培优专题04 直线与圆中的最值与范围问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

培优专题04 直线与圆中的最值与范围问题 常考题型·精准突破 ◆题型1 距离相关的最值与范围（重） ◆题型2 切线长的最值与范围（高频） ◆题型3 弦长相关的最值与范围 ◆题型4 线段和相关的最值与范围 ◆题型5 斜率型的最值与范围（重） ◆题型6 截距型最值与范围 ◆题型7 点到直线距离型最值与范围（高频） ◆题型8 平方和、距离平方型最值与范围（重） ◆题型9 周长、面积相关的最值与范围 ◆题型10 角度相关的最值与范围 ◆题型11 向量相关的最值与范围（难） ◆题型12 加权距离最值与范围（难） ◆题型13 隐圆背景下的最值与范围（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 距离相关的最值与范围 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）（多选）已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 4．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，则（     ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 5．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)设直线l经过直线和的交点，且l与圆C相交所截弦长为，求直线l的方程； (3)点P在圆上，Q在直线上，求的最大值和最小值. ◆题型2 切线长的最值与范围 6．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 10．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． (1)若，求直线的方程； (2)求的最小值； (3)若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． ◆题型3 弦长相关的最值与范围 11．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 12．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）游乐园里有一个半径为5的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点. (1)求的方程； (2)若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积. ◆题型4 线段和相关的最值与范围 16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 17．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 18．（2027·湖南衡阳·一模）已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 19．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 20．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆． (1)若直线过点，且圆C上恰有三个点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． ◆题型5 斜率型的最值与范围 21．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 22．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（   ） A．- B．-1 C．0 D．1 23．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 24．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 25．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． ◆题型6 截距型最值与范围 26．（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 27．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 28．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）（多选）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 29．（25-26高二上·江西上饶·期末）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长； （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 30．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. ◆题型7 点到直线距离型最值与范围 31．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 33．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 34．（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 35．（25-26高二上·广东·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 ◆题型8 平方和、距离平方型最值与范围 36．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 37．（2026·陕西延安·三模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 38．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．12 39．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 40．（26-27高二上·吉林四平·期中）已知圆N的圆心在原点，半径为2，，，，点P在圆N上运动. (1)求圆N的方程； (2)求的最大值和最小值； (3)过点作圆N的切线，求切线的方程. ◆题型9 周长、面积相关的最值与范围 41．（25-26高三上·辽宁铁岭·期末）设，，若直线平分圆的周长，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 42．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（   ） A．切线长的最小值为 B．当四边形面积最小时，直线方程为 C．直线恒过定点 D．圆上恰有两个点到直线的距离为 44．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆经过点，，且 ． (1)求圆的标准方程； (2)若直线：与圆相交于，两点． （ⅰ）求； （ii）求过，两点且面积最小的圆的方程． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 45．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． ◆题型10 角度相关的最值与范围 46．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 48．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，是曲线：上的两个不同的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 49．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）摇杆机械装置，如图，、为定点，、是动点，，，，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 50．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）已知与轴分别交于两点（其中在轴负半轴），为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域（含边界）记作，则下列说法正确的是（    ） A．若的方程为，则 B．若为区域内的动点，则的最大值为1 C．内的点到轴距离的最大值为 D．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 ◆题型11 向量相关的最值与范围 51．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 52．（25-26高三上·河南三门峡·期末）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点为，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·江苏常州·期末）直线与交于点，圆上有两动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 54．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 55．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知向量，，且向量满足，则的最小值为________________________． ◆题型12 加权距离的最值与范围 56．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 57．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 58．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 59．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 60．