专题4.5 增长速度的比较（高效培优讲义）（4大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题4.5 增长速度的比较 教学目标 1．理解平均变化率的概念、几何意义，能计算函数在给定区间的平均变化率，知晓其正负与意义; 2．掌握一次、指数、对数、幂函数的增长特点，明确各类函数增长速度的差异; 3．能结合增长趋势比较不同函数模型，解决简单的函数增长速度相关问题 教学重难点 1.重点 四类函数的增长特征及差异；区间上指数、对数、幂函数的增长速度关系。 2.难点 理解“存在使时”的结论，灵活选择函数模型。 知识点01 平均变化率的概念 对于函数，若取定义域内两个不相等的点和，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间（或）上的平均变化率为 【即学即练】 1．函数在上的平均变化率为______. 2．函数在区间上的平均变化率为___________. 知识点02 平均变化率的几何意义 函数在区间上的平均变化率表示函数图象上过点和点的直线的斜率． 【即学即练】 1．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 2．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且． (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，比较的大小． 知识点03 增长速度的比较 1． 四类函数模型的增长特点 （1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。 （2）指数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。 （3）对数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。 （4）幂函数模型（）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 在区间上，尽管函数，和都是增函数，但增长速度不在同一“档次”． 随着x的增大，的增长速度越来越快，最终会远超 的增长速度则持续变慢． 因此，总会存在某个，当时，就有． 【即学即练】 1．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最慢的是（   ） A． B． C． D． 2．对于任意，不等式都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 求函数的平均变化率 【典例1-1】（2026·高一·辽宁辽阳·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·全国·期末）已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·福建福州·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D．2 【变式1-2】（2026·高二·甘肃武威·期中）函数在区间上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 题型02 四类函数模型增长差异的比较 【典例2-1】“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ） A．指数函数 B．对数函数 C．幂函数 D．二次函数 【典例2-2】当x充分大时，下列函数增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（039限时小练31不同函数增长的差异高中数学必修第一册�RA）图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 题型03 相同函数在不同区间上变化率的比较 【典例3-1】已知，函数，则下面结论中正确的有__________.（填上所有正确结论的序号） ①函数在区间上的平均变化率总是大于； ②函数在区间上的平均变化率总是小于； ③函数在区间上的平均变化率随着的增大而增大； ④函数在区间上的平均变化率随着的增大而减小. 【典例3-2】已知函数，分别计算函数在区间与上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 【变式3-1】已知某一细菌分裂的个数随时间t（单位：s）的变化满足函数关系式，其中，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？ 【变式3-2】已知函数. （1）求在区间与上的平均变化率； （2）记，判断直线AB与直线BC斜率的相对大小. 【变式3-3】求在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加1个单位时函数值的变化情况. 题型04 不同函数在相同区间上变化率的比较 【典例4-1】已知函数，，，分别计算这三个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小. 【典例4-2】已知函数，分别计算这两个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小. 【变式4-1】比较函数与在区间上的平均变化率的大小. 【变式4-2】已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率． 1．（2026·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 2．（2026·高一·云南昭通·阶段检测）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则由图象可得，依次对应的函数为（    ） A． B． C． D． 4．当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·宁夏石嘴山·期末）根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 8．（2026·高一·湖北咸宁·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ）． A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 10．（多选题）（2026·高一·辽宁盘锦·阶段检测）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 11．（多选题）（2026·高一·广东汕头·期末）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（    ） A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番 B．第5个月时，浮萍面积会超过30 C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值 D．浮萍每月增加的面积都相等 12．（多选题）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 13．四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 14．某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是________．（填序号） 15．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是______． ①；②；③；④． 16．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且. (1)请指示出示意图中曲线分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断的大小． 17．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 1．（2026·高三·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（    ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A． B． C． D． 2．（2026·高一·重庆九龙坡·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 3．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 4．某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： 1.99 3 4 5.1 8 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·全国·单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据: x 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·高二·陕西咸阳·期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·江西·阶段检测）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 8．（多选题）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是 （    ） A．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度有时快于 9．（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（　　） A．函数和的图象可能有两个交点 B．，当时，恒有 C．当时，， D．当时，方程有解 10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期末）在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法正确的是（     ） A．与有两个交点 B．，当时，恒在的上方 C．与有三个交点 D．，当时，恒在的上方 11．（2026·高一·河南焦作·阶段检测）不等式的解集是______. 12．（2026·高一·天津滨海新区·期中）若，函数，，中，增长较快的一个是____________，则使成立的的取值范围是____________. 13．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是______.（参考数据：，） 14．若已知，利用图象可判断出和的大小关系为________． 15．（2026·高一·甘肃兰州·期末）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论： ①当时，甲走在最前面； ②当时，乙走在最前面； ③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为_________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5增长速度的比较 教学目标 1．理解平均变化率的概念、几何意义，能计算函数在给定区间的平均变化率，知晓其正负与意义; 2．掌握一次、指数、对数、幂函数的增长特点，明确各类函数增长速度的差异; 3．能结合增长趋势比较不同函数模型，解决简单的函数增长速度相关问题 教学重难点 1.重点 四类函数的增长特征及差异；区间上指数、对数、幂函数的增长速度关系。 2.难点 理解“存在使时”的结论，灵活选择函数模型。 知识点01 平均变化率的概念 对于函数，若取定义域内两个不相等的点和，记（，可正可负），（可正、可负、可为0），则该函数在区间（或）上的平均变化率为 【即学即练】 1．函数在上的平均变化率为______. 【答案】8. 【解析】. 故答案为： 2．函数在区间上的平均变化率为___________. 【答案】/ 【解析】函数在区间上的平均变化率为 ， 故答案为： 知识点02 平均变化率的几何意义 函数在区间上的平均变化率表示函数图象上过点和点的直线的斜率． 【即学即练】 1．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且． (1)请指出图中曲线，分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断，，，的大小． 【解析】（1）对应的函数为，对应的函数为． （2）因为，，，， 所以，， 所以，， 从图象上可以看出，当时，， 所以． 当时，， 即． 又因为， 所以． 2．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且． (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，比较的大小． 【解析】（1）是一次函数，对应的函数图像为一条直线，故为对应的函数； 是单调递增且增长速度越来越快的曲线，故为对应的函数； （2），所以， 又因为，所以， 所以， 由图可知当时， 所以， 又因为单调递增，所以， 所以. 知识点03 增长速度的比较 1． 四类函数模型的增长特点 （1）一次函数模型（：呈直线上升趋势，增长速度始终保持不变。 （2）指数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐加快，呈现 “爆炸式增长”。 （3）对数函数模型（）：随自变量增大，函数值增长速度逐渐减缓，增长趋势平缓。 （4）幂函数模型（）：为增函数，且当时，n的值越大，函数值增长速度越快。 2．指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 在区间上，尽管函数，和都是增函数，但增长速度不在同一“档次”． 随着x的增大，的增长速度越来越快，最终会远超 的增长速度则持续变慢． 因此，总会存在某个，当时，就有． 【即学即练】 1．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最慢的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长差异，对数函数增长速度最慢， 故选：C. 2．对于任意，不等式都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】当时，令，解得，结合函数和的增长速度可知：当时，恒成立； 又的图象恒在图象的上方，即恒成立，则的最小值为1． 故选：A. 题型01 求函数的平均变化率 【典例1-1】（2026·高一·辽宁辽阳·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在区间上的平均变化率为． 故选：D 【典例1-2】（2026·高二·全国·期末）已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 【变式1-1】（2026·高二·福建福州·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率为. 【变式1-2】（2026·高二·甘肃武威·期中）函数在区间上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以在区间上的平均变化率. 故选：B 【变式1-3】（2026·高二·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解析】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 题型02 四类函数模型增长差异的比较 【典例2-1】“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ） A．指数函数 B．对数函数 C．幂函数 D．二次函数 【答案】A 【解析】由散点图可得，函数图象从左到右呈上升趋势，且增长速度越来越快， 这几个点接近，，，，， 因此，最符合的函数是指数函数 . 【典例2-2】当x充分大时，下列函数增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】比较一次函数、指数函数与对数函数、二次函数可知，指数函数增长速度最快．故答案为：A 【变式2-1】（2026·高一·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 【变式2-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 【变式2-3】（039限时小练31不同函数增长的差异高中数学必修第一册�RA）图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【答案】B 【解析】由图易知C错误；函数的图象增长速度越来越快，的图象增长速度一直不变，均匀增长，故A错误，B正确． 