专题4.4 幂函数（高效培优讲义）（10大题型）高一数学人教B版必修第二册

专题4.4 幂函数 教学目标 1．理解幂函数的定义，掌握系数为 1、底数是单个自变量等核心特征，能判断函数是否为幂函数； 2．熟记时五个幂函数的图象，掌握其定义域、值域、奇偶性、单调性及过的性质； 3．会根据正负判断幂函数单调性，能运用该规律解决基础问题 教学重难点 1.重点 幂函数的定义与特征；五个常见幂函数的图象和核心性质。 2.难点 灵活运用幂函数性质；结合正负判断单调性并应用。 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 【即学即练】 1．（2026·高一·吉林·期末）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 【即学即练】 1．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 题型01 判断函数是否为幂函数 【典例1-1】下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 求幂函数的解析式 【典例2-1】（2026·高一·广东揭阳·期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·江西赣州·期中）已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·新疆·学业考试）已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·北京西城·期中）幂函数的图像经过点，则该幂函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 题型03 根据函数是幂函数求参数 【典例3-1】（2026·高一·河北·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高三·吉林长春·阶段检测）已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式3-1】如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式3-2】（2026·高二·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【变式3-3】（2026·高一·云南红河·期末）“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型04 求幂函数的定义域 【典例4-1】（2026·高一·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型05 幂函数的奇偶性问题 【典例5-1】（2026·高一·安徽芜湖·期末）已知幂函数是奇函数，则__________. 【典例5-2】（2026·高一·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【变式5-1】（2026·高一·天津北辰·期中）下列函数中，哪些函数既是奇函数又是增函数____________（填写序号） ①；②；③；④；⑤；⑥. 【变式5-2】（2026·高一·山东济宁·期末）已知是奇函数，当时，，则______． 【变式5-3】（2026·高一·浙江·阶段检测）已知奇函数，当时，，则__________． 题型06 幂函数的图象的判断及定点问题 【典例6-1】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式6-1】（2026·高一·甘肃·期末）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·河南南阳·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 题型07 根据幂函数的单调性比较大小 【典例7-1】（2026·高一·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高一·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【变式7-2】（2026·高一·云南·开学考试）已知幂函数在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·高一·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型08 幂函数的单调性问题 【典例8-1】（2026·高二·陕西西安·期中）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【典例8-2】（2026·高二·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【变式8-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 【变式8-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【变式8-3】（2026·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 题型09 求幂函数的值域 【典例9-1】（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【典例9-2】（2026·高二·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【变式9-1】（2026·高一·湖南·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式9-2】（2026·高一·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【变式9-3】（2026·高一·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 题型10 根据幂函数的单调性解不等式 【典例10-1】（2026·高一·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【典例10-2】（2026·高一·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【变式10-1】（2026·高一·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【变式10-2】（2026·高一·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【变式10-3】（2026·高一·重庆渝中·阶段检测）已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 1．（2026·高一·四川乐山·期中）下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知，且，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 8．（2026·高一·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 9．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 10．（多选题）（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 11．（多选题）（2026·高一·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．函数的最大值为______． 13．（2026·高一·四川乐山·期中）已知幂函数的图象过点，则_____． 14．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号. 1．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）使得“”成立的充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 7．（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9．（多选题）（26-27高三上·河南·阶段检测）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 10．（多选题）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知幂函数 的定义域不为 ，则（    ）． A． B． C． 为偶函数 D．对任意正数 ，都有 11．（多选题）（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 12．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 13．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 14．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 16．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 17．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 幂函数 教学目标 1．理解幂函数的定义，掌握系数为 1、底数是单个自变量等核心特征，能判断函数是否为幂函数； 2．熟记时五个幂函数的图象，掌握其定义域、值域、奇偶性、单调性及过的性质； 3．会根据正负判断幂函数单调性，能运用该规律解决基础问题 教学重难点 1.重点 幂函数的定义与特征；五个常见幂函数的图象和核心性质。 2.难点 灵活运用幂函数性质；结合正负判断单调性并应用。 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 【即学即练】 1．（2026·高一·吉林·期末）下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】幂函数的通式为（为常数）， 则BCD选项均符合幂函数的定义， 而A选项为指数函数，不符合幂函数的定义， 故选：A. 2．（2026·高一·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 【即学即练】 1．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【解析】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 2．（2026·高一·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【解析】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 题型01 判断函数是否为幂函数 【典例1-1】下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于选项A：是指数函数，故A符合题意； 对于选项B：是幂函数，故B不符合题意； 对于选项C：是幂函数，故C不符合题意； 对于选项D：是幂函数，故D不符合题意. 【典例1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 【变式1-1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-2】（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的定义可知，是幂函数． 故选：C. 题型02 求幂函数的解析式 【典例2-1】（2026·高一·广东揭阳·期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 依题意， 所以. 故选：C 【典例2-2】（2026·高一·江西赣州·期中）已知幂函数的图象过点，则其解析式为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，由题可知： 所以幂函数解析式为： 故选：B 【变式2-1】（2026·高二·新疆·学业考试）已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为，因为幂函数图象经过点， 则有，解得， 所以幂函数的解析式为. 