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 ◆题型13 隐圆背景下的最值与范围 61．（25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 62．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 63．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 64．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程： (2)过定点的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程； (3)已知点在曲线上运动，，求的最小值和最大值. 65．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．7 C．8 D．9 2．在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，点M在圆C：上，若Q是直线上的点，则的最小值为（     ） A．7 B．10 C．13 D．16 4．已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 5．我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 6．已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆，直线，则（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线恒过定点 C．圆心到直线的最大距离为 D．设直线与圆相交于两点，则的最小值为 8．已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 9．已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B．已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 三、填空题 10．已知复数满足的最小值为___________ 11．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 12．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最大值为__________． 四、解答题 13．已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 14．已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 15．在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．已知，满足方程，记其构成的平面图形为，，，为平面图形上不同的三点，点在平面图形的内部． (1)求的值及的最小覆盖圆的方程； (2)求的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形的最小覆盖圆的半径． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 直线与圆中的最值与范围问题 常考题型·精准突破 ◆题型1 距离相关的最值与范围 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】BD 4．【答案】ABC 5． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，无最大值. 【分析】（1）令圆心且，列方程求参数，即可得圆的方程； （2）先求出直线的交点，再由弦长的几何求法列方程求点线距离，然后讨论直线的斜率求直线方程； （3）首先求出圆心到直线的距离，再根据圆的性质确定的范围，即可得. 【详解】（1）由题设，令圆心，则，故， 所以，则，，故； （2）联立，可得，即直线过点， 由l与圆C相交所得弦长为，则圆心到的距离， 当直线的斜率不存在时，，满足圆心到的距离， 当直线的斜率存在时，设，即， 则，得，显然不成立， 综上，； （3）由到的距离为，即直线与圆外离， 所以，则，当且仅当共线且在之间时取等号， 所以的最小值为，无最大值. ◆题型2 切线长的最值与范围 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 10． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆上一点的切线方程，由点在两条切线上，得到两点共同满足的方程，即为切点弦方程； （2）先写出通用切点弦方程，求圆心到的距离，结合弦长公式，分析距离的最大值，从而求出弦长最小值； （3）设切线斜率，由相切条件得到斜率的一元二次方程，用韦达定理与斜率差公式表示，进而求最小值． 【详解】（1）已知圆心，设切点，取切线上任意异于点的一点，则， 故， 则，展开整理得，， 故过点的切线方程为， 点在切线上，故， 整理可得， 同理，切点也满足此方程，故切点弦的方程为． （2）结合（1）结论，对任意参数，切点弦的方程为：， 圆心到直线的距离， 当且仅当时取最大值， 弦长，故的最小值为． （3）设过点的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由相切关系得，即，整理得 ， 两条直线对应的斜率，则 ， 切线与轴交点纵坐标为，即， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． ◆题型3 弦长相关的最值与范围 11．【答案】A 12．【答案】A 13．【答案】D 14． 【答案】(1) 或 (2) 最短长度为，此时的方程为 【分析】（1）由弦长可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得答案； （2）要使弦长最短，则圆心到直线距离最长，据此可确定直线斜率，可得答案. 【详解】（1）当时，点坐标为，圆圆心为，半径为. 已知弦长为，由弦长、半径、弦心距的关系得直线到圆心距离为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 两边平方得，解得，代入得直线方程为. 综上，直线的方程为或； （2）由弦长，直线到圆心距离，圆半径三者关系知： 为使弦长最短，应使最大.注意到， 当且仅当时取等号.则弦长最短时，. 则直线方程为：. 15． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程求得的坐标，设的方程为，将三点代入求解即可； （2）求出的圆心和半径，先判断点在内部，然后求出最长弦长和最短弦长，即可求解面积. 【详解】（1）对于二次函数， 令，得，所以或， 不妨假设在左侧，则， 令，得，所以， 设的方程为， 将三点代入，得，解得 所以的方程为. （2）的方程可化为， 所以的圆心，半径， 因为，所以点在内部， 所以过点的最长弦为的直径，所以. 设圆心到任意一条弦的距离为，则该弦弦长为， 所以当最大时，弦长最短. 因为，所以最短弦长， 此时，即， 所以四边形的面积为. ◆题型4 线段和相关的最值与范围 16．【答案】C 17．【答案】12 18．【答案】 19．【答案】ABD 20． 【答案】(1)或； (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件确定圆心到直线的距离范围，再按直线斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. （2）①利用切线长定理及点到直线距离公式求出最小值；②利用对称思想，结合线段和的最小值问题求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为， 由圆C上恰有三个点到直线的距离相等，得，又直线过点， 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，的方程可以为； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， ，的方程为， 所以直线的方程为或； （2）①由直线与圆C相切，得，则当最小时，最小， 当且仅当与直线垂直时，最小值等于点C到直线的距离， 即，所以． ②记关于直线的对称点为，由，解得，即， 因此， 当且仅当点共线时，最小， 所以. ◆题型5 斜率型的最值与范围 21．【答案】 22．【答案】A 23．【答案】BC 24． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 25． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． ◆题型6 截距型最值与范围 26．【答案】BD 27．【答案】AC 28．【答案】ACD 29． 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)先确定动直线所过的定点，再利用 “圆心到直线的距离最大时弦长最短” 的性质，结合弦长公式求出最短弦长. (2)先通过垂直平分线与已知直线的交点确定圆心，再计算半径得到圆的方程，最后用参数方程或几何方法求出的取值范围. 【详解】（1）直线可化为，所以直线经过直线与的交点，弦长公式为(为圆心到直线的距离)，因为是定值，所以弦长最短等价于最大，而直线恒过定点，圆心到直线的距离； 当且仅当时，圆心C到直线的距离最大，直线被圆C截得的弦长最短，最短弦长为. （2）设圆C的方程为，，因为圆心在直线上，所以， 又因为，代入，得：， 展开化简得，与方程联立， 解得，， 所以圆C的方程为， 若点在圆C上，则可设为，，其中， 所以， 则的取值范围是. 30． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    ◆题型7 点到直线距离型最值与范围 31．【答案】B 32．【答案】C 33．【答案】ACD 34．【答案】ABC 35．【答案】ABD ◆题型8 平方和、距离平方型最值与范围 36．【答案】D 37．【答案】D 38．【答案】B 39． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先由中点坐标公式，求得点A的坐标，进而得到圆A的标准方程； （2）设直线的方程为，即，根据几何法，结合点到直线的距离公式求得，从而得到直线的方程； （3）根据的几何意义，将转化为圆A上的点到定点的距离的平方即可得其取值范围. 【详解】（1）由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则，解得， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，其方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不合题意； 所以直线的斜率不为. 设直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为， 则，化简得， 解得或. 所以直线l的方程为或， 即或. （3）设圆A上任意一点，， 点在圆A外部，，， 则， 即， 所以， 所以的取值范围是. 40． 【答案】(1) (2)最大值为88，最小值为72 (3)或 【分析】（1）直接写出圆N的标准方程即可； （2）设，利用两点间的距离公式得到，再由点在圆N上运动，化简可求的最大值和最小值． （3）设切线的斜率为，则切线的方程为，由点到直线的距离公式可得，解方程可求得切线的方程. 【详解】（1）因为圆N的圆心在原点，半径为2，所以圆N的方程为. （2）设，则， ， 因为，所以， 即的最大值为88，最小值为72. （3）易知切线斜率存在，设切线的斜率为，则切线的方程为， 即. 由圆心到切线的距离等于圆半径2得， 平方得，解得，所以或. 因此所求的切线方程为或， 即或. ◆题型9 周长、面积相关的最值与范围 41．【答案】D 42．【答案】B 43．【答案】D 44． 【答案】(1) (2)（i）  （ii）（或） 【分析】（1）选① ：解法一：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程；解法二：设圆的一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程. 选②：解法一：先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程；解法二：根据圆心在直线上，设圆心，再由可得，从而可得圆的标准方程； （2）由（1）知圆的标准方程，解法一：利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得；解法二：通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. 【详解】（1）选①： （解法一）:设圆的标准方程为． 因为圆经过点，，三个点， 所以，消去得，解得， 再将代入解得， 圆的标准方程为． （解法二）:设圆的一般方程为． 由题意可得，， 消去得，解得，再代入方程解得. 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选②： （解法一）：由，，得，中点为， 线段的垂直平分线为，即． 又圆心在直线上， 联立，解得，即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （解法二）：因为圆心在直线上， 所以设圆心，且，在圆上， ，， 整理得，解得. 所以圆心． 圆的标准方程为． （2）（i）（解法一）：由（1）知圆的标准方程为，                              所以圆心到直线的距离. 因为圆的半径，所以弦长． （解法二）：联立直线方程与圆的方程得， 消去，化简整理得，解得或， 当时，代入得； 当时，代入得. 所以交点，由两点间距离公式得． （ii）（法一：几何法）当圆的面积最小时，该圆以为直径，由（i）知， 过圆心且垂直于的直线方程为， 联立与得，所以该圆的圆心为， 则该圆方程为． （法二：圆系方程）设过两点的圆的方程为， 整理得， 则， 当且仅当时，该圆的半径最小，此时圆的方程为． 45． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将两定圆化为标准方程得圆心与半径，结合动圆与两定圆的切接关系得动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆的定义求解轨迹方程. （2）由底边长固定，面积最大对应点纵坐标绝对值最大，得点坐标后解三角形求角的正切值. 【详解】（1）如图所示； 由题知，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为， 动圆与圆外切，同时与圆内切． ，，. 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，. ，，， 动圆圆心的轨迹方程为. （2）如图所示； 由题知，当的面积最大时，点为椭圆短轴端点，不妨设点的坐标为， 此时为等腰三角形，为直角三角形，设, 又，. 的正切值为. ◆题型10 角度相关的最值与范围 46．【答案】D 47．【答案】C 48．【答案】B 49．【答案】D 50．【答案】ABD ◆题型11 向量相关的最值与范围 51．【答案】D 52．【答案】C 53．【答案】C 54．【答案】B 55．【答案】 ◆题型12 加权距离最值与范围 56．【答案】B 57．【答案】 58．【答案】A 59．【答案】10 60．【答案】ABD ◆题型13 隐圆背景下的最值与范围 61．【答案】A 62．【答案】A 63．【答案】B 64． 【答案】(1). (2)直线的方程为和. (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）根据题目条件设出动点，利用是的中点把点坐标表示出来，代入圆的方程即可求出曲线的方程；（2）利用弦长公式及点到直线的距离公式，讨论直线斜率存在或不存在的情况求出直线的方程；（3）把的最小值和最大值转化为求直线与圆相切时的最值. 【详解】（1）设动点，因为是线段的中点， 且，所以端点的坐标为，由于在圆上， 将的坐标代入圆方程得：， 化简得：， 故曲线的方程为. （2）曲线的圆心为，半径， 设过定点的直线方程为（斜率存在时），即， 弦长，由弦长公式得圆心到直线的距离， 利用点到直线距离公式：， 此时直线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，验证其与圆相交的弦长为，符合条件， 故直线的方程为和. （3）设在曲线上， 则， 展开化简得：， 由曲线的方程， 代入得：， 问题转化为求的最值， 设，则直线与圆相切时取最值， 圆心到直线距离为半径：， 故的最小值为， 最大值为. 65． 【答案】(1)，即为以为圆心，半径为的圆． (2)①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在， 【分析】（1）设动点，因为与的比为，所以根据两点间距离公式列等式，整理后得到曲线的方程，再根据圆的标准方程特征判断曲线形状即可. （2）①根据题意分析出P，D，Q，R四点共圆，进而得出点Q，R为两圆交点 ，再写出两圆的相交弦，即为直线QR的方程，即可得出直线经过定点; ②由题设分析出点在以为直径的圆（除去点）上，且轴，从而得出与重合时，△ADN的面积最大，即可得点的坐标. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在，，理由如下： 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上， 即以为圆心、半径为的圆（除去点）上， 且轴，则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B B D C B ABD BCD BCD 10．1 11． 12． 13．(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 14．(1). (2)16 (3) 【分析】(1)设动点，依据的距离等式，两边平方化简整理，即可求得动点的轨迹圆的方程； (2)设，写出的坐标表达式，求和后结合圆方程消去，转化为关于的一次函数，利用的取值范围求最值，再计算最值之差； (3)假设轴上存在定点，联立直线与圆的方程，由韦达定理得到两根之和、两根之积，代入斜率条件化简，求解参数并验证，判断定点是否存在. 【详解】（1）设，由，，， 得， 两边平方：， 展开：， 整理得：， 所以圆的方程为. （2）设，由，，， ， ， ， ， 由点在圆上，，代入得， ， 圆中， 当时，取得最大值； 当时，取得最小值， 最大值与最小值之差为. （3）假设在轴上存在定点满足条件， 设，，联立， ， ，， 由，得， ，，当时，约去， ， 通分整理：， ， 代入，后两边同乘：， 化简，即，解得， 当时，直线与圆交于， 也满足，所以存在定点满足题意. 15．(1)，（或写成） (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，利用锐角三角形的最小覆盖圆为外接圆即可求解； （2）利用钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆即可求解； （3）根据题意可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为点在曲线：上，所以，解得． 又与是不同的点，所以，即．     , 因为，， 所以，故为锐角，而, 所以为锐角三角形，则其最小覆盖圆为的外接圆 当以的外心为圆心时，由的斜率为，可得的方程为， 易知的中垂线方程为，由得即， 此时外接圆的半径为．     所以的最小覆盖圆的方程为（或写成）． （2）在中，． ， 所以为钝角三角形，其最小覆盖圆是以为直径. 则以为圆心， 所以的最小覆盖圆的方程为． （3）设是平面图形上一点， 则（）．     当，即时，．     因为平面图形关于原点中心对称，所以平面图形的最小覆盖圆的半径为． 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 直线与圆中的最值与范围问题 常考题型·精准突破 ◆题型1 距离相关的最值与范围（重） ◆题型2 切线长的最值与范围（高频） ◆题型3 弦长相关的最值与范围 ◆题型4 线段和相关的最值与范围 ◆题型5 斜率型的最值与范围（重） ◆题型6 截距型最值与范围 ◆题型7 点到直线距离型最值与范围（高频） ◆题型8 平方和、距离平方型最值与范围（重） ◆题型9 周长、面积相关的最值与范围 ◆题型10 角度相关的最值与范围 ◆题型11 向量相关的最值与范围（难） ◆题型12 加权距离最值与范围（难） ◆题型13 隐圆背景下的最值与范围（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 距离相关的最值与范围 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】点到圆心的距离为，且圆的半径为1， 所以，故的最大值为6. 2．（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 3．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）（多选）已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（     ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】先根据动直线求定点，再利用垂直关系确定点的轨迹方程，注意空心点，然后求解即可. 【详解】直线：化简得， 令得即直线过定点， 直线：化简得， 令得即直线过定点， 因为时，，，所以，即直线与直线垂直， 时，，不存在，即直线与直线垂直，所以交点在以为直径的圆上， 又因为直线无法表示直线，直线无法表示直线，所以点坐标不可能是， 故的轨迹方程为  ，圆心， 半径，所以直线方程为：且， 为圆上点，所以的最值一定在直线与圆的交点处取得， 联立直线直线与圆方程解得或即点坐标为时取最小值， 又因为坐标不可能是，所以无最小值，点坐标为时取最大值，最大值为. 4．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，则（     ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】ABC 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 5．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)设直线l经过直线和的交点，且l与圆C相交所截弦长为，求直线l的方程； (3)点P在圆上，Q在直线上，求的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，无最大值. 【分析】（1）令圆心且，列方程求参数，即可得圆的方程； （2）先求出直线的交点，再由弦长的几何求法列方程求点线距离，然后讨论直线的斜率求直线方程； （3）首先求出圆心到直线的距离，再根据圆的性质确定的范围，即可得. 【详解】（1）由题设，令圆心，则，故， 所以，则，，故； （2）联立，可得，即直线过点， 由l与圆C相交所得弦长为，则圆心到的距离， 当直线的斜率不存在时，，满足圆心到的距离， 当直线的斜率存在时，设，即， 则，得，显然不成立， 综上，； （3）由到的距离为，即直线与圆外离， 所以，则，当且仅当共线且在之间时取等号， 所以的最小值为，无最大值. ◆题型2 切线长的最值与范围 6．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 7．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由圆的切线的性质以及向量的数量积公式得到，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。 圆的圆心为，半径，根据切线的性质，，，且， 设，则， 在直角三角形中，有，， 向量点积公式为， 由于，， 所以， 令，因为在直线上，所以的最小值为圆心到直线的距离， 其中，所以，即， 利用对勾函数 的性质，其在时取得最小值， 由于，所以， 因此，在定义域内，此时取得最小值， 将代入得，， 所以 的最小值为，故A正确. 9．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 10．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为、． (1)若，求直线的方程； (2)求的最小值； (3)若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆上一点的切线方程，由点在两条切线上，得到两点共同满足的方程，即为切点弦方程； （2）先写出通用切点弦方程，求圆心到的距离，结合弦长公式，分析距离的最大值，从而求出弦长最小值； （3）设切线斜率，由相切条件得到斜率的一元二次方程，用韦达定理与斜率差公式表示，进而求最小值． 【详解】（1）已知圆心，设切点，取切线上任意异于点的一点，则， 故， 则，展开整理得，， 故过点的切线方程为， 点在切线上，故， 整理可得， 同理，切点也满足此方程，故切点弦的方程为． （2）结合（1）结论，对任意参数，切点弦的方程为：， 圆心到直线的距离， 当且仅当时取最大值， 弦长，故的最小值为． （3）设过点的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由相切关系得，即，整理得 ， 两条直线对应的斜率，则 ， 切线与轴交点纵坐标为，即， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． ◆题型3 弦长相关的最值与范围 11．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 【答案】A 【分析】结合图形，可得和为的最大值与最小值，计算即可. 【详解】如图， 点在圆C内，经过点和点作直线交圆于点， 过点作直线的垂线，交圆于点，连接， 则， 故和为的最大值与最小值，其中， 因，则. 附注：下面说明为的最小值. 如图，过点另作直线，交圆于点，连接， 取的中点，连接， 则，且，因圆的半径为3， 在中，， 又，故， 从而， 故为的最小值.    12．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）游乐园里有一个半径为5的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即， 由得，即直线恒过定点， 且，点在圆内， 欲使浮桥被水池截得的最短长度，则需直线与垂直， 故浮桥的最短长度是. 13．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线所过的定点与圆的位置，结合圆的几何意义、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 14．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【答案】(1) 或 (2) 最短长度为，此时的方程为 【分析】（1）由弦长可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得答案； （2）要使弦长最短，则圆心到直线距离最长，据此可确定直线斜率，可得答案. 【详解】（1）当时，点坐标为，圆圆心为，半径为. 已知弦长为，由弦长、半径、弦心距的关系得直线到圆心距离为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 两边平方得，解得，代入得直线方程为. 综上，直线的方程为或； （2）由弦长，直线到圆心距离，圆半径三者关系知： 为使弦长最短，应使最大.注意到， 当且仅当时取等号.则弦长最短时，. 则直线方程为：. 15．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点. (1)求的方程； (2)若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程求得的坐标，设的方程为，将三点代入求解即可； （2）求出的圆心和半径，先判断点在内部，然后求出最长弦长和最短弦长，即可求解面积. 【详解】（1）对于二次函数， 令，得，所以或， 不妨假设在左侧，则， 令，得，所以， 设的方程为， 将三点代入，得，解得 所以的方程为. （2）的方程可化为， 所以的圆心，半径， 因为，所以点在内部， 所以过点的最长弦为的直径，所以. 设圆心到任意一条弦的距离为，则该弦弦长为， 所以当最大时，弦长最短. 因为，所以最短弦长， 此时，即， 所以四边形的面积为. ◆题型4 线段和相关的最值与范围 16．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求点的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设点，又，所以，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 点在圆上运动，圆心为，半径为，点在直线上运动，如图， 圆与圆关于直线对称，则，所以， 即当，，三点共线时，取得最小值. 设，则，解得. 因此. 17．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 18．（2027·湖南衡阳·一模）已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 19．（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 20．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆． (1)若直线过点，且圆C上恰有三个点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件确定圆心到直线的距离范围，再按直线斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. （2）①利用切线长定理及点到直线距离公式求出最小值；②利用对称思想，结合线段和的最小值问题求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为， 由圆C上恰有三个点到直线的距离相等，得，又直线过点， 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，的方程可以为； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， ，的方程为， 所以直线的方程为或； （2）①由直线与圆C相切，得，则当最小时，最小， 当且仅当与直线垂直时，最小值等于点C到直线的距离， 即，所以． ②记关于直线的对称点为，由，解得，即， 因此， 当且仅当点共线时，最小， 所以. ◆题型5 斜率型的最值与范围 21．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【答案】 【分析】将所求代数式转化为圆上动点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径求解斜率最大值. 【详解】设，其几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 整理得直线的方程为， 已知该圆的圆心为，半径，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于半径，即 ，得， 得 ，化简得，解得或，因此的最大值为，即的最大值为. 22．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则值不可能是（   ） A．- B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】设 ，其几何意义为阴影部分内的点 与定点 连线的斜率，结合图形求出斜率 的取值范围即可判断. 【详解】由题意可知， 表示阴影部分内的动点 与定点 连线的斜率，记为. 观察图形可知，大圆方程为，定点 为大圆与轴正半轴的交点. 阴影部分主要由三部分边界围成，分别讨论斜率的取值范围： ①当点位于第一象限的阴影部分（即半圆 ）时： 设直线的方程为，即 . 当直线与该半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，解得 或 . 结合图形可知，当切点在第一象限时， 取得最小值 ； 当点为原点 时，. 故此部分 的取值范围是 . ②当点位于第二象限的阴影部分时：此时 ，则 . 当点在轴上时，； 当点为时，. 结合图形连续性，此部分 的取值范围是 . ③当点位于第三象限的阴影部分时：此时 ，则 ，故 . 当点 在 轴上时，； 当点 为 时（该点为大圆与小圆的公共点），. 故此部分 的取值范围是 . 综上所述， 的取值范围是 . 因为 ，所以 的值不可能是 . 23．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为16 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】将条件化为圆的标准方程，利用坐标范围及特殊点判断分式结论，将平方和转化为距离的平方，并利用不等式及取等条件求的最大值． 【详解】对于A，原方程可化为，表示以为圆心、半径为1的圆， 因此，，分式中的分母为正及为非负． 取，满足原方程，此时，故A错误； 对于B，由及得，当时满足原方程且等号成立， 故其最小值为0，故B正确； 对于C，设圆上动点为，定点为，则， 由，及三角不等式得， 当位于时等号成立，因此的最大值为，故C正确； 对于D，由重要不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 由得 ， 所以，当时满足原方程且取得等号， 因此的最大值为，故D错误． 24．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 25．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点在圆C：上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【详解】（1）方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． （2）设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． （3），表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． ◆题型6 截距型最值与范围 26．（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径，A、B、C三个选项分别利用“圆上点到定点距离”、“两点连线斜率”、“截距”的几何意义，结合圆心到直线距离公式求解；D选项利用“点在圆上，切线与半径垂直”的性质求出切线方程． 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示， 所以的最大值为， 故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示， 设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 27．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 【答案】AC 【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D． 【详解】 对于A，由题意，的欧拉线即的垂直平分线， ，，的中点坐标为， 且直线的斜率， 则的垂直平分线方程为，即， 由“欧拉线”与圆：相切， 到直线的距离， 则圆的方程为，圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的最大距离为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且圆的半径为， 所以圆上存在两个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D，圆的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点， 则圆心距的范围为，即，解得，故D错误． 28．（26-27高二上·河北保定·阶段检测）（多选）已知点在圆：上运动，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故最大值为，A正确. AI对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得， 所以的最小值为，不是，故B错误； AI对C选项，过斜率为的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. AI 29．（25-26高二上·江西上饶·期末）（1）已知动直线：，圆C：，求直线与圆C相交的最短弦长； （2）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上，是圆C上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)先确定动直线所过的定点，再利用 “圆心到直线的距离最大时弦长最短” 的性质，结合弦长公式求出最短弦长. (2)先通过垂直平分线与已知直线的交点确定圆心，再计算半径得到圆的方程，最后用参数方程或几何方法求出的取值范围. 【详解】（1）直线可化为，所以直线经过直线与的交点，弦长公式为(为圆心到直线的距离)，因为是定值，所以弦长最短等价于最大，而直线恒过定点，圆心到直线的距离； 当且仅当时，圆心C到直线的距离最大，直线被圆C截得的弦长最短，最短弦长为. （2）设圆C的方程为，，因为圆心在直线上，所以， 又因为，代入，得：， 展开化简得，与方程联立， 解得，， 所以圆C的方程为， 若点在圆C上，则可设为，，其中， 所以， 则的取值范围是. 30．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    ◆题型7 点到直线距离型最值与范围 31．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知点在曲线上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化为半圆，目标式转化为点到直线距离的5倍，利用圆心到直线的距离与半径的关系求出最小距离，再结合半圆端点求出最大距离，从而得到取值范围. 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 32．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 33．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 34．（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】对于ABC，根据各自的几何意义找到几何背景，由几何直观得到最值即可；对于D，利用三角换元，求得最值即可. 【详解】由，可得, 即曲线为圆心为，半径为2的圆. 对于A，几何意义为曲线到原点距离平方最大值， 所以当时，曲线到原点距离平方最大，最大值为9，A正确. 对于B，几何意义为曲线上的点与连线的斜率的最大值， 如下图所示，当过的直线与圆相切时，斜率有最大值， 设直线方程为， 则，即，解得或， 由图可知，的最大值是. 对于C，几何意义为曲线上与直线有交点时，直线截距的最大值， 如图，当直线与圆相切时，直线截距有最大值. 此时有，解得或（舍去）， 所以的最大值是，C正确. 对于D，设， 则可化为 因为，所以， 故的最小值是，D错误. 35．（25-26高二上·广东·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到直线的距离的倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解 【详解】曲线的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是 ，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. ◆题型8 平方和、距离平方型最值与范围 36．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】D 【分析】根据两个圆方程，将问题转化为圆上点到定点的距离最大值，求解即可. 【详解】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 37．（2026·陕西延安·三模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（    ） A．0 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设，则，讨论P点所在区域，求出的最大值和最小值，即可得的最大值和最小值，即可判断出答案. 【详解】由于， 设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离， 则； 当P在半圆上时，的最小值为； 当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时， 的最小值为和或之间的距离，为， 而，即的最小值为； 当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为， 的最大值为； 故的最小值为，最大值为 结合可知的值不可能是10. 38．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】根据点的轨迹性质求出对应轨迹方程，根据圆上点到圆心的距离即可求解. 【详解】因为，， 而，所以， 整理得，即点在以为圆心，半径的圆上， 而，所以， 而点在圆的内部，所以， 故的最小值为 39．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先由中点坐标公式，求得点A的坐标，进而得到圆A的标准方程； （2）设直线的方程为，即，根据几何法，结合点到直线的距离公式求得，从而得到直线的方程； （3）根据的几何意义，将转化为圆A上的点到定点的距离的平方即可得其取值范围. 【详解】（1）由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则，解得， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，其方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不合题意； 所以直线的斜率不为. 设直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为， 则，化简得， 解得或. 所以直线l的方程为或， 即或. （3）设圆A上任意一点，， 点在圆A外部，，， 则， 即， 所以， 所以的取值范围是. 40．（26-27高二上·吉林四平·期中）已知圆N的圆心在原点，半径为2，，，，点P在圆N上运动. (1)求圆N的方程； (2)求的最大值和最小值； (3)过点作圆N的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)最大值为88，最小值为72 (3)或 【分析】（1）直接写出圆N的标准方程即可； （2）设，利用两点间的距离公式得到，再由点在圆N上运动，化简可求的最大值和最小值． （3）设切线的斜率为，则切线的方程为，由点到直线的距离公式可得，解方程可求得切线的方程. 【详解】（1）因为圆N的圆心在原点，半径为2，所以圆N的方程为. （2）设，则， ， 因为，所以， 即的最大值为88，最小值为72. （3）易知切线斜率存在，设切线的斜率为，则切线的方程为， 即. 由圆心到切线的距离等于圆半径2得， 平方得，解得，所以或. 因此所求的切线方程为或， 即或. ◆题型9 周长、面积相关的最值与范围 41．（25-26高三上·辽宁铁岭·期末）设，，若直线平分圆的周长，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，并求得的关系，再利用基本不等式求解即得. 【详解】圆，即的圆心为， 由直线平分圆的周长，得， 即，而，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：D 42．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得，以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，从而得点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 43．（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（   ） A．切线长的最小值为 B．当四边形面积最小时，直线方程为 C．直线恒过定点 D．圆上恰有两个点到直线的距离为 【答案】D 【分析】根据圆的性质、切线长公式、直线与圆的位置关系等知识，逐项分析判断即可. 【详解】由圆：，得圆心，圆半径. A选项：由可知，切线长最小时，最小. 又，所以，A选项错误； B选项： 由切线的性质可知，，，所以，在以为直径的圆上. 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为，即. 又和在圆上，则， 所以直线方程为：. 又，所以， 所以当取最小值时，最小，即最小，此时， 所以，则直线方程为，即. 联立，解得，故，则， 故：，即，B选项错误； C选项：由B选项知：，即. 则，解得，所以恒过定点，C选项错误； D选项：点到直线的距离为， 又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，D选项正确． 故选：D． 44．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆经过点，，且 ． (1)求圆的标准方程； (2)若直线：与圆相交于，两点． （ⅰ）求； （ii）求过，两点且面积最小的圆的方程． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)（i）  （ii）（或） 【分析】（1）选① ：解法一：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程；解法二：设圆的一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程. 选②：解法一：先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程；解法二：根据圆心在直线上，设圆心，再由可得，从而可得圆的标准方程； （2）由（1）知圆的标准方程，解法一：利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得；解法二：通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. 【详解】（1）选①： （解法一）:设圆的标准方程为． 因为圆经过点，，三个点， 所以，消去得，解得， 再将代入解得， 圆的标准方程为． （解法二）:设圆的一般方程为． 由题意可得，， 消去得，解得，再代入方程解得. 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选②： （解法一）：由，，得，中点为， 线段的垂直平分线为，即． 又圆心在直线上， 联立，解得，即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （解法二）：因为圆心在直线上， 所以设圆心，且，在圆上， ，， 整理得，解得. 所以圆心． 圆的标准方程为． （2）（i）（解法一）：由（1）知圆的标准方程为，                              所以圆心到直线的距离. 因为圆的半径，所以弦长． （解法二）：联立直线方程与圆的方程得， 消去，化简整理得，解得或， 当时，代入得； 当时，代入得. 所以交点，由两点间距离公式得． （ii）（法一：几何法）当圆的面积最小时，该圆以为直径，由（i）知， 过圆心且垂直于的直线方程为， 联立与得，所以该圆的圆心为， 则该圆方程为． （法二：圆系方程）设过两点的圆的方程为， 整理得， 则， 当且仅当时，该圆的半径最小，此时圆的方程为． 45．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将两定圆化为标准方程得圆心与半径，结合动圆与两定圆的切接关系得动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆的定义求解轨迹方程. （2）由底边长固定，面积最大对应点纵坐标绝对值最大，得点坐标后解三角形求角的正切值. 【详解】（1）如图所示； 由题知，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为， 动圆与圆外切，同时与圆内切． ，，. 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，. ，，， 动圆圆心的轨迹方程为. （2）如图所示； 由题知，当的面积最大时，点为椭圆短轴端点，不妨设点的坐标为， 此时为等腰三角形，为直角三角形，设, 又，. 的正切值为. ◆题型10 角度相关的最值与范围 46．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解. 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为， 当时，则，又圆的半径，可得， 又直线过定点，且点在圆上， 若要使得，则圆心到直线的距离，且即可； 所以，且，解得且， 所以实数的取值范围为.    47．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，点的坐标为，有，利用两点间距离公式可求得的最小值，进而可得，可得的最小值； 【详解】设，点的坐标为，有， 由圆：，可得圆心，半径， 因此, 由，有， 因此的最小值为. 48．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，是曲线：上的两个不同的动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合几何关系得到取最大值时，的位置，根据同角三角函数关系、正弦定理及两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由可得，，即曲线是以原点为圆心，为半径的上半圆. 因为点在圆外，结合图形可知，当为切点，为右端点时，最大. 不妨设，. 在中，， ，则. 过点作轴. 在中，. 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 所以. 所以 . 即的最大值为. 故选：B. 49．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）摇杆机械装置，如图，、为定点，、是动点，，，，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由和求出的取值范围，在中用余弦定理表示出的表达式，结合的范围，求的取值范围. 【详解】由题意有，得，当且仅当在线段上时，当且仅当在线段上时. 在中， 因为，所以，即， 所以的取值范围是. 50．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）已知与轴分别交于两点（其中在轴负半轴），为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域（含边界）记作，则下列说法正确的是（    ） A．若的方程为，则 B．若为区域内的动点，则的最大值为1 C．内的点到轴距离的最大值为 D．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】以AP为直径的圆的圆心是AP的中点，先求圆心E的轨迹与半径的变化规律，作出区域M的示意图，再对四个说法逐项推理：A由圆心与半径确定P后求角，B在M内找使AQ与AO垂直的点，C、D分别求M上的点到x轴、到原点距离的最大值. 【详解】由 得，. 设，， 则的圆心为的中点，半径. 圆心的坐标满足，即在以 为圆心、 为半径的圆上运动， 且由知每个都经过点. 由对称性，区域关于轴对称， 如图所示（虚线圆为与时的一个，实线为的边界）， 以下只需考虑，此时. 对于选项A：圆 的圆心为，半径为. 由得，，即， 此时，，该圆确是 之一. 直线的斜率为，故与轴正方向所成的角为， 而在轴正半轴上，所以，说法A成立. 对于选项B：当时， 即圆. 取点， 由 知在该圆上，又含边界，所以. 此时直线即，与所在的轴垂直，，， 而角的正弦值不会超过 ，所以的最大值为 ，说法B成立. 对于选项C：内各点纵坐标的最大值为（圆的最高点的纵坐标）， 故内点纵坐标的最大值为. 当时，令，则. 设，则 . 当 时 ，，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 所以. 所以内点到轴距离的最大值为 （在 的 的最高点处取得），不等于，说法C不成立. 对于选项D：以为圆心的圆能覆盖，半径必须不小于上的点到距离的最大值， 而上的点到O距离的最大值为. 当 时，. 于是， 当且仅当时取等号，所以覆盖圆的最小半径为，其面积的最小值为，说法D成立. ◆题型11 向量相关的最值与范围 51．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先对向量表达式变形，判断出P，B，F三点共线，将目标式子转化为相关向量运算；利用向量投影的几何意义，动点G在半径为1的圆O上运动，分析投影取最值的位置，结合正六边形的几何特征，找到取得最大值的临界位置，进而求出目标表达式的最大值. 【详解】由题意知，，所以， 令， 则，. 因为，所以P，B，F三点共线. 当取到最大值时，,，H，Q分别为垂足，如图所示， 所以点A到线段BF的最短距离为AH， 即恰好取到最小值， 所以. 52．（25-26高三上·河南三门峡·期末）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点为，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先求圆的圆心和半径，利用切线性质确定所在圆的方程，联立两圆方程得坐标，设动点坐标，用向量数量积公式表示，结合在圆上化简表达式，根据范围求最大值. 【详解】由圆,得, 则圆心,半径, 过点作圆的两条切线,切点为、 ， 根据切线的性质,可得点在以为直径的圆上,如图: 圆心为，半径为 1，所以其方程为 ， 所以为两圆的交点，联立， 解得，设圆上的动点 ， 则， 所以, 又是圆上的动点，所以，即， 则 ， 又 在圆上，所以, 所以，即 ， 所以的最大值为 ． 故选：C ． 53．（25-26高二上·江苏常州·期末）直线与交于点，圆上有两动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可知点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作,则为的中点，求得最小值即可. 【详解】因为直线：，：， 则， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除， 其方程为， 其圆心，半径， 作，则为的中点， 根据勾股定理易求得, 如图所示，当在同一条直线上且在之间时最小， 又, 因为,， 所以， 故的最小值为， 故选：C. 54．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，不妨设，，可知，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，，， 因为，即， 可得，即， 又因为，，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆.    又因为，且，不妨设， 则， 设，则，，可得， 可得，即， 所以的取值范围为. 55．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知向量，，且向量满足，则的最小值为________________________． 【答案】 【分析】设，可得，记向量的起点为原点，由可得其终点为圆上一点，设的中点为，则为圆上一点，进而得到，设，，再结合两点间的距离公式得到，进而转化问题为，进而求解即可. 【详解】设，则， 记向量的起点为原点，由，得向量的终点为圆上一点， 设的中点为，则为圆上一点， 则，即， 设，则，， 即， 取定点，则，故， 因此， 当且仅当三点共线、且落在线段上时等号成立， 检验：此时均在圆外， 而直线的斜率为，则直线的方程为，即， 则圆的圆心到直线的距离为， 则直线与圆相交，因此这样的点存在， 综上所述，的最小值为. ◆题型12 加权距离最值与范围 56．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长. 【详解】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 57．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 【答案】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】由分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点， 可得：点的轨迹为圆， 设存在点对于圆上任意一点都满足，， 则点到点的距离为点到点的距离的两倍， 点到点的距离为点到点的距离的两倍，， 对圆上的点任意一点， 都有相似三角形关系（两边成比例，共角）， 因此 则圆上的点满足: ， 所以， 因为， 所以. 58．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两直线方程求出点的坐标，消去参数得到的轨迹圆；再构造点，把转化为，利用三角不等式求最小值． 【详解】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 59．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 60．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（     ） A．A点的坐标为 B． C．的最大值为5 D．点P到原点O的距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项可通过分离参数求直线过的定点判断；B先求两直线定点及垂直关系，再用勾股定理求平方和即可判断；C利用参数方程表示和，结合辅助角公式求最大值；D由确定的轨迹为圆，再用圆心到原点的距离减去半径求最小值. 【详解】对于A：由得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于B：由得，故直线恒过定点, 由和, 满足，所以， 所以，则,所以B正确； 对于C：因为, 且，设为锐角, 则, ， 所以, 其中， 所以当时, 取最大值, 故选项C错误； 对于D：由,取中点，所以,所以在以为直径的圆上，圆心为中点，半径， 原点到圆心的距离，故 ，所以D正确. ◆题型13 隐圆背景下的最值与范围 61．（25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 62．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 63．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】先求得直线经过定点，结合条件求出动点的轨迹方程为，设的中点为，化简目标式为，判断动点的轨迹为直线，利用圆心到直线的距离为圆心到直线上点距离的最小值即可求得的最小值即可. 【详解】即， 由解得，则直线经过定点， 又因，则，故点的轨迹为以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则点的轨迹方程为. 因点，分别是直线：和直线：上的动点， 设的中点为，则，则， 易知动点的轨迹为与直线平行且距离相等的直线，其方程为， 因圆心到直线的距离，则， 故的最小值为. 64．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程： (2)过定点的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程； (3)已知点在曲线上运动，，求的最小值和最大值. 【答案】(1). (2)直线的方程为和. (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）根据题目条件设出动点，利用是的中点把点坐标表示出来，代入圆的方程即可求出曲线的方程；（2）利用弦长公式及点到直线的距离公式，讨论直线斜率存在或不存在的情况求出直线的方程；（3）把的最小值和最大值转化为求直线与圆相切时的最值. 【详解】（1）设动点，因为是线段的中点， 且，所以端点的坐标为，由于在圆上， 将的坐标代入圆方程得：， 化简得：， 故曲线的方程为. （2）曲线的圆心为，半径， 设过定点的直线方程为（斜率存在时），即， 弦长，由弦长公式得圆心到直线的距离， 利用点到直线距离公式：， 此时直线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，验证其与圆相交的弦长为，符合条件， 故直线的方程为和. （3）设在曲线上， 则， 展开化简得：， 由曲线的方程， 代入得：， 问题转化为求的最值， 设，则直线与圆相切时取最值， 圆心到直线距离为半径：， 故的最小值为， 最大值为. 65．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，即为以为圆心，半径为的圆． (2)①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在， 【分析】（1）设动点，因为与的比为，所以根据两点间距离公式列等式，整理后得到曲线的方程，再根据圆的标准方程特征判断曲线形状即可. （2）①根据题意分析出P，D，Q，R四点共圆，进而得出点Q，R为两圆交点 ，再写出两圆的相交弦，即为直线QR的方程，即可得出直线经过定点; ②由题设分析出点在以为直径的圆（除去点）上，且轴，从而得出与重合时，△ADN的面积最大，即可得点的坐标. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在，，理由如下： 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上， 即以为圆心、半径为的圆（除去点）上， 且轴，则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】圆的圆心为，，因为为圆的直径，所以为的中点，故. ，， 故 ， 点在直线上，故的最小值为圆心到该直线的距离， 由点到直线的距离公式得. 因此的最小值为，代入得的最小值为. 2．在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 3．已知点，点M在圆C：上，若Q是直线上的点，则的最小值为（     ） A．7 B．10 C．13 D．16 【答案】B 【分析】通过作点关于直线的对称点将转化为到对称点的距离，结合圆上点到定点的最小距离公式求解最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由对称点性质，直线与垂直， 故，整理得，解得，即. 由对称性可知对直线上任意点，有，故. 圆的圆心为，半径， 对圆上任意点，（当且仅当为线段与圆的交点时取等号）， 因此 ， 又（当且仅当为线段与的交点时取等号）. ， 所以（当且仅当为线段与圆的交点， 为线段与的交点时取等号）， 所以的最小值为10. 4．已知圆上的点到直线的距离为1的点有2个，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算圆心到直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点有2个的条件列不等式求解的取值范围. 【详解】因为圆的圆心,半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可得， 即， 所以， 解得. 5．我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义，当为过与圆相切的切点时，计算余弦距离即可得解. 【详解】当时，曲线表示原点；当时，曲线的方程为， 此时曲线表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；同理，可在平面直角坐标系内作曲线的完整图形（如图）， 曲线上的点到原点距离的最大值为， 过点作直线与圆相切， 由图象可知，当为切点时，最大，此时有最大值. 由，则，， 则， 则余弦距离. 6．已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可知直线恒过定点即为曲线的对称中心，再由向量性质可得动点在以为圆心，半径的圆内含边界，从而可知的最大值为原点到点的距离与半径的和. 【详解】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点， 所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 二、多选题 7．已知圆，直线，则（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．直线恒过定点 C．圆心到直线的最大距离为 D．设直线与圆相交于两点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，利用圆的标准方程求出圆心和半径；选项B，将直线整理为，该式对任意实数恒成立得到，解出的值，从而得到定点的坐标；选项C，由直线恒过定点，得到圆心C到直线的距离d最大为，利用两点间的距离公式求解；选项D，由弦长公式求，最大时最小，利用勾股定理求出. 【详解】对于选项A，因为得， 所以圆的圆心坐标为，半径为，故A正确； 对于选项B，将直线的方程整理为， 该式对任意实数恒成立， 因此需满足，解得，即定点的坐标为，故B正确； 对于选项C，因为直线恒过定点， 所以圆心到直线的距离最大为， ，故C错误； 对于选项D，由弦长公式得， 因此最大时最小，所以，故D正确. 8．已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（   ） A．弦长有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定；对B，连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定；对C，由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定；对D，设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定. 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为， 所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误； 对于B，因为是弦中点，连接，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，设，且，，可得，， 所以， 因为动点的轨迹方程为，设，可得， 因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确. 9．已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B．已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，求出中点的轨迹方程为，转化为利用圆外一点到圆上一点距离的最大值即可求解；对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，写出四边形面积的表达式，利用基本不等式即可求解；对于C，利用切点弦公式求出直线的方程即可求解；对于D，设出切线方程，结合韦达定理写出的表达式即可求解． 【详解】对于A，设中点为，则，且， 故，所以点的轨迹为， 又直线到圆心的距离， 故点到直线距离的最大值，A错误； 对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为， 则，，， 故四边形的面积 当时等号成立，故四边形的面积的最大值为5，B正确 对于C，设，则，设切点， 由于直线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线的方程为，即， 又因为在圆上，故，故切线的方程为， 当时，，切线方程为，上式亦成立， 因此切线的方程为， 又由在切线上可得， 同理，， 所以满足，所以直线的方程为， 代入，得，， 由可得，因此直线过定点，C正确； 对于D，设，设过的切线方程为，即， 则由得，即， 设两根为（两条切线斜率），则， 把代入切线方程可得， 故， 因此， 当时等号成立，故的最小值为，D正确． 三、填空题 10．已知复数满足的最小值为___________ 【答案】1 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案. 【详解】设复数在复平面对应点 . ：点在以原点为圆心，半径的圆及其外部. ：点到定点的距离. 原点到点的距离：. 定点在圆内部，所以圆外（含圆周）上点到的最小距离 . . 11．已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】过点作于点，在中根据得到，结合求出的范围，最后利用两点间距离公式建立不等式计算求解. 【详解】由题可知圆心，半径， 过点作于点，连接， 在中，，所以， 又，所以， 又在直线上，所以， 所以， 所以， 解得，所以的取值范围是. 12．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】变形得到式子的几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】由配方得,则圆心为，半径为, 因可以看作圆上的点 到直线的距离与它到点的距离比值的2倍， 而圆心到的距离为，则直线与圆相交， 且圆心在直线上方， 过点作于点，则，即， 由图知，当过点的直线与圆相切于点，且点在第一象限时，取得最大值， 此时取到最大值， 设直线的方程为， 将其与联立得， 由得，结合图形应取， 将代入，得，解得， 再将代入中得，则切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 四、解答题 13．已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 14．已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1). (2)16 (3) 【分析】(1)设动点，依据的距离等式，两边平方化简整理，即可求得动点的轨迹圆的方程； (2)设，写出的坐标表达式，求和后结合圆方程消去，转化为关于的一次函数，利用的取值范围求最值，再计算最值之差； (3)假设轴上存在定点，联立直线与圆的方程，由韦达定理得到两根之和、两根之积，代入斜率条件化简，求解参数并验证，判断定点是否存在. 【详解】（1）设，由，，， 得， 两边平方：， 展开：， 整理得：， 所以圆的方程为. （2）设，由，，， ， ， ， ， 由点在圆上，，代入得， ， 圆中， 当时，取得最大值； 当时，取得最小值， 最大值与最小值之差为. （3）假设在轴上存在定点满足条件， 设，，联立， ， ，， 由，得， ，，当时，约去， ， 通分整理：， ， 代入，后两边同乘：， 化简，即，解得， 当时，直线与圆交于， 也满足，所以存在定点满足题意. 15．在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．已知，满足方程，记其构成的平面图形为，，，为平面图形上不同的三点，点在平面图形的内部． (1)求的值及的最小覆盖圆的方程； (2)求的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形的最小覆盖圆的半径． 【答案】(1)，（或写成） (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，利用锐角三角形的最小覆盖圆为外接圆即可求解； （2）利用钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆即可求解； （3）根据题意可得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为点在曲线：上，所以，解得． 又与是不同的点，所以，即．     , 因为，， 所以，故为锐角，而, 所以为锐角三角形，则其最小覆盖圆为的外接圆 当以的外心为圆心时，由的斜率为，可得的方程为， 易知的中垂线方程为，由得即， 此时外接圆的半径为．     所以的最小覆盖圆的方程为（或写成）． （2）在中，． ， 所以为钝角三角形，其最小覆盖圆是以为直径. 则以为圆心， 所以的最小覆盖圆的方程为． （3）设是平面图形上一点， 则（）．     当，即时，．     因为平面图形关于原点中心对称，所以平面图形的最小覆盖圆的半径为． 1 / 75 学科网（北京）股份有限公司 $