题型03 相同函数在不同区间上变化率的比较 【典例3-1】已知，函数，则下面结论中正确的有__________.（填上所有正确结论的序号） ①函数在区间上的平均变化率总是大于； ②函数在区间上的平均变化率总是小于； ③函数在区间上的平均变化率随着的增大而增大； ④函数在区间上的平均变化率随着的增大而减小. 【答案】②④/④② 【解析】， 因为，所以，所以①错误，②正确. 又当时，随着的增大而减小，随着的减小而减小， 所以随着的增大而减小，所以③错误，④正确， 故答案为：②④. 【典例3-2】已知函数，分别计算函数在区间与上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律. 【解析】因为， 所以在区间上的平均变化率为； 在区间上的平均变化率为. 不难看出，当自变量每增加1个单位时， 区间的左端点值越大，函数值增加越快. 【变式3-1】已知某一细菌分裂的个数随时间t（单位：s）的变化满足函数关系式，其中，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？ 【解析】细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为； 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为； 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为． 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快． 【变式3-2】已知函数. （1）求在区间与上的平均变化率； （2）记，判断直线AB与直线BC斜率的相对大小. 【解析】（1）在区间上的平均变化率为： . 在区间上的平均变化率为： （2） 【变式3-3】求在任意区间上的平均变化率，并说明自变量每增加1个单位时函数值的变化情况. 【解析】在任意区间上的平均变化率为 . 自变量每增加1个单位时，函数值增加5，原因如下： . 题型04 不同函数在相同区间上变化率的比较 【典例4-1】已知函数，，，分别计算这三个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小. 【解析】因为，， ， 又因为时，有，， 因此在区间上，的平均变化率最大，的最小. 【典例4-2】已知函数，分别计算这两个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小. 【解析】在区间上的平均变化率为. 在区间上的平均变化率为. 由于，故在区间上的平均变化率比的小. 【变式4-1】比较函数与在区间上的平均变化率的大小. 【解析】在区间上的平均变化率为； 在区间上的平均变化率为： . ， 在区间上的平均变化率比在区间上的平均变化率小. 【变式4-2】已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率． 【解析】函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 1．（2026·广东·模拟预测）某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【解析】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 2．（2026·高一·云南昭通·阶段检测）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为一次函数，为对数函数，为幂函数，为指数函数， 指数函数，当时呈爆炸式增长，当x足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：D. 3．若函数，则由图象可得，依次对应的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象可得，为正比例函数，则对应函数为； 为对数型函数，则对应函数为； 为指数型函数，则对应函数为． 故选：B. 4．当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为指数函数，为二次函数，是对数函数， 是一次函数， 因为当足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：A 5．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 6．下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数先慢后爆炸性增长，对数函数先快速增后慢慢增，幂函数一直再增，后面没有变慢，一次函数匀速增加. 故选：B. 7．（2026·高一·宁夏石嘴山·期末）根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D. 故选：C 8．（2026·高一·湖北咸宁·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据一次函数、幂函数、对数函数、指数函数的增长差异性，增长最快的是指数函数． 故选：A 9．（多选题）（2026·高一·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【解析】做出三个函数，，的图象， 如图所示： 通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 10．（多选题）（2026·高一·辽宁盘锦·阶段检测）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【答案】ABC 【解析】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 11．（多选题）（2026·高一·广东汕头·期末）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（    ） A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番 B．第5个月时，浮萍面积会超过30 C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值 D．浮萍每月增加的面积都相等 【答案】AB 【解析】由图可知点在函数图象上，所以，即，所以， 所以，故正确； 当时，即，所以正确； 设，，时浮萍面积分别为，，， 所以，，， 所以，所以错误； 第个月比第个月增加，第个月比第个月增加，且， 实际上面积增长的速度越来越快，故错误. 故选：. 12．（多选题）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 【答案】ABC 【解析】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样， 显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点； 所以只有D正确. 故选：ABC 13．四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 【答案】 【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出，四个变量均是从2开始变化，且都是越来越大， 但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快， 可知变量关于呈指数型函数变化. 故答案为：. 14．某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快； 而图象在区间上平行于轴，说明总产量没有变化， 所以第3年后该产品停止生产； 因此只有①③正确. 故答案为：①③. 15．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是______． ①；②；③；④． 【答案】① 【解析】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 16．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且. (1)请指示出示意图中曲线分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断的大小． 【解析】（1）根据指数函数和幂函数的递增变化趋势可知： 对应的函数为，对应的函数为， （2）当时，，两函数图象没有交点， 因为，， ，， 且、均为增函数， 所以，所以， 从图象上可以看出当时，，所以； 当时，，所以； 又因为， 所以． 17．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点、，且．请指出示意图中曲线、分别对应哪一个函数. 【解析】当充分大的时候，指数函数的增长会快于幂函数的增长， 存在，当时，， 所以，对应的函数为，对应的函数为． 1．（2026·高三·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（    ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的数据可知，函数， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C. 故选：A. 2．（2026·高一·重庆九龙坡·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢， 对选项A：增长速度不变，不满足； 对选项B：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项C：时，增长速度越来越大，不满足； 对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足. 故选：D 3．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 【答案】D 【解析】对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误； 对于B，当时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以B错误； 对于C，当时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以C错误； 对于D，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在，当时，总有，所以D正确． 故选：D． 4．某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： 1.99 3 4 5.1 8 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A项增长速度不变，不符合题意； B项增长越来越快，不符合题意； C项，当时，增长越来越快，不符合题意； D项，当时，增长越来越慢，符合题意； 故选：D. 5．（2026·高一·全国·单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据: x 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题中表格数据画出散点图，如图所示， 观察图象，类似于指数函数图象， 对于A，是一次函数，图象是一条直线，所以A错误， 对于B，是以y轴为对称轴的二次函数，所以B错误， 对于C，是对数型函数，由于表中的取到了负数，所以C错误， 对于D，是指数型函数，所以D正确， 故选：D 6．（2026·高二·陕西咸阳·期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷， 即，，， 对于A中，函数，当时，和0.76相差较大； 对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大； 对于C中，函数，当时，和0.4相差较大； 对于D中，函数，当时，，当时，， 当时，和0.76相差0.04， 综合可得，选用函数关系较为近似． 故选：D. 7．（多选题）（2026·高一·江西·阶段检测）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【解析】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 8．（多选题）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是 （    ） A．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度有时快于 【答案】BD 【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示． 对于、B，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快于，故A错误，B正确 对于C，当时，的增长速度不是一直快于的，故C错误 对于D，当时，的增长速度有时快于，故D正确． 故选:BD． 9．（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（　　） A．函数和的图象可能有两个交点 B．，当时，恒有 C．当时，， D．当时，方程有解 【答案】AD 【解析】对于选项,因为，，所以点为函数和图象的交点， 又因为，，且和单调递增， 所以和的图象在区间有一个交点， 当时，函数的增长速度比函数的增长速度要快，则它们的图象不再有交点，故正确； 对于选项, 和在区间上都是单调递增，一次函数保持固定的增长速度， 而对数函数增长的速度越来越慢， 由于的增长慢于的增长， 因此总会存在一个，当时，恒有，故错误； 对于选项,当时，和关于对称， 在直线上方, 在直线下方， 所以不存在使，故错误； 对于选项,时，，则和均过点， 所以方程有解，故D正确. 故选：AD. 10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期末）在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法正确的是（     ） A．与有两个交点 B．，当时，恒在的上方 C．与有三个交点 D．，当时，恒在的上方 【答案】CD 【解析】，，，， ， 则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示： 显然两函数有三个交点，故A错误，C正确， 由图易得当时，恒在的上方，故B错误，D正确， 故选：CD. 11．（2026·高一·河南焦作·阶段检测）不等式的解集是______. 【答案】 【解析】由题意知，原不等式的定义域为. 函数、函数、函数在上均单调递增， 函数、函数在上相交于点，. 函数简图如下： 结合函数图象可知，不等式成立的解集为. 故答案为：. 12．（2026·高一·天津滨海新区·期中）若，函数，，中，增长较快的一个是____________，则使成立的的取值范围是____________. 【答案】 【解析】作出函数，，的图象的示意图如下： 从增长速度看，的增长是由快变慢，是均匀增长，是由慢变快， 故增长较快的一个是； 由图形可得成立的的取值范围是. 故答案为：；. 13．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是______.（参考数据：，） 【答案】 【解析】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 14．若已知，利用图象可判断出和的大小关系为________． 【答案】 【解析】作出和的图象，如图所示： 由图象可知，在内，； 或时，； 在内，；在内，. 故答案为：. 15．（2026·高一·甘肃兰州·期末）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论： ①当时，甲走在最前面； ②当时，乙走在最前面； ③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为_________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）． 【答案】③④⑤ 【解析】，，，，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型，函数图像如图： 当时，,∴命题①不正确； 当时，，∴命题②不正确； 对数型函数的变化是先快后慢，当时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，命题③正确； 结合对数型和指数型函数的图像变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确． 故答案为：③④⑤ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $