、余切、二次根式的应用等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）在中，，顶角，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据直角三角形的性质和勾股定理可得，然后根据的定义求解即可得； （2）先求出当接近时，接近0，再求出，由此即可得； （3）在中，，，过点作于点，先求出，再设，则，，，然后根据的定义求解即可得； （4）在中，，顶角，则，再过点作于点，在上截取，过点作于点，连接，设，，则，，根据勾股定理可得的长，然后根据顶角的正对的定义可得，代入化简即可得． 【详解】（1）解：如图，在中，，顶角， 过点作于点， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当接近时，接近0， 如图，在中，，顶角， ∴， ∴， 由顶角的正对的定义可知，在一个等腰三角形中，腰长不变，对于，顶角越大，其所对的边越大，则其正对值也越大， ∴当时，， 故答案为：． （3）解：如图，在中，，， 过点作于点， ∴，， ∴， 设，则，， ∴在中，， ∴． （4）解：如图，在中，，顶角， ∵， ∴， 过点作于点，在上截取，过点作于点，连接， ∴，， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∴． 71．（2025·河南周口·一模）【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）1；（3）6或12 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ， ， ， ． 综上可得，的面积为6或12． 72．（25-26九年级下·湖南湘西·期中）【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：当时，则 ∵四边形是平行四边形， 在和中， ， ． ， 是菱形． (2)存在， (3)或或 【分析】（1）平行四边形性质证明，得，，即可得证； （2）用、表示的面积，用、表示的面积，因为两个三角形面积相等，所以建立等式，变形即可得到λ与的关系； （3）当时，平行四边形两相邻边的比为 2，再分为，,三种情况分别计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为 2． ①如图 1，当时，过点作于点，过点作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， 在中，， 设，， ∴ 解得：， ，， ∵， 同理可得，，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图 2，当时，过点作于点，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ∴，， ∴， ∴， 同理可求，，， ∴， 由①可知，，，， ， ∴， ∴， ， ． ③如图 3，时，连接，过点作， ∵ ， 设，， ∴， ， ∴， ∵， ， 解得：， ∵， ， 又， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的长为或或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $