第05讲 圆的方程（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第5讲 圆的方程(核心考点讲与练) 一、圆的标准方程和一般方程 1. 圆的标准方程与一般方程 ①圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r； ②圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是 2. 以为直径端点的圆方程为 二、用圆中的几何关系及圆系方程 1、过两圆交点的圆系方程： 圆：与圆：相交，过两圆交点的圆系方程为： 若：，则是两圆的相交弦方程. 2、过圆与直线交点的圆系方程； 圆：与直线:相交，过圆和直线交点的圆系方程为： . 考点一：圆的标准方程和一般方程 例1．（2022·上海·高三专题练习）已知实数x，y满足，则x的最大值是（ ） A．3 B．2 C．-1 D．-3 【答案】C 【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定的最大值. 【详解】方程变形为，圆心，半径，则的最大值是. 故选：C 例2．（2021·上海·高二专题练习）已知复数（）满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出复数的轨迹方程再根据的几何意义求解即可. 【详解】因为,故,即.又的几何意义为到的斜率.故当过原点的直线与切于第一象限时取得最大值.此时设切线的倾斜角为则,易得.故的最大值为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题. 例3．（2021·上海市长征中学高二期中）圆𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 3 = 0的半径大小为_______ ． 【答案】2 【分析】直接将圆的方程转化为标准方程可得解. 【详解】圆𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 3 = 0整理为标准方程得：， 所以半径为2. 故答案为：2. 例4．（2017·上海·高三学业考试）圆的圆心坐标为___________ 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可. 【详解】由可得 所以圆心坐标为 故答案为： 例5．（2022·上海·高三专题练习）已知平面上到两直线与的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数___________. 【答案】 【分析】根据题意列出方程，再化简，满足圆的方程的条件得到关于的方程，最后解方程即可. 【详解】设此点的坐标为，则依题意有， 化简得， 此方程要表示圆，则. 故答案为：. 例6．（2022·上海·高三专题练习）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________ 【答案】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程. 【详解】由可得， 所以圆心为， 由可得，所以直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以所求直线的方程为：，即， 故答案为：. 例7．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是，点P的坐标是，则P与⊙A的位置关系_________； 【答案】在⊙内. 【分析】写出圆的方程，将点的坐标代入圆的方程即可判断出点与圆的位置关系. 【详解】因为圆的方程为， 则， 所以在⊙内， 故答案为：在⊙内. 例8．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________. 【答案】 【分析】设点，则，由，所以，代入，即可求解. 【详解】设点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 即. 因此点P的轨迹方程是. 故答案为： 例9．（2022·上海·高三专题练习）已知，且满足，若存在使得成立，则点构成的区域面积为__________ 【答案】 【分析】转化为，即,即，则对应的区域为以为圆心，的圆的外部，用三角形面积减去区域内弓形的面积即可 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB， 若存在R使得成立， 则 令,则, 则方程等价为， 即， ∵存在R使得成立， ∴,即， 则对应的区域为以为圆心，的圆的外部，即如图所示的阴影部分 由,解得,即， A(4,0),则三角形OAB的面积， 直线的倾斜角为， 则, 取为直线交圆所得弦的中点，则 因此三角形OAB区域内的弓形面积为： 故阴影部分面积为： 故答案为： 例10．（2021·上海·高二专题练习）圆拱桥一孔圆拱，如图所示，该圆拱的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01米） 【答案】3.86米 【分析】以为原点，方向为轴方向建立坐标系，则圆心在轴，设圆心坐标，可得圆弧的方程，将代入圆方程，可求支柱的高度． 【详解】以为原点，方向为轴方向建立坐标系，则圆心在轴，设圆心坐标为，圆的半径为, 那么圆的方程为，因为，则有， 得，， 故圆的方程为，把点C的横坐标代入上述方程得：， 解得:，即的长约为3.86米. 例11．（2021·上海市长征