4.6 函数的应用(二)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

4.6　函数的应用(二) [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 本节课的重点和难点是掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用，能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. 常见的函数模型 一次函数模型 y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 y=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y=mlogax+n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 y=axn+b(a，b，n为常数，a≠0) 分段函数模型 y= |微|点|助|解| (1)建立函数模型应把握的三个关口 ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口. ②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题. (2)有关增长(衰减)率问题 ①初始值为a，增长率为x，增长n次后的表达式是a(1+x)n. ②熟练应用公式a(1+x)n，特别是增长(衰减)次数，审清如年初、年底等字眼. 基础落实训练 1.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是 (　　) A.-1 B. C.-1 D. 解析：选A　设月平均增长率为x，1月份产量为a，则有a(1+x)11=7a，则1+x=，故x=-1. 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是 (　　) A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 解析：选D　由题图知，该函数可能是y=log2t.故选D. 3.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是　　　　，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a=　　　　.  解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y=6.4(1+a)x. 由题意可知6.4(1+a)3=12.5，所以(1+a)3=，所以1+a=，故a==25%. 答案：y=6.4(1+a)x　25% 题型(一)　指数型函数模型 [例1]　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a. (1)求p%的值； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 解：(1)由题意得a(1-p%)10=，即(1-p%)10=，解得p%=1-. (2)设经过m年森林面积为a，则a(1-p%)m=a，即=，得=，解得m=5. 故到今年为止，已砍伐了5年. (3)从今年开始，n年后森林面积为a·(1-p%)n， 令a(1-p%)n≥a，即(1-p%)n≥≥，得≤，解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年. |思|维|建|模|　 指数型函数模型问题的求解策略 (1)对于平均增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解. (2)函数y=c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数. [针对训练] 1.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位，参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48). 解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年，w=500(1-10%)=500×0.9； 经过2年，w=500×0.92； 由此推知，t年后，w=500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t=250， 即0.9t=0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t=lg 0.5， 即tlg 0.9=lg 0.5， ∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. 题型(二)　对数型函数模型 [例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3，单位是m/s，θ是表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少? (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍? 解：(1)由v=log3可知， 当θ=900时，v=log3=log39=1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v2-v1=1，即log3-log3=1，得=9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍. [变式拓展] 若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时，它的游速是多少? (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. 解：(1)将θ=8 100代入函数解析式， 得v=log381=×4=2(m/s)， 所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s. (2)令v=0，得log3=0， 即=1，则θ=100， 所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100. 　　|思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 基本类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解 求解策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义 　 [针对训练] 2.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg，其中常数k，b∈R且k，b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词，100分钟背出了30个单词.问：小丁持续背200分钟约能背出多少个单词?(精确到个位) 解：由题意，得两式相除， 得=， 即1-=， 解得b=40.所以k=， 即y=·lg. 当y=200时，解得x=37.5≈38(个)， 所以小丁200分钟约能背出38个单词. 题型(三)　幂函数模型 [例3]　果园A占地约3 000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本y(万元)与果树数量x(百棵)之间的关系如下表所示. x 1 4 9 16 y 1 4.4 7.8 11.2 (1)根据以上表格中的数据判断：y=ax+b与y=c+d哪一个更适合作为y与x的函数模型； (2)已知该果园的年利润z(万元)与x，y的关系为z=2y-0.1x，则果树数量x为多少时年利润最大? 解：(1)①若选择y=ax+b作为y与x的函数模型，将(1，1)，(4，4.4)的坐标分别代入，得 解得所以y=x-，当x=9时，y=≈10.07， 当x=16时，y=18，与表格中的7.8和11.2相差较大，所以y=ax+b不适合作为y与x的函数模型.②若选择y=c+d作为y与x的函数模型，将(1，1)，(4，4.4)的坐标分别代入，得 解得 所以y=-，当x=9时，y==7.8， 当x=16时，y==11.2，与表格中的7.8和11.2相符合，所以y=c+d更适合作为y与x的函数模型. (2)由题可知，该果园最多种植120 000棵该品种果树，所以确定x的取值范围为[0，1 200]， 当y=-时，z=2y-0.1x=--x=-(x-68+48)，令=t(0≤t≤20)，则z=-(t2-68t+48)，经计算，当t=34时，z=-(t2-68t+48)取得最大值，最大值为110.8(万元)，即果树数量x=1 156时(每亩约38棵)，利润最大. |思|维|建|模| 幂函数模型的常见题型及解法 常见题型：一是给出含参数的函数关系式；二是根据题意直接列出相应的关系式. 解法：幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转化，因为在y=(1+a)b中，如果a是已知的，b是待求的，那么此问题是指数函数问题；如果b是已知的，a是待求的，那么此问题是幂函数问题. 　　[针对训练] 3.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润y(万元)与投资额x(万元)成正比，其关系如图1所示；B产品的利润y(万元)与投资额x(万元)的算术平方根成正比，其关系如图2所示. (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?(精确到1万元) 解：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元， 由题设f(x)=k1x，g(x)=k2，由题图可知f(1)=，所以k1=，又g(4)=，所以k2=，所以f(x)=x(x≥0)，g(x)=(x≥0). (2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10-x)万元，设企业的利润为y万元，y=f(x)+g(10-x)=x+(0≤x≤10)，令=t，则y=+t=-+(0≤t≤)，所以当t=时，ymax=，此时x=10-==3.75，所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为万元，约为4万元. 学科网（北京）股份有限公司 $