专题05 圆的切线与切点弦问题（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆的切线与切点弦问题 题型归纳 题型一切线方程的求解 题型二切线长与四边形面积的最值 题型三两切线的夹角与垂直 题型四切点弦的方程 题型五切点弦方程的应用 题型专练 题型一：切线方程的求解 1.已知点P0,2是圆C:(x+22+(y-1?=m上一点，则过点P且与圆C相切的直线的方程为() A.2X+y-2=0 B.2x-y+2=0 C.x-2y-2=0 D.X+2y-2=0 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得值，根据圆的几何性质可得过点P的直线1与直线CP垂直，根 据斜率的关系，求出直线的斜率，即可得答案 【解析】因为点P0,2在圆C:(x+22+(y-12=m上， 所以(0+2)2+(2-1}=m,解得m=5,即圆c的方程为x+2}+(y-1}=5, 2-11 则圆心(-2，，所以直线CP的斜率k02号 则过点P与圆C相切的直线的斜率为一2， 所以直线l的方程为y-2=-2(x-0),即2x+y-2=0. 1/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.过圆C:x2+(y+42=25上一点M(3,0)作圆C的切线l,则的方程为() A.4x-3y-12=0 B.4x+3y-12=0 C.3x+4y-9=0 D.3x-4y-9=0 【答案】C -1=-3 【分析】由黑意可得kc从而得4写出直线的点斜式方程，再化成一股式即可 【解析】圆x2+(y+4)2=25的圆心为C(0,-4), -4-04 则直线lcM的斜率kcN=0-3F3 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即l⊥lcM, 所以k,kcM=-1, 1 则切线的斜率k,己=一3 kCM 4' 所以直线的方程为y=- 4x-3), 即3x+4y-9=0 故选：C 3.过点P-2,4作圆O:(x-22+(y-1P=25的切线l,直线m:4x-by=0与直线1平行，则直线l与m 的距离为() A.4 B.2 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.3 12 D.5 【答案】A 【分析】由点斜式求出直线！的方程，根据直线平行及两平行直线间的距离公式可得结果。 4-13 【解析】由条件知点P-2,4到在圆0上，所以直线0P的斜率为2-24心切线！的斜率为3 即直线1方程为y-4=号x+2,整理得：4x-3y+20=0,:直线m:4x-by=0与 0-20 直线1平行，.b=3,∴直线m方程为4X-3y=0,则直线1与m的距离为4+(-3 =4 故选：A. 4.过原点且与圆C:(x-22+(y-1P=5相切的直线的方程为() A.X+2y=0 B.X-2y=0 C.2x+y=0 D.2x-y=0 【答案】C 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【解析】圆C:(x-22+(y-12=5的圆心是(2,1)，半径为r=V5. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为x=0, 圆心到直线的距离是2≠「，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立： 当斜率存在时，设直线方程为：y=kX,即kX一y=0, 风之利线的赛为片6，架=一之 即y=-2x,即2x+y=0. 故选：C 5.过点P(1,2作圆C：x-32+y2=8的切线，则切线方程为 【答案】x-y+1=0 【分析】先验证点P在圆C上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理. 【解析】将点P1,2代入圆C的方程左侧1-32+2=-22+4=8，与右侧相等， 所以点P在圆C上， 由圆C的标准方程x-32+y=8,得圆心C的坐标为3,0， :子号-1所议切装斜率为=1 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以过点P1,2的切线方程为y-2=1·x-1,即x-y+1=0. 6.己知圆C:x+y-1=4,过点PV3,2作圆C的切线L,则1与坐标轴围成的三角形面积为 25V3 【答案】 6 【分析】先判断P在圆上，再结合lcP⊥1，求出k,利用点斜式写出直线方程，找到与坐标轴的交点， 再用三角形面积公式求解即可. 【解析】由题知：圆C的圆心C(0,1),半径r=2, 易知点P只3,2满足圆的方程，故P在圆上， 因为过点P的直线与圆C相切， 故圆心C(0,1)与点P所连直线与直线l垂直， 故有kcp·k,=-1,而kcP三3-0=3，解得k=二3. 根据直线的点斜式可写直线方程为：y-2=-3(x-3). 写成一般式为：3x+y-5=0 则直线1与坐标轴的交点为0,5)和(5 3,0, 所以1与坐标轴围成的三角形面积S= 1×55×5-253 23 6 25V3 故答案为： 6 7.已知圆C:x2+y2-4x+2y-4=0,则过点M4,2且与圆C相切的直线方程为 【答案】y=2或12x+5y-58=0 【分析】分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为y-2=kx-4,利用圆心到直线的距离等于圆的 半径可得出关于k的方程，解之可得出切线的方程 【解析】圆C的标准方程为x-22+y+1=9,该圆圆心为C2,-1,半径为3， 因为4-22+2+12>9，即点M在圆C外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=4,则圆心到该直线的距离为2，不符合题意： 所以切线的斜率存在，设切线的方程为y-2=kx-4,即kx-y+2-4k=0, 2k+1+2-4k_3-2k 由题意可得 k2+1 Vk2+1 =3,整理可得5K+12k=0,解得k=0或k=-1名 51 故所求切线的方程为y-2=0或y-2三-5x-4，即y=2或12x+5y-58=0 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知点A1,-3.若点A关于x+y-1=0的对称点为点M,过M作圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的切 线，则切线的方程是 【答案】x=4或5x+12y-20=0 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点M,分斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程， 利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案。 【解析】圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,即(x-12+(y+2=9, 则圆心C1,-2,半径r=3, 设点A1,-3关于x+y-1=0的对称点为Ma,b, 则线段AM的中点士，23 直线AM的斜率kA=二3-b 1-a a+1+b-3-1=0 a=4 可得 -3-bx(-1)=-1 解得b=0 则点M4,0, 1-a 若直线的斜率不存在，即直线的方程为x=4,此时直线与圆C相切，符合题意： 若直线l的斜率存在，设直线的方程为y=kx-4,即kx-y-4k=0, 故面心C1,-2到且袋的流离d-k整-r=3.解利k=多 V1+k2 此时直线的方程为是×-y+号=0，即5x+12y-20=0, 综上所述，直线1的方程为x=4或5x+12y-20=0, 故答案为：x=4或5x+12y-20=0. 题型二：切线长与四边形面积的最值 1.已知点P在直线x-y+2=0上，过点P作圆x-42+y=2的切线，则切线的长的最小值为() A.2 B.2V3 c.4 D.43 【答案】C 【分析】由已知求出圆心C的坐标及圆的半径r,设切点为A,由PA广=PC-r可知，当PC最小 时，PA取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解PC最小值即可解决问题， 【解析】由已知条件可得：圆心坐标为C4,0,圆的半径r=V2, 假设直线与圆的切点为A,易知：AP⊥AC 5/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则在△PAC中有PA2+AC2=PC2,即PAP=PC2-AC2=PC2-r2=PC-2 由此可得：当PC最小时，PA取得最小值 因为，当CP11时，PC最小，此时PC=40+2=32.可得：PA-=18-2=16. 只1+1 所以PA的最小值为4. 2.已知直线l:x-y-6=0和圆C:x+y+2x+2y-6=0.若P是直线l上的动点，过P作圆C的一条切 线，切点为M,则PM的最小值为() A.V6 B.V10 c.2V2 D.4 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得 PC=√2t-8t+26,再根据圆的切线性质可得PM=V2t-8t+18,结合二次函数性质即可求得 其最小值 【解析】由圆C:x2+y+2x+2y-6=0,得x+12+y+1}2=8, 故圆心C-1,-1,半径r=2V2 又已知直线：x-y-6=0,点P在直线l上，设点Pt,t-6, 则Pc=t+12+t-52=V2t2-8t+26, 由圆的切线性质可得，lPM=PC-r2=V2t2-8t+18=V2t-22+10≥V10, 当且仅当t=2时，PM取得最小值，最小值为10. 3.已知点P在x2+y2-4x=0上，过点P作圆C:x-52+y-4=1的两条切线，切点分别为A,B,则 四边形PACB面积的最大值为()· A.33 B.35 c.4V3 D.4V5 【答案】C 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】P点在圆上，分析可得，要使四边形PACB面积取到最大，只需PC取得最大值，根据点与 圆的位置关系，分析计算，可求出PCmax,进而可得PAlmax,计算即可得答案。 【解析】设圆x+y2-4x=0的圆心为D,则圆心坐标为D2,0,半径r1=2, 圆C:(x-5P+(y-4)2=1的圆心坐标为C5,4,半径r2=1, 所以点P到圆心C的最大距离为CD+r1=2-5+0-4+2=7, 因为A为切点，所以PA⊥AC, 所以PAmx=PCx-AC=V72-1=43, 所以四边形PACB面积的最大他S=×AC×PA×2=1×43=43 4.已知圆C:x-12+y2=1,过直线3x-4y-13=0上的动点P作圆C的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.3 【答案】B 【分析】连接PC,则有PA2=PC2-r2,当PC最小时，PA最小，则PCmin为圆心C到直线 3x-4y-13=0的距离，从而得到PA的最小值. 【解析】连接PC,则PA=PCP-r2, 当PC最小时，PA最小，又圆C:x-1+y=1的圆心为1,0，半径为r=1, 则PCm-B×14x0-1B=2,故1PA的最小值为2-=3 /32+42 故选：B. 5.若A3,4),圆M:(x-a2+y=2,则过A作圆M的切线，切点为P,则AP的最小值为 【答案】V14 【分析】根据△APM为直角三角形，进而根据AP'=|AMP-|MP求解APP的最小值即可求得 AP的最小值 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】圆M:(x-a?+y2=2,圆心M(a,0),半径r=2, AP是切线，P为切点，由切线性质：MPLAP,△APM为直角三角形， 由勾股定理：|AP=|AM2-MP2,其中MP|=r=V2,|AMP=(a-32+16 所以AP=(a-3P+16-2=(a-32+14 要AP最小，即AP最小，故当a=3时，APmn=14,1A Plmin=/14 所以，AP的最小值为14. 6. 已知圆O:x+y=4,点A是直线3x+y+10=0上的一个动点，过点A作圆O的两条切线AM,AN, 切点分别为M,N,则四边形AMON的面积的最小值为 ;直线MN过定点 【答案】 26 【分析】第一空，|OA=d,结合圆的几何性质推出SAMON=2Vd-4,即可知当OA垂直于直线 3x+y+10=0时，d最小，即可求得答案：第二空，设A(t,-3t-10),表示出以OA为直径的圆的 方程，和圆O:x2+y=4的方程相减，可得直线MN的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标 【解析】由题意过点A作圆O:x2+y2=4的两条切线AM,AN,切点分别为M,N, 连接OM,ON,则OM⊥AM,ON⊥AN, 设OA=d,则AM1=|ANI=Vd-4, 3x+y+10=0 故SAMON=2S6AM0=2×号×d-4x2=2Vd-4 2 当OA垂直于直线3x+y+10=0时，d最小， 10=V10,所以S4M0Nnn=210-4=26, 所以dmm-3+ 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由于点A是直线3x+y+10=0上的一个动点，设点A(t,-3t-10), 线数0A的点设为则P经3D,H0PF-5+50, 2 所似以线段0A为直径为题的方程(x-+(y+3生10-5亡+30+0 2 2 2 即x2-tx+y2+(3t+10)y=0, 将方程x-tx+y2+(3t+10)y=0与x2+y2=4作差可得tx-(3t+10)y-4=0, 即直线MN的方程为tx-(3t+10)y-4=0,可得t(x-3y)-10y-4=0, 6 X=- x-3y=0 由FeR故-10y40 5 y=- 5 因此，直线MN面过定一号，子， 故答案为：26,1一号-昌 5 题型三：两切线的夹角与垂直 1.过点0，-2与圆x-42+y-22=4相切的两条直线的夹角为a,则sina=() 7 B. 4 3 V10 C.4 D. 4 【答案】B 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【解析】设A0,-2,圆x-4+y-22=4的圆心为C4,2,半径r=2,两切点为D,E, 如下图所示，则∠DAE=c=2∠DAC, 易知|AC=4-02+2+2=42,AD=AC2-DC=27, AC42,0s∠DAC=1AD27 ·sin∠DAc=CD2 AC 42 即sinc=sin2∠DAC=2sin∠DACcos∠DAC=2×_2 x277 4V24V24 故选：B 9/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.直线l1和l2是圆x+y=3的两条切线，若l1与2的交点为2,4，则l1与l2的夹角的正切值等于 V51 【答案】 7 【分析】先设出过点2,4的切线斜率为k,结合圆心到切线的距离等于半径得到关于k的方程，再利用 两直线夹角公式计算夹角的正切值： 【解析】易知两条切线的斜率均存在，设过点2,4的圆的切线方程为y-4=kX-2,整理为一般式 得kx-y+4-2k=0, 圆x+y=3的圆心为0,0，半径r=V3,由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径， 4-2k=3】 即 Vk2+1 将上式两边平方得4-2k2=3k2+1,展开整理得k2-16k+13=0, 设两条切线的斜率分别为k1,k2,由韦达定理得k1+k2=16,k1k2=13, 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为0，则ta0= k1-k2 1+k1k2 其中k1-k2=k1+k22-4k1k2=162-4×13=2V51, 2V51_ 51 代入得tan0= 1+13 7 3.若过点2,1作圆x2+y2-x+y+a=0的切线有两条，则a的取值范围是() B. -00,2 c.-,-4 .-42 【答案】D 〔解析)X+y-x+y+a=0的标准方程为x一号 idysi-o. 2 则a>0,解得a< 2 10123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点2,1作圆x2+y2-x+y+a=0的切线有两条，点2,1在圆外， 点2,1到圆心 的距离大于圆的半径， 解得a∈ 4.已知圆0：x+y=4,过点P0,-4作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为() 2π 元 A.3 B.6 c 0.3 【答案】D 【解析】如图，设过点P的切线与圆的切点分别为A,B,连接OA,OB, 8得<AP82∠AP0,在△PA0中，m∠AP08-子-则∠AP0 6】 故这两条切线的夹角为∠APB=2∠APO= 3 V 5.过点(0,3)与圆（x+3+y2=4相切的两条切线的夹角为0，则cos0=() 7 B.3 2V14 c.9 D. 9 【答案】C 【分析】依题意可得圆心为C-3,0,半径r=2,设P0,3,切点分别为M、N,即可得到 CM⊥PM且∠MPC=∠NPC,求出sin∠MPC,再由二倍角公式计算可得. 【解析】圆(x+3)2+y2=4的圆心为C-3,0,半径r=2,设P0,3, 过点PO,3的圆C的切线的切点分别为M、N,连接PC、CM、CN, 11/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 则CM⊥PM且∠MPC=∠NPC, PC=3+0-3=32,IMC=2,所以sin∠MPC=lMC=2 |Pc32 所以cos6=cos2∠MPC=1-2sin2∠MPC=1-2× 3V2 故选：C 6.已知圆O:x+y=4,动点P在直线x+y-4=0上，过点P向圆O引两条切线，A,B为切点，则 OP·AB的最小值为() A.4 B.4V2 C.8 D.8V2 【答案】C 【分析】由题设结合S四边形0APB=S△PA0+S△PB0得到OP‖AB=4OP2-4即可求解 【解新】由题可得圆心0到直线x+y-4=0的距离为d2=22>2 所以直线与圆相离，由题意可知AB⊥OP,OA⊥PA,OB⊥PB,PA=PB,OA=OB=2, △PAO与△PBO全等， 所以由Sg骑oAPB=SPAO+S△PBo得OPAB=OAPA+号OBPB), 则|oP川AB=2lPA+PB=4PA=4oPP-OA2=4oP2-4≥4222-4=8. V 故选：C 12123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知点P在直线l:3x+4y+3=0上，过P作圆M:x+y-6x-4y+9=0的两条切线，切点为A, B,则∠APB的最大值为 【答案】60兮 【分析】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【解析】圆M化为标准形式为x-32+y-22=4,圆心M3,2,半径r=2. 心M到直线的距离为d33+4文2十3=4>2，即直线与圆相 932+42 因为ALAP,故sin∠MPA=AM=2 PMPM 故当MP⊥l时，MP最小，此时∠MPA最大，则∠APB=2∠MPA也取得最大值.， 此时sin∠MPA=子-)》所以∠MPA=30,所以∠APB=2∠MPA=60o 故答案为：60° 题型四：切点弦的方程 1.若过点P3,4向圆O:x+y=5引两条切线，切点分别为A,B,则O到直线AB的距离为() 1 A.2 B.1 c.2 D.2 【答案】B 【分析】设点A、B的坐标，结合点A、B在直线PA、PB上，也在圆上，列出式子，化简得到直线 AB的方程，再利用点到直线的距离公式求解。 【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2,易知直线PA,PB的斜率存在，所以直线PA的方程为 y-4=-x-31. 因为点A在直线PA上.所以y,-4=-义x-3,即-4y,=X+3X y 又因为点A在圆0上，所以x1+y=5,所以y1-4y1=-x+3x1可化为3x1+4y1-5=0, 同理，3X2+4y2-5=0, 所以直线AB的方程为3x+4y-5=0, 13123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则O到直线AB的距离d= 0+0-5=1 V32+42 故选：B 2.过点P0,2作圆C:x2-4x+y+3=0的两条切线，设切点为A,B,则切点弦AB的长度为() A.V14 14 B. 2 9V14 914 C.4 D.7 【答案】B 【分析】先求PC以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【解析】圆C:x2-4x+y+3=0,即x-22+y2=1, 易知PC=2V2,圆C的半径r=1,所以切线长PA=PB=V7. 所以四边形PACB的面积为SPACB=2×号×7×1=7. 所以根据等面积法知：SPACBT=7=号×PClxABI, 所以AB=4 故选：B. 3.过点M0,-4作圆C:x2+y+2x-6y+6=0的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为 () A.2X-y+3=0 B.x-7y+18=0 c.2x-5y+5=0 D.x+5y+5=0 【答案】B 【分析】根据题意，可知圆x+y+2x-6y+6=0的圆心为C-1,3,半径r=2,由切线长公式求出 MA的长，进而可得以M为圆心，MA为半径为圆，则AB为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆 的方程，两方程作差后计算可得答案. 【解析】根据题意，可知圆x+y2+2x-6y+6=0的圆心为C-1,3,半径r=2, 过点M0,-4作圆x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，设切点分别为A、B, 而MC=1+7=5V2,则MA=/Mc2-4=V46, 则以M为圆心，MA为半径为圆为x2+y+4=46,即圆x2+y2+8y-30=0, 14123 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以AB为两圆的公共弦所在的直线，则有 x2+y2+2x-6y+6=0 x2+y2+8y-30=0 作差变形可得：x-7y+18=0: 即直线AB的方程为x-7y+18=0. 故选：B 4.已知圆C的方程为x2+y2=9,过直线3x-y+5=0上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离 ,24 为5，则点P的坐标为 【答案】(0,5)或(-3，-4 【分析】先通过弦长公式计算圆心到切点弦的距离，再利用射影定理求出点P到原点的距离，结合P在 已知直线上列方程求解坐标。 【解析】记圆C的圆心为O(0,0),半径r=3,设两切点为A,B,AB的中点为Q. VA 由弦长格质可知0Q1AB,AQ=AH=号 由勾股定理得：10Q1=0A-1AQ=3-(号=9- 44_9 255 因为PA,PB是圆O的切线，故OA⊥PA, 由射影定理可得0AP=OQ1OP1,代入得：9=号10PL,所以1OP=5 5 设P(x,y),因P在直线3x-y+5=0上，故y=3x+5, 又0P|=5,所以x2+y2=25, 联立解得x=0,y=5或x=-3,y=-4 经验证两点均满足作圆C两条切线的条件，故点P的坐标为0,5)或(-3，-4)】 5.过点A-1,0作圆C:x-12+y-22=1的两条切线，设切点为P,Q,则线段AP的长为 【答案】V7 【解析】 15/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图示，由已知得|AC=-1-12+0-2?=2V2,|CP=1,且CP1AP, 则AP=AC2-|CP=V22-12=7,即线段AP的长为V7 6.过点P5,3作圆C:x-1+y=9的切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为 【答案】4x+3y-13=0 CP 【分析】根据切线的性质易判断A,B,C,P四点共圆，且圆心为PC中点，半径为2， 进而可以 求出新的圆的方程，直线AB即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【解析】由题意知，圆心C为1,0，半径r=3,点P在圆C外面， 由切线的性质定理可知，CA⊥PA,CB⊥PB,即∠PAC=∠PBC=90°， 所以点A,B在以PC为直径的圆上，即A,B,C,P四点共圆，且圆心为PC中点，半径r1= CP 2 3 设圆心为D,根据中点坐标公式，则D为3， 半径r1 V5-12+3-02_5 2 所以圆D的方程为x-3P+y-32=25 2 43 因此直线AB即为圆C与圆D公共弦AB所在的直线，方程为两个圆方程的差， 化简得4x+3y-13=0, 所以直线AB的方程为4x+3y-13=0 7.己知圆C:x-1P+y-2?=9外一点P-4,2,过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B,则直线 AB的方程为 【窃案1X=青 【分析】由二级结论：若点Mx,yo在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M1,M2,则切点弦（两 切点的连线段)所在直线的方程为x一ax。一a十y一by,一b=r2(圆的方程为 x-a2+y-bP=r2),代入即可的直线AB的方程. 16123 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】由题意，切点弦AB所在直线的方程为： -4-1x-1+2-2y-2=9, 化简得：x=-4 故答案为：X= 5 题型五：切点弦方程的应用 1.设点P为直线1：2x+y-4=0上任意一点，过点P作圆O:x+y=1的切线，切点分别为A,B,则 直线AB必过定点() 11 11 A.4'2 B. 2’4 c 0 21 【答案】B 【分析】根据题意，设P(m,n)为直线l:2x+y-4=0上的一点，由切线的性质得点A、B在以OP为 直径的圆上，求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB的方程，将其变形分析可得直线AB恒 过的定点 【解析】如图，连接OA,OB, VA 根据题意，设P(m,n)为直线l:2x+y-4=0上的一点，则2m+n-4=0, 由于PA,PB为圆O的切线，则有OA⊥PA,OB⊥PB, 则点A、B在以OP为直径的圆上， 以0P为直径的四的圆心为受 半径r=10P=9m+n 2 m 则其方程为x一 m+y-号=m+n 4, 变形可得x2+y2-mx-ny=0, 17123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+y2=1 联立x2+y2-mx-ny=0 可得直线AB:mx+ny-1=0, 又由2m+n-4=0,则有AB:mx+(4-2m)y-1=0, 变形可得m(x-2y)+4y-1=0, x-2y=0 11 则有4y-1=0 解可得x子， 4故直线AB恒过定点24 故选：B 2.已知点A-4,0,Pa,Q+4,圆O:x2+y2=4,直线PM,PN分别与圆0相切，切点为M,N若 MR=RN,则AR的最大值为() A.2V2 B.3V2 c.4V2 D.4 【答案】B 【分析】推导可得在圆O:x+y=4上任意一点的切线方程，代入P点坐标可得直线MN方程，从而确 定直线MN恒过定点(-1,1，结合垂直关系可确定R点轨迹为圆，利用圆上点到定点距离最大值的求 法可求得结果。 【解析】由圆O方程可得：圆心O0,0,半径r=2, 若Tx,y0为圆0：x2+y=4上一点，则x+y6=4, 当kor存在且kor≠0时，在点T处的切线斜率k=-1=-如 koT yo ∴在点T处的切线方程为：y-y,=-x-x,整理可得：Xx+yy=X+y=4: yo 当kor不存在或kor=0时，T0,±2或T±2,0，此时在点T处的切线方程满足xx+yoy=4: ∴.在圆O:x2+y2=4上任意一点x0,yo处的切线方程为X0X+yoy=4: M x1,y1,N x2,y2,PM:X1x+y1y=4,PN:X2x+y2y=4, ax1+a+4y1=4 将Pa,a+4代入直线PM,PN方程可得： ax2+a+4y2=4 ∴.点M,N坐标满足直线ax+a+4y=4的方程， 即直线MN方程为：ax+a+4y=4,即x+ya+4y-4=0, x+y=0 令4y40解得：X=-1,y=1,六直线MN恒过定点Q-1,1 .MR=RN,∴.R为线段MN中点，∴.OR⊥MN,即OR⊥RQ, 18123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.R点轨迹是以OQ为直径的圆，又O,Q中点为S 11 V2 ∴.R点轨迹是以S 22为圆心，2为半径的圆， 故选：B. 3.已知圆M:x2+(y-2P=1,Q是x轴上动点，QA,QB分别是圆M的切线，切点分别为A,B两点，则 直线AB恒过定点 。 【0,引 【分析】先设Qa,0,然后求出直线AB的方程，计算定点即可. 【解析】设Qa,0,Ax1,y1,Bx2,y2,易知M0,2 MA=x,y1-2,MB=x,y2-2),MQ=(a,-2) 由平面向量数量积的几何意义可知，MA·MQ=1,MB·MQ=1 ax1-2y1-2=1 所以有 ax2-2y2-2=1 所以点A,B在直线ax-2y-2=1上 故直线AB的方程为ax-2y+3=0,过定点0,2 3 故答案为： o. 4.已知点P在直线2x-3y-6=0上运动，过点P作圆O:x2+y2=4的切线，切点为A,B,直线AB过定 点一 19123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 32 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标 【解析】设P(x,yo,则2x,-3y,-6=0, 过点P作圆O:x2+y2=4的切点弦AB方程为Xox+yoy=4, Xox+yoy=4 联立2x,-3y。6=0得3x+2y%+6x-8=0, 3x+2y=0 4 6X-8=0时，即x=3y=-2,无论如何变化。 3x+2yy。+6x-8=0恒等于0，所以直线AB过定点 5.已知圆C:x2+y=4,点P为直线x-2y=8上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点， 则直线AB经过的定点坐标为· 【答案】 2-1 【分析】设出P点坐标，得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线AB的方程， 再由直线系方程求解。 【解析】圆C:x2+y=4的圆心为O0,0,设P2a+8,a, 则以OP为直径的圆的方程为x- 2a+8 +y-a*2a+8r 即x+y2-2a+8x-ay=0 又圆C:x2+y2=4,代入上式可得4-2a+8x-ay=0,即ay+2a+8x-4=0 0y2+8x-=0.92=80解号 y=-1 1 所以直线AB经过定点2,1 20123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.设圆C:x-1P+y-12=3,直线l:x+y+1=0,P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA,PB, 切点分别为A,B,则直线AB过定点 【答案】0,0 【分析】设Px,-1一x,,进而求得以PC为直径的圆的方程，并与圆C的方程作差即可得直线AB 的方程，再根据方程判断定点问题即可」 【解析】由题可设Px,一1-x,,则以PC为直径的圆的圆心为 x0+1X0 2 2 半径为 x1旷2. 所以以川PC为直径的圆的方程为X-+1 Xo 22x+2x+5 V+ ，化简得 2 x+y-Xox-x+Xoy=1, 所以AB为圆C和以PC为直径的圆的公共弦， x-12+y-12=3 联立可得 x2+y2-xox-x+xoy=1 两式相减可得x-Xox+xoy+2y=0,即 xx-y)-(x+2y)=0. 因该式对任查成立，数20解得定点为0.0。 故直线AB过定点0,0」 故答案为：0,0 7.已知直线：y=kx+2交y轴于点P,圆M:x-2P+y=1,过点P作圆M的两条切线，切点分别为 A,B,直线AB与MP交于点C,给出下列四个结论： ①若直线与圈M相切，则k=± 159 ②当k=2时，四边形PAMB的面积为219： ③直线AB经过一定点： ④已知点Q ,0,则CQ为定值： 其中正确结论的序号是 【答案】①③④ 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出k即可判断①：根据k求出P0,4,进而求出 |PM,根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果判断②根据相切可知A,M,B,P四点共圆，且PM为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方 程，进而判断③；根据直线AB过定点及PM⊥AB可得∠MCN=90°，即C在以MN为直径的圆上， 求出圆的方程可发现圆心为点Q,即可判断④. 4k) 【解析】解：对于①，若直线1与圆M相切，则圈心到直线的距离十衣1， 解得k=士 V15 15， 所以①正确： 对于②，当k=2时，P0,4,M2,01,PM=16+4=2V5 因为PA,PB为圆的两条切线，所以∠PAM=∠PBM=90°， 所以四边形PAMB的面积S=2 SAPAM=AM小PA=1·PM}-1=V19, 所以②错误： 对于③，因为P0,2k,M2,0,且∠PAM=∠PBM=90°， 所以A,M,B,P四点共圆，且PM为直径， 所以谈贾圆6为1，k.半径为4牛4-1+农 2 所以圆的方程为：x-12+y-k2=1+k2, 因为AB是该圆和圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为两圆方程相减， 即x-12+y-k-x-22-y2=1+k2-1, 化简可得：AB:-2x+2ky+3=0, 所以直线AB经过定点N号， 所以③正确： 对于④，因为PM⊥AB,所以∠MCA=90°， 因为N 3 0在直线AB上，所以∠MCN=90 即点C在以MN为直径的圆上，因为M2,O,N 1 所以圆心为 .0 ,半径为V4-1, 24 所以圆的方程为： 圆心为Q子，0 22123 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为点C在该圆上，所以CQ-子为定值子 所以④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④ 故答案为：①③④ 珠 2 B 23123面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆的切线与切点弦问题 题型归纳 题型一切线方程的求解 题型二切线长与四边形面积的最值 题型三两切线的夹角与垂直 题型四切点弦的方程 题型五切点弦方程的应用 题型专练 题型一：切线方程的求解 1.A 2.C 3.A 4.C 5.x-y+1=0 253 6. 6 7.y=2或12x+5y-58=0 8.x=4或5x+12y-20=0 题型二：切线长与四边形面积的最值 1.C 2.B 3.C 4.B 5.9V14 626-号 题型三：两切线的夹角与垂直 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B V51 2.7 3.D 4.D 5.C 6.C 7.6076 题型四：切点弦的方程 1.B 2.B 3.B 4.(0,5)或(-3，-4） 5.7 6.4x+3y-13=0 4 7.X=- 题型五：切点弦方程的应用 1.B 2.B 心 3.0 4. 5. 6.0,0 7.①③④ 212可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆的切线与切点弦问题 题型归纳 题型一切线方程的求解 题型二切线长与四边形面积的最值 题型三两切线的夹角与垂直 题型四切点弦的方程 题型五切点弦方程的应用 题型专练 题型一：切线方程的求解 1.已知点P0,2是圆C:(x+22+(y-1?=m上一点，则过点P且与圆C相切的直线的方程为() A.2X+y-2=0 B.2x-y+2=0 C.x-2y-2=0 D.x+2y-2=0 2.过圆C:x2+(y+4)2=25上一点M(3,0)作圆C的切线L,则l的方程为() A.4x-3y-12=0 B.4x+3y-12=0 C.3x+4y-9=0 D.3x-4y-9=0 3.过点P-2,4作圆0：(x-22+(y-12=25的切线L,直线m:4x-by=0与直线平行，则直线与m 的距离为() A.4 B.2 号 4.过原点且与圆G:(x-22+(y-12=5相切的直线l的方程为() A.X+2y=0 B.x-2y=0 C.2x+y=0 D.2x-y=0 5.过点P1,2作圆C:x-32+y2=8的切线，则切线方程为 6.已知圆C:x2+y-12=4,过点P3,2作圆C的切线L,则l与坐标轴围成的三角形面积为 7.已知圆C:x2+y2-4x+2y-4=0,则过点M4,2且与圆C相切的直线方程为 115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知点A1,-3.若点A关于x+y-1=0的对称点为点M,过M作圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的切 线，则切线的方程是 题型二：切线长与四边形面积的最值 1.已知点P在直线x-y+2=0上，过点P作圆x-42+y=2的切线，则切线的长的最小值为() A.2 B.23 C.4 D.4V3 2.已知直线：X-y-6=0和圆C:x2+y+2x+2y-6=0.若P是直线l上的动点，过P作圆C的一条切 线，切点为M,则PM的最小值为() A.6 B./10 c.2V2 D.4 3.己知点P在x2+y2-4x=0上，过点P作圆C:x-5+y-4}=1的两条切线，切点分别为A,B,则 四边形PACB面积的最大值为() A.3V3 B.3V5 c.4V/3 D.4V5 4.已知圆C:x-1P+y2=1,过直线3x-4y-13=0上的动点P作圆C的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.3 5.若A3,4,圆M:x-a+y=2,则过A作圆M的切线，切点为P,则AP的最小值为 6.已知圆O:x+y=4,点A是直线3x+y+10=0上的一个动点，过点A作圆O的两条切线AM,AN, 切点分别为M,N,则四边形AMON的面积的最小值为 ;直线MN过定点 题型三：两切线的夹角与垂直 1.过点0，-2与圆x-42+y-2=4相切的两条直线的夹角为a,则sina=() 6 7 A. 4 B.4 V10 C.4 D. 4 2.直线l1和l2是圆x+y=3的两条切线，若l1与2的交点为2,4，则l1与l2的夹角的正切值等于 3.若过点2,1作圆x2+y2-x+y+a=0的切线有两条，则a的取值范围是() 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.. c.m,-4u2+ 4, 4.已知圆0：x+y=4,过点P0,-4作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为() 2π A.3 B.6 C.4 D.3 5.过点(0,3)与圆(x+3+y2=4相切的两条切线的夹角为0，则cos0=() 2 V7 A.3 8.3 5 29/14 c.9 D. 9 6.已知圆0：x+y=4,动点P在直线x+y-4=0上，过点P向圆O引两条切线，A,B为切点，则 OPAB的最小值为() A.4 B.42 C.8 D.8V2 7.已知点P在直线l:3x+4y+3=0上，过P作圆M:x+y2-6x-4y+9=0的两条切线，切点为A, B,则∠APB的最大值为 题型四：切点弦的方程 1.若过点P3,4向圆O:x+y2=5引两条切线，切点分别为A,B,则O到直线AB的距离为() 1 A.2 B.1 c.2 D.2 2.过点P(0,2作圆C:x2-4x+y+3=0的两条切线，设切点为A,B,则切点弦AB的长度为() A.V14 /14 B.2 14 V14 C.4 0.7 3.过点M0,-4作圆C:x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为 () 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2X-y+3=0 B.x-7y+18=0 c.2x-5y+5=0 D.x+5y+5=0 4.已知圆C的方程为x2+y2=9,过直线3x-y+5=0上一点P作圆C的两条切线，若两切点之间的距离 为学则点P的驰标为 5.过点A-1,0作圆C:x-1?+y-22=1的两条切线，设切点为P,Q,则线段AP的长为 6.过点P5,3作圆C:x-1P+y2=9的切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为 7.已知圆C:x-12+y-2=9外一点P-4,2,过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B,则直线 AB的方程为 题型五：切点弦方程的应用 1.设点P为直线1：2x+y-4=0上任意一点，过点P作圆O:x+y2=1的切线，切点分别为A,B,则 直线AB必过定点() o1 2.已知点A-4,0,Pa,a+4,圆O:x2+y2=4,直线PM,PN分别与圆O相切，切点为M,N.若 MR=RN,则AR的最大值为() A.2V2 B.3V2 c.42 D.4 3.已知圆M:x2+(y-2=1,Q是x轴上动点，QA,QB分别是圆M的切线，切点分别为A,B两点，则 直线AB恒过定点 4.已知点P在直线2x-3y-6=0上运动，过点P作圆O:x2+y2=4的切线，切点为A,B,直线AB过定 点 5.已知圆C:x2+y2=4,点P为直线X-2y=8上一动点，过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点， 则直线AB经过的定点坐标为一 6.设圆C:x-12+y-1=3,直线：x+y+1=0,P为上的动点，过点P作圆C的两条切线PA,PB, 切点分别为A,B,则直线AB过定点 7.已知直线：y=kx+2交y轴于点P,圆M:x-2+y2=1,过点P作圆M的两条切线，切点分别为 A,B,直线AB与MP交于点C,给出下列四个结论： 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若直线与圆M相切，则k=± 15 159 ②当k=2时，四边形PAMB的面积为219： ③直线AB经过一定点： ④已知点Q 则CQ为定值； 其中正确结论的序号是一； 5/5