专题06 圆的轨迹和与圆有关的最值、范围问题（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题06圆的轨迹和与圆有关的最值、 题型归纳 题型一轨迹方程的求法 题型二与圆相关的数形结合问题 题型三几何法与韦达定理求最值 题型四与圆相关的转化思想的应用 题型专练 题型一：轨迹方程的求法 1.C 2.A 3.-5(或-6，-7) 2π 4.3 5.B 6.V2 7.c 题型二：与圆相关的数形结合问题 1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.3V5-5 7.35 8.9+4V5/4V5+9 题型三：几何法与韦达定理求最值 1/2 上好每一堂课 范围问题 函学科网·上好课 www.zxxk.com 1.A 2913号 40 3.2V10+22/22+2V10 4.D 5.c 6.5V2-4/-4+52 7.B 题型四：与圆相关的转化思想的应用 1.c 2.C 3.D 4.1-45,1+45 5.-∞，-8-102U-8+10V2,+∞ 6.-∞，-1U2,12 2/2 上好每一堂课面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆的轨迹和与圆有关的最值、范围问题 题型归纳 题型一轨迹方程的求法 题型二与圆相关的数形结合问题 题型三几何法与韦达定理求最值 题型四与圆相关的转化思想的应用 题型专练 题型一：轨迹方程的求法 1.已知圆C:（x-42+y=4,点P(-1,3)关于直线：y=kx的对称点Q在圆C上，则() A.I与圆C相交 B.l与圆C相切 c.l与圆C相离 D.以上都有可能 2.已知A-1,0,B1,0,直线y=kx-4上存在点P,使得PA·PB=3,则k的取值范围为( 33 A. 3’3 B.-3,3 -11 c.2'2 D.-2,2 3. 已知集合A={x,yx2+y2=25,x≥0l,B={x,yx-y+b=0儿，且AnB的非空子集的个数为3， 则整数b的一个可能取值为 4.己知过点A(-1,0)的直线与圆C:x+y2-2x=0交于M,N两点，弦MV的中点为P,则点P的轨迹 长度为 5.在直角坐标平面内，过定点P的直线l:ax+y-2=0与过定点Q的直线m:x-ay+2=0相交于点M, 则点M到点1,1的距离的最大值为() A.V2+1 B.V2+2 c.V2-1 D.2V2 6.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:X-my=0和过定点B的动直线l2:mx+y+m=0交于点P(P 114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与A,B不重合)，则PA+PB的最大值为 7.已知A2,0,B-1,0,点P满足PA=2PB,点Q在圆C:x+1P+y-4P=1上运动，点M在直 线x-y-2=0上运动，则PM+QM的最小值为() A.5V2-3 B.6V2-3 c.V73-3 D.4V5-3 题型二：与圆相关的数形结合问题 1.已知点P(x,y)在圆x2+y=4上，则x- 2x+y 的取值范围为( ) A2, 3. 8.-o,21u1 c.[-0,2)U D. 2刻果实领x,满足等式x-2户+了-=1，则寸7的最小值为《) 2 3 A. B. 4 3 c. 3.已知实数X,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项错误的是() A.x2+y的最大值是4+23 x+i的最大值是2+6 c.x-y+3的最小值是22-3 D.过点0,2作曲线C的切线，则切线方程为x-V2y+2=0 4.已知点P是圆x2+y+2}=1上的动点，则直线OP的倾斜角的取值范围是( ) A.0,3 π2π B. 33 π5π 5π c.36 D. 5.已知圆方程为x+y-4x+3=0,Px,y为圆上的动点，则() ￥最大值为3 B.x+y最大值为2+V2 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x2+y最大值为3 D.y-x最小值为V2-2 6.如果实数x,y满足等式x2+y2+4x-2y-4=0,那么2x-y的最大值是 7.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则2x-y-3的最大值为 8.若点Px,y是圆x2+y-2x+4y+1=0上任意一点，则x2+y的最大值是 题型三：几何法与韦达定理求最值 1.在平面直角坐标系中，Mm,0,N0,n为两不同的动点，以MN为直径的圆与直线l:2x+y-5=0相 切，则MN的最小值为() A.5 B.4 c.2V2 D.2V3 2.在平面直角坐标系中，过点2,0的直线与圆C:x2+y-10x+9=0交于A,B两点，则四边形0ACB 面积最大值为 3.已知直线l:y=kxk>0与圆C:x+12+y2=4交于不同的两点A,B,点P2,1,则PA+PB的 最大值为 4.在平面直角坐标系中，A-6,0,B0,4,点P在圆0：x2+y=25上，若PA·PB≤23，则 PA+PB的最大值是( ) A.10+2913 B.5-V13 C.6 D.12 5.过一动点P8-2m,m向圆O:x2+y2=4作切线PA,PB,切点分别为A,B,则AB的最小值为( V11 V59 A. B. 2 4 c.V11 59 D.2 6.已知圆C1:x-2?+y-3P=1,圆C2:x-3P+y-4}=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点，P是 x轴上的动点，则PM+PN的最小值为 7.已知直线l1:x-my-1=0与直线l2:x+my-m+1=0(m≠0)交于点P,点Q是圆C:x2+y-y=0 上的动点，则PQ的最小值为() B.2 3/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c2- 0.5号 题型四：与圆相关的转化思想的应用 1.若在直线：4x-3y-b=0上存在一点P,使得过点P作圆C:（x-1+y=2的两条切线可以相互垂 直，则实数b的取值范围为() A.[-6,9] B.[1,9] c.[-6,14] D.[16,24] 2.已知圆M:x-12+y-12=2,直线l为x+y-m=0(m>0),已知直线l与圆M相离，若在直线L 上存在点A,在圆上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，则实数m的取值范围是() A.l0,4 B.4,6 c.4,6 D.4,8 3.已知圆C:（x-cos0P+(y-sin0P=1,若存在0，使得直线kx-y+4k=0与圆C有公共点，则实数 k的取值范围是() B.[-3,31 c.[-V2,2] 33 D. 3’3 4.已知圆C:x+1+y2=4,直线l:x-2y+t=0,若直线上存在点P,使得圆C上存在两点M,N, 满足∠MPN=号，则实数t的取值范国是 5.平面直角坐标系中，点A3,0,B0,3),若对于直线3x+4y+c=0上的任一点P,都有 BP≤2AP,则实数c的取值范围是 6.已知直线l:x+ay-a-1=0过定点P,若过点P作圆C:x2+y2-2mx+4y+m+6=0的切线有两条， 则m的取值范围为 414面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆的轨迹和与圆有关的最值、范围问题 题型归纳 题型一轨迹方程的求法 题型二与圆相关的数形结合问题 题型三几何法与韦达定理求最值 题型四与圆相关的转化思想的应用 题型专练 题型一：轨迹方程的求法 1.已知圆C:(x-42+y2=4,点P(-1,3)关于直线l:y=kx的对称点Q在圆C上，则() A.I与圆C相交 B.l与圆C相切 c.l与圆C相离 D.以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到P,Q距离相等，写出Q的轨迹圆；再将轨迹圆 与已知圆联立求交点，得到Q点坐标：计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系。 【解析】：圆C:(x-4)2+y2=4,“圆心C4,0,半径r=2: .P,Q关于直线：y=kx对称，且原点O在直线上， .0Q=0P1,1oP=(-1-02+(3-0=1+3=2, 则OQ=2,故Q在圆0：x2+y=4上， x2+y2=4 x=2 联立x4+y=4解得=0Q12,0, .Kpo -0-33 2--1 3 l1PQ,kkp0=-1,得k=3, 所以直线l方程为3x-y=0, 圆心C4,0到直线的距离：d= R3×4-01=43=23 32+(-12 2 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'d=2V3>r=2,∴.直线l与圆C相离 2.已知A-1,0,B1,0,直线y=kx-4上存在点P,使得PA·PB=3,则k的取值范围为( 33 A. 3,3 B.-3,3 11 C.2'2 D.-2,2 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算求出点P的轨迹为圆，结合直线与圆有公共点的条件，利用圆心到直线 的距离不大于半径求解k的取值范围. 【解析】设点Px,y以，由A-1,0,B1,0,得PA=-1-x,-y,PB=1-x,-y1. 由PAPB=3,代入得-1-x1-x+y2=3,整理得x2+y2=4, 即点P的轨迹是以0,0为圆心，半径r=2的圆」 直线y=kx-4整理为一般式kx-y-4k=0, 因为直线上存在满足条件的点P,故直线与圆x2+y=4有公共点，即圆心到直线的距离d≤r. 由点到直线距离公式得d=上二4人、4k 4k) ≤2 k2+19 +1,所以+ 3,3 整理得16K2≤4k+1.即k≤分解得-学≤k≤号 33 故k的取值范围为 3’3 3. 已知集合A={x,yx2+y2=25,x≥0l儿，B=x,yx-y+b=0,且AnB的非空子集的个数为3， 则整数b的一个可能取值为 【答案】-5（或-6，-7） 【分析】根据交集的元素个数转化为直线与半圆的交点个数，再利用数形结合，即可求解。 【解析】由AnB的非空子集的个数为3，所以AnB中有2个元素， 即直线x-y+b=0与半圆x2+y2=25,x≥0有2个交点， 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，当直线过点5,0时，此时b=-5, 当直线x-y+b=0与半圆x2+y2=25,x≥0相切时， =5,得b=-52.(正值含)， V2 所以若直线x-y+b=0与半圆x2+y=25,x≥0有2个交点，则-5V2<b≤-5 x-y+b=O 所以整数b的一个可能值为-5. 故答案为：-5（或-6，-7） 4.已知过点A(-1,0)的直线与圆C:x2+y2-2x=0交于M,N两点，弦MN的中点为P,则点P的轨迹 长度为 【答案】 罗 【分析】先求得圆C的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点P满足的几何关系，求出点P的轨迹方程， 再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度， 【解析】将圆C的方程x2+y2-2x=0化为标准形式：（x-12+y=1, 得圆心C1,0,半径r=1, 设弦中点Px,y, 由垂径定理可知：CP⊥MN,又点A-1,0在直线MN上， 故CP⊥AP,即CP·AP=0, CP=(x-1,y),AP=(x+1,y),于是， (x-1)(x+1)+yy=0, x2-1+y2=0→x2+y2=1 因为点P是圆C内的弦中点， 所以P的轨迹是圆x2+y2=1在圆C:(x-1)2+y2=1内部的一段圆弧， x2+y2=1 (x-12+y2=1 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两式相减：(X1P-父-0=X号 武入X+yL,得y=主号3 即丙为D 在圆x+y2=1中，圆心为原点O0,0,半径R=1, 向量OB= 13 2’2 oò=-3 2’2 设∠BOD=a, .0<<π，.a= 2π 3 由弧长公式l=Ra, 1=1×2r=2π 3-3 5.在直角坐标平面内，过定点P的直线l:ax+y-2=0与过定点Q的直线m:X-ay+2=0相交于点M, 则点M到点1,1的距离的最大值为() A.V2+1 B.V2+2 c.V2-1 D.22 【答案】B 【解析】对于直线l:ax+y-2=0,令x=0,得y=2,故定点P0,2, 对于直线m:x-ay+2=0,令y=0,得x=-2,故定点Q-2,0, 由a·1+1·(-a)=0,可知直线l⊥m,即∠PMQ=90, 所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆（去掉原点）， PQ中点为圆心C-1,1,半径r-21PQ1=号(0+2+(2-0=2， 设点A1,1,1AC=(1+1+(1-12=2, 点M到A1,1距离的最大值为AC+r=2+V2, 6.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:X-my=0和过定点B的动直线l2:mx+y+m=0交于点P(P 与A,B不重合)，则PA+PB的最大值为 【答案】V2 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】求出定点A、B坐标后，结合1与l2的位置关系可得点P轨迹，即可得PA+PB=1,再利 用基本不等式计算即可得， 【解析】对x-my=0,当x=0时，y=0,故A0,0, 对mx+y+m=0,当x=-1时，y=0,故B-1,0, 由1×m+-m:1=0,故l1⊥12， 故点P在以AB为直径的圆上（不包括A,B两点）， 则PA1PB,故PA+PB2=AB2=12+02=1, 则|PA+|PBP=PAP+PB+2PA·PB≤2PA2+|PB=2, 即lPAHIPB-2,当组仅当PA=Pa-是，等号度， 故PA+PB的最大值为只V2 7.已知A2,0,B-1,0,点P满足PA=2PB,点Q在圆C:x+1+y-4=1上运动，点M在直 线x-y-2=0上运动，则PM+QM的最小值为() A.5V2-3 B.6V2-3 c.V73-3 D.4V5-3 【答案】C 【分析】首先求点P的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【解析】设点Px,y,又PA=2PB,所以2-x+0-yP=2-1-x+0-yP,整理得 x+22+y2=4, 所以点P在以C1-2,0为圆心，以r1=2为半径的圆上 点Q在圆C:x+12+y-42=1上运动，圆心为C-1,4),半径为r=1,点M在直线x-y-2=0上运 动，如图， 圆C1与圆C2关于直线x-y-2=0对称，则MC1=MC2,所以 PM+QMMC)-2+MC)-1=MC2+MC)-3=CC2)-3, 即当C,M,C2三点共线时，取得最小值 n-0 m--2 ×1=-1 设C2m,n,则 -2+m_0+n-2=0 解得C22,-4】 因此PM+QMmn=2--1+-4-42-3=V73-3. 5/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-y-2=0 M 无 题型二：与圆相关的数形结合问题 2x+y 1.已知点P(x,y)在圆X+y=4上，则X-的取值范围为（ ) A. B.-00,2U 1 3,+0 c.[-0,2)U D. 【答案】C 【分析】先设k=2x+y X-广，代入圆方程，整理得含参数k的关于X的一元二次方程，再结合A≥0求出k的 取值范围，进而得解。 ,则y=k-2x-k,代入+=4钟，得+k-2x-k=4 【解析】设k=2X+y 整理得1+k-22)x2-2kk-2x+k2-4=0, 又点P(x,y)是圆上的点，即上述方程有实数解， 所以4=4k-23k-10≥0，解得k≤2或k≥10 故2x+y的取值范围为-0,2U 10+ x-1 3,+0/ 2.如果实数x,y满足等式x-2+y=1,则x十的最小值为() V2 V3 A.- B.- 4 3 6/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【分析】将其看作过1,0的直线的斜率，利用圆心到直线的距离不大于半径得解 【解析】由x-22+y2=1知圆心为2,0，半径为1， 由题意可设过点-1,0)的直线的斜率为k=y +1 所以直线方程为kx-y+k=0,且直线与圆有公共点， 2k-0+k) 2」 则1+k 电解得k3视 43 V2 所以k=X寸的最小值为 3.已知实数X,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项错误的是() A.x2+y的最大值是4+2V3 ®.X行的最大位是2+96 c.x-y+3的最小值是2V2-/3 D.过点|0，V2作曲线C的切线，则切线方程为x-√2y+2=0 【答案】c 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解：选项B转化为斜率即可求解：选项C转化为点 到直线的距离的V2倍即可求解：选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【解析】C的方程x2+y2-2x-2=0可化为x-12+y2=3, 它表示圆心1,0，半径为只3的圆 对选项A:x2+y表示圆C上的点到定点OO,0的距离的平方， 故它的最大值为1-0+02+3=R3+1}=4+23,A正确： 对选项B: y+1 X+1表示圆上的点与点P-1,-1的连线的斜率k, 由圆心1,0到直线y+1=k(x+1)的距离d=2k+里s5 Vk2+1 可得2-6≤k≤2+V6,B正确： 对选项C:x-y+3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的V2倍， 4=22 圆心到直线的距离d=立 所以其最小值为V222-3=4-V6,故C错误： 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对选项D:设过点0，V2作曲线C的切线，则其斜率存在， 故可设切线方程为y=mx+V2, 2+m=3】 由m2+1 解得m=2 2 故切线方程为x-V2y+2=0,故D正确。 故选：C 4.已知点P是圆x2+y+2=1上的动点，则直线OP的倾斜角的取值范围是( T2π A. B. 3’3 元5元 5元 C 3’6 D. 0,3 6,n 【答案】B 【分析】令直线OP:x+my=O,求出其与圆相切情况下的直线方程，数形结合确定直线的倾斜角的范 围 【解析】由x+y+22=1的圆心为0，-2)，半径为1，易知直线OP斜率不为0， 令直线0P:x+my=0,若其与圆相切，则1+m 02m=1.郎m3,所以m=t5 相切情况下直线方程为y=±V3x,如图所示， 由直线倾斜角范围为[O,π)，则直线OP的倾斜角的取值范围是 π2π 3’3 故选：B 5.已知圆方程为x2+y2-4x+3=0,Px,y为圆上的动点，则( A.最大值为3 B.x+y最大值为2+V2 C.x2+y最大值为3 D.y-x最小值为V2-2 【答案】B 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】对选项A,画出图形，根据义表示圆上点与原点连线的斜率，即可判断A错误：对选项B,首 X X=2+c0s0 先设 y=sine (8为参数)，得到x+y=V2sin日+ 4 +2,即可判断B正确；对选项C,根据 x+y表示圆上点到原点距离的平方，即可判断C错误；对选项D,设 x=2+c0s0 y=sinθ (日为参数)，得 到y-X=2sin0-星-2，即可判断D错误 【解析】x+y2-4x+3=0→x-22+y2=1, 对选项A,之表示圆上点与原点连线的斜率 如图所示， 当OP与圆C相切的如图情形时， 取得最大值， X 此时0C=2,CP=1→0P=3, Y =KoP- V x max 3,故A错误 x=2+c0s0 对选项B, y=sin (0为参数)， x+y=sin @+cos0+2-2sin0+ 4 +2, 当0=牙时，X+y取符最大值2+2，故B正确 对选项C, X+y表示圆上点到原点距离的平方， 如图所示情形下： p主x2+y2 oP2=9 最大值为 ,故C错误 9/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对选项D,设 x=2+cos0 y=sin (0为参数)， 则y-x=sin6-cos0-2=2sin日- 42, 当0= 4时，y-x取得最小值-/2-2，故D错误 故选：B 6.如果实数x,y满足等式x2+y2+4x-2y-4=0,那么2x-y的最大值是 【答案】35-5 【分析】x,y在以-2,1为圆心，3为半径的圆上，设2X-y=t,根据圆心到直线的距离小于等于半 径得到不等式，求出答案 【解析】x2+y2+4x-2y-4=0,即x+22+y-12=9, 故x,y在以-2,1为圆心，3为半径的圆上， 设2x-y=t,即2x-y-t=0,2x-y-t=0表示直线， 2x-y-t=0要与x+22+y-1=9有公共点， 故-41≤3，解得-35-5≤≤35-5， V4+1 故2x-y的最大值为3V5-5 7.已知实数x,y满足x+y-4x-2y-4=0,则2x-y-3的最大值为 【答案】3V5 【分析】先将圆一般方程化为标准方程确定圆心半径，借助直线与圆有公共点的位置关系列式，求解目 标式的最大值 【解析1方程x2+y2-4x-2y-4=0化为x-22+y-12=9, 表示以点2,1为圆心，3为半径的圆， 设2x-y-3=t,即2x-y-(t+3)=0, 依题意，直线2x-y-(t+3)=0与圆有公共点， 因此 2×2-1-c+3<3,解得-35≤t≤35， V22+(-1Y 所以2x-y-3的最大值为3/5 8.若点Px,y是圆x2+y2-2x+4y+1=0上任意一点，则x2+y的最大值是一 【答案】9+4V5/4V5+9 10120 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解。 【解析】解：圆x2+y2-2x+4y+1=0化为标准方程为：x-12+y+2=4, 记圆心为M(1,-2),半径为r=2, 令z=x2+y2, 则V2=Vx+y2-x-02+y-02, 得V2为点P(x,y)到原点O(0,0)的距离，其最大值为：M0+r=1-0+-2-0+2=5+2, 则z的最大值为：5+2}=9+4只5， 故答案为：9+4V5 题型三：几何法与韦达定理求最值 1.在平面直角坐标系中，Mm,0,N(0,n为两不同的动点，以MN为直径的圆与直线l:2x+y-5=0相 切，则MN的最小值为() A.5 B.4 c.2V2 D.2V3 【答案】A 【分析】根据点O在圆上得出MN最小时只需O往直线作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距 离公式可得. 【解析】因为MN是直径，∠MON=90°，所以点O在圆上， 过O作OD垂直直线2x+y-5=0,垂足为D, 因为圆C与直线2x+y-5=0相切，所以MN最小，只需OD为圆的直径即可， 0到直线2x+y-5=0的距离0D=0+0-5=5, 4+1 则MN的最小值为V5 D M 2.在平面直角坐标系中，过点2,0的直线与圆C:x+y-10x+9=0交于A,B两点，则四边形OACB 面积最大值为 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 【分析】设直线AB的方程为x=ty+2,与圆的方程联立，设Ax1,y1,Bx2,y2,由韦达定理表示 5 xocy-y 6436 SOACB-7 2 1+1+平m 11+2,转化为求利用配方法求 gm=64m-36m的最值可得答案， 【解析】圆C:x-52+y2=16,OC=5, 由题意直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为X=ty+2,与圆的方程联立 x=ty+2 x+y2-10x+9=0得1+y2-6ty-7=0, △=36t2+281+t2=64+28>0,设Ax1,y1,Bx2,y2, 所*7 2 所以y1-y2=Vy1+y22-4y1y2= 6t 28 ◇ 64t2+28 1+t2 1+t2 1+t2 所以5aca×ocm-y小F64t28 5 64t2+1-36_564 36 2 1+t2 1+t2 21+1+2P 1 令m 1+2,则m∈0,1，则9m=64m-36m=-36m 82256 9 当m=8 256 时9m有最大值g, 5×16=40, 1_8 所以SoAc有最大值)33，此时+29即t2 4 40 故答案为： 31 3.已知直线：y=kxk>0与圆C:x+12+y2=4交于不同的两点A,B,点P2,1,则PA2+PB的 最大值为 【答案】2V10+22/22+210 【分析】联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出两点横坐标之间的关系式，利用两点间距离公式进行 求解。 12120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=kx 【解折】解由向x+1+y=4俐1+kX+2x-3=0, 段AhK无=子= 因为P2,1,所以PA2+|PB=x1-2+kx-1+x2-2+kx2-1P =1+kRX+x,P-21+k21x,X-4+2kx,+x+10=12+4+16 1+k2 令t=k+3,则t>3,k=t-3, 以12+4k+16=4t+16= 4t 所以1+k2 +16 t-32+1 t2-6t+10 4 +16≤2/10-6+16=2只10+22/ t+10-6 t 当且仅当t=V10时等号成立. 所以PA2+PB的最大值为2V10+22. 故答案为：2V10+22. 4.在平面直角坐标系中，A-6,0,B0,4,点P在圆O:x2+y=25上，若PA·PB≤23，则 PA+PB的最大值是() A.10+2V13 B.5-V/13 C.6 D.12 【答案】D 【分析】设点Px,y川，由条件PA·PB≤23，根据数量积的坐标运算可得x+3+y-2≤36，结合 条件可得点P在劣弧CD上，由已知点M-3,2是AB的中点，故PA+PB=2PM,再求PM的范 围，由此可得结论， 【解析】设点Px,yl,则PA=-6-x,-y,PB=-x,4-yl, 则PA·PB=6+xx+yy-4≤23，故x+32+y-22≤36， 所以点P在圆M:(x+32+y-2?=36的内部或边界上， 又点P在圆O:x2+y=25上，所以点P在劣弧CD上， 因为点M-3,2是AB的中点，所以PA+PB=2PM, 又|0M=-3?+2=V13<5,所以点M在圆x2+y2=25内， 13120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+32+y-22=36 联立 可得，3x-2y+1=0, x2+y2=25 3 2 所以直线CD的斜率为)：又直线OM的斜率为 所以直线CD与直线OM垂直， 将3x-2y+1=0代入X+y=25可得X+3xt+1 2 =25, 故13x2+6x-99=0, 33 X= X=-3 13 所以y=-4 或 56 y=13 3356 所以点C的坐标为13？13 点D的坐标为-3，-4， 所以CM = 3 332 =61D71-2+4=6,5-9丽PM6 13 所以10-2V13≤PA+PB≤12， 所以PA+PB的最大值为12. 故选：D. 5.过一动点P(8-2m,m向圆O:x2+y=4作切线PA,PB,切点分别为A,B,则AB的最小值为( ) V11 V59 A. 2 4 c.V11 V59 D.2 【答案】C 【分析】求得以PO为直径的圆的方程，与圆O方程相减得到直线AB方程，进而可求解 14/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】因为PA,PB是圆O的切线，所以OA⊥PA,OB⊥PB, 所以AB是圆O与以PO为直径的圆的公共弦，PO的中点为4-m, 2 可羽P0为直径的圆的方程-4-加f+y罗-4-m 4① 又因为x+y2=4② ①与②相减得，直线AB:24-mx+my=4,即8x-4+my-2x=0, 8X-4=0 X= 由y-2x=0 可得 y=1 即AB过定点D 21月 点D位于圆O内部 设圆心O到直线AB的距离为d,则AB=24-d2, 当OD⊥AB时，d最大，AB最小， V5 由题可知dax=之，所以ABan=24-5=yT, 4 6.已知圆C1:x-2?+y-3P=1,圆C2:x-3+y-42=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点，P是 x轴上的动点，则PM+PN的最小值为 【答案】5V2-4/-4+5V2 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A与半径，再求出圆A与 圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即为PM+PN的最小值， 【解析】作出图形，如图所示： 圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(2,-3),半径为1，圆C2的圆心坐标为3,4)，半径为3， 由图象可知当P,C2,A三点共线时，PA+PC2取得最小值，同时PM+PN取得最小值， 所以PM+PN的最小值为(3-22+(4+32-4=5V2-4. 7.已知直线l1:x-my-1=0与直线l2:x+my-m+1=0(m≠0)交于点P,点Q是圆C:x2+y2-y=0 15120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的动点，则PQ的最小值为() 1 A.4 c2- D.3-月 【答案】B 【分析】先用m表示P点坐标，再根据PQ≥PC-CQ求PQ的最小值. 【解新】圆c的标准方程为×+y一-京所以C0,引r号 x-my-1=0 2 由x+my一m+1=0得 -1_1 2 m P:-c01传古日 ≥2 应.工上1-片号（当且议当年点即m=2时取等9） 4 m 22 故选：B 题型四：与圆相关的转化思想的应用 1.若在直线：4x-3y-b=0上存在一点P,使得过点P作圆C:(x-1)2+y2=2的两条切线可以相互垂 直，则实数b的取值范围为() A.[-6,9] B.[1,9] c.[-6,14] D.[16,24] 【答案】C 【分析】由切线垂直推出点P到圆心的距离为定值2，将问题转化为"直线与半径为2的圆有公共点"，利 用圆心到直线的距离不大于半径列不等式求解 【解析】圆C的标准方程为(x-1)2+y2=2,可得圆心C(1,0),半径r=只V2 设过点P的两条切线的切点分别为A、B,连接CA、CB、CP, 根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此CA⊥PA,CB⊥PB,即 ∠CAP=∠CBP=90, 若两条切线互相垂直，即∠APB=90°，则四边形CAPB有三个内角为直角，且邻边CA=CB=r, 16120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此四边形CAPB是正方形， 所以CP=V2·|CA=V2r=V2×V2=2, 即所有满足条件的点P,都在以C为圆心、半径为2的圆上， 因为直线：4x-3y-b=0上存在点P,使过P的两条切线垂直，所以直线l与以C为圆心、半径为2的圆 有公共点， 所以圆6C1,0到直线1的距离d≤2.得d=43X0-4≤2，即4-b1≤10， 42+(-375 所以-10≤4-b≤10，解得-6≤b≤14， 故实数b的取值范围为[-6,14]. VA 2.己知圆M:x-12+y-12=2,直线l为x+y-m=0(m>0),己知直线l与圆M相离，若在直线 上存在点A,在圆上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，则实数m的取值范围是() A.0,4 B.4,6 c.4,6 D.4,8 【答案】C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线 的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置 关系（距离公式）得出不等关系 【解析】过A作AD,AE,分别与圆M相切于D,E两点，连接 AM,BM,CM,∠BAC=∠BAM+∠CAM, 在△BAM中，由正弦定理得， sn∠BAM-sin∠ABM→sin∠BAM=BM BM AM AM sin∠ABM 当点A相对固定时，BM,AM均为定值，要使得∠BAM最大， 则需要sin∠ABM最大.当∠ABM=90°时，即AB与圆M相切时，∠BAM最大， 即为∠DAM,所以∠BAM≤∠DAM,同理，∠CAM≤∠EAM, 17120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故∠BAM+∠CAM≤∠DAM+∠EAM, 即∠BAC≤∠DAE,所以要使圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°，只需要∠DAE≥60°， :AM平分∠DAE,∴.只需要30°≤∠DAM<90°. 只需要5≤sin∠DAM<1=2sM21 1 -<1→R2<MA≤232 则直线与圆M1:(x-12+(y-12=8相交或相切，又已知直线与圆M:(x-12+(y-12=2相离， 则弦心距d满是2<d≤22→2<2ms22m>0)→4<m≤6→m∈4,6l 92 3.已知圆C:（x-cos02+(y-sin0=1,若存在0，使得直线kx-y+4k=0与圆C有公共点，则实数 k的取值范围是() -1,1 A.22 B.[-3,31 c.[-2,V2] 3 3’3 【答案】D 【分析】法一：根据直线与圆的位置关系求解： 法二：当变化时，圆C扫过的图形是以原点为圆心，2为半径的圆盘M,再由直线与圆的位置关系求 解。 【解析】法-：依题意，圆心C(cos8,sin0)到直线kx-y+4k=0的距离d=kcos日-sn9+4≤1， 9V1+k2 R/1+k2sin(0-p)+4k」 4k V1+k2 31,即1sm09s1+ 依腿意，存在8，使得1+衣 4k ≤sin(0-p)s1-4k 1+反成立， 做11款老细2写格以-e 4k 3 18120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法二：当变化时，圆C扫过的图形是以原点为圆心，2为半径的圆盘M, 故若存在0，使得直线kx-y+4k=0与圆C有公共点， 4k 即直线kx-y+4k=0与圆M有交点，得1+K ≤2，解得- 3 3 ≤k≤ 3 3 4.已知圆C:x+1+y2=4,直线l:x-2y+t=0,若直线l上存在点P,使得圆C上存在两点M,N, 满足∠MPN= 3,则实数t的取值范围是 【答案】1-4V5,1+4V5 【分析】将问题转化为圆心到直线的距离d≤4，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【解析】圆C:x+12+y2=4,圆心C-1,0,半径r=2, 过点P作圆的两条切线，切线夹角是点P对圆的最大张角， 若要使得圆C上存在两点M,N,满足∠MPN=) 3 则最大张角大于等于3， 当最大张角等于3时，半角为6： 设切点为A,在直角三角形PAC中，s如名PC,吃P,PC-4, 12 只要PC≤4，就存在满足条件的M,N, 即圆心到直线l的距离d≤4， d=上1-2×0+tk- 12+-2795 ≤4，即lt-1≤4R5,解得1-45≤t≤1+46. 所以实数t的取值范围是1-45,1+45】 5.平面直角坐标系中，点A3,0,B0,3),若对于直线3x+4y+c=0上的任一点P,都有 BP≤2AP,则实数c的取值范围是 【答案】-o,-8-10R2]U-8+10V2,+0∞ 【分析】根据条件转化为直线不经过圆的内部，利用圆心到直线的距离建立不等式求解。 【解析】设Px,y, 由A3,0,B0,3,BP≤2AP 可得BP2≤4APP-x2+y-3?≤4x-32+y2, 即3x2+3y2-24x+6y+27≥0=x-4+y+12≥8， 19/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意知，直线3x+4y+C=0上的任一点P不在圆x-4+y+1=8内部， 所以圆心到直线的距窝d=13×4+4X-1+d=c+81≥22， 5 解得c≥-8+10V2或c≤-8-10V2 6.己知直线l:x+ay-a-1=0过定点P,若过点P作圆C:x2+y-2mx+4y+m+6=0的切线有两条， 则m的取值范围为 【答案】-o,-1U2,12 【分析】先分离参数求出直线所过定点P,利用二元二次方程表示圆的条件得到的初步范围，再根据 能作两条切线说明点在圆外，代入点坐标列不等式，最后取两个条件的交集得到m的取值范围. 【解析】由x+ay-a-1=0,得x-1+ay-1=0, 令8州=1.即a战定aP1儿 根据题意，圆C:x2+y2-2mx+4y+m+6=0, 必有4m2+16-4(m+6)=4m2-4m-8>0,解得m>2或m<-1, 因为过点P作圆C的切线有两条，所以P在圆C的外部， 则有1+1-2m+4+m+6>0,解得m<12, 综上，m的取值范围为-∞，-1U2,12. 20120