故选：D 【变式2-2】若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 【变式2-3】（2026·高一·北京西城·期中）幂函数的图像经过点，则该幂函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于为幂函数，故可设为，因为函数的图像经过点，所以，解得，所以幂函数的解析式为，故选B. 题型03 根据函数是幂函数求参数 【典例3-1】（2026·高一·河北·阶段检测）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据幂函数的定义可知 ，解得或； 再根据幂函数单调性性质当时，函数在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，函数在上单调递增，满足题意， 即. 【典例3-2】（2026·高三·吉林长春·阶段检测）已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】幂函数要求前面系数为， 所以，解得：，， 当时：，函数图象过，和轴有交点，舍去， 当时：，，与轴没有交点，符合条件. 故. 【变式3-1】如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 【变式3-2】（2026·高二·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【解析】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 【变式3-3】（2026·高一·云南红河·期末）“”是“幂函数在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为是幂函数， 所以，解得，或， 又时，在上单调递增， 时，在上单调递增， 所以“”是“幂函数， 在上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A． 题型04 求幂函数的定义域 【典例4-1】（2026·高一·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【典例4-2】（2026·高一·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得． 故选：D． 【变式4-1】（2026·高一·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 【变式4-2】（2026·高一·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【变式4-3】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 题型05 幂函数的奇偶性问题 【典例5-1】（2026·高一·安徽芜湖·期末）已知幂函数是奇函数，则__________. 【答案】1 【解析】因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，这是奇函数，满足条件； 当时，这是偶函数，不满足条件； 综上所述，； 故答案为：1. 【典例5-2】（2026·高一·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【解析】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 【变式5-1】（2026·高一·天津北辰·期中）下列函数中，哪些函数既是奇函数又是增函数____________（填写序号） ①；②；③；④；⑤；⑥. 【答案】③⑥ 【解析】对①：是偶函数，排除； 对②：在和上单调递增，排除； 对③：为奇函数且在上单调递增，正确； 对④：时，，时，，不是奇函数，排除； 对⑤：是非奇非偶函数函数，排除； 对⑥：，定义域为，， 为奇函数且在上单调递增，正确； 故答案为：③⑥ 【变式5-2】（2026·高一·山东济宁·期末）已知是奇函数，当时，，则______． 【答案】-4 【解析】因为是奇函数，当时，， 所以，得， 所以，， 因为是奇函数 所以， 故答案为： 【变式5-3】（2026·高一·浙江·阶段检测）已知奇函数，当时，，则__________． 【答案】1 【解析】由题意得, 故答案为:1 题型06 幂函数的图象的判断及定点问题 【典例6-1】（2026·高一·安徽合肥·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 【典例6-2】（2026·高一·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【解析】由，得，则， 所以函数（且）恒过定点， 设过点的幂函数为，则，得， 所以过点的幂函数为， 此幂函数的图象只经过第一、二象限， 故选：A 【变式6-1】（2026·高一·甘肃·期末）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 所以，则， 即函数的图象过定点. 故选：A. 【变式6-2】（2026·高一·浙江宁波·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设知，可得，则， 当时，，故恒过定点. 故选：A 【变式6-3】（2026·高一·河南南阳·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是幂函数，所以，解得或． 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故，此时，当时，，即的图象过定点． 故选：A 题型07 根据幂函数的单调性比较大小 【典例7-1】（2026·高一·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 【典例7-2】（2026·高一·北京·期中）若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 【变式7-1】（2026·高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【解析】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式7-2】（2026·高一·云南·开学考试）已知幂函数在上单调递增，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，解得，则， 显然该函数为偶函数，所以， 因为，所以， 又在上单调递增，又，所以， 所以 由函数在上单调递增， 则，即． 【变式7-3】（2026·高一·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 题型08 幂函数的单调性问题 【典例8-1】（2026·高二·陕西西安·期中）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【解析】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 【典例8-2】（2026·高二·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【解析】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 【变式8-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题设，对于，开口向上且对称轴为， 而对于在定义域上递增， 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有，显然恒成立； 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【变式8-2】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【答案】 【解析】因为函数是幂函数，所以，得， 当时，，函数图象在区间上单调递增，不满足条件， 当时，，函数图象在区间上单调递减，满足条件， 所以. 【变式8-3】（2026·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 题型09 求幂函数的值域 【典例9-1】（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【解析】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【典例9-2】（2026·高二·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 【变式9-1】（2026·高一·湖南·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）令，则， 则， 故． （2）由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 【变式9-2】（2026·高一·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【解析】（1）令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 【变式9-3】（2026·高一·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【解析】（1）由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 幂函数在区间上单调递减，所以，即. （2）由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 题型10 根据幂函数的单调性解不等式 【典例10-1】（2026·高一·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； （2）因为命题“”为假命题，所以其否定“”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立； 设，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以，即实数的取值范围是； （3）由，不等式 即为 ， 由“数轴标根法”求得不等式的解集为：. 【典例10-2】（2026·高一·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 【变式10-1】（2026·高一·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【解析】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 【变式10-2】（2026·高一·云南曲靖·期中）已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【解析】（1）幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. （2）由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式10-3】（2026·高一·重庆渝中·阶段检测）已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； （2）函数为奇函数，证明略； （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 1．（2026·高一·四川乐山·期中）下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A：是斜率为的一次函数，在上单调递减，不是增函数. 选项B：是开口向上的二次函数，在递减，在递增，在定义域上不单调. 选项C：是幂函数，指数，定义域为，在上单调递增，是增函数. 选项D：的定义域为，在两个区间内分别递增，但在整个定义域上不具备单调性. 2．（2026·高一·浙江嘉兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，将点代入得， 所以，解得， 所以. 3．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）已知，且，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：当取，此时，但，故不成立，故A错误； 选项B：当取，此时，但，故不成立，故B错误； 选项C：当时，，不等式不成立，故C错误 选项D：因为函数在上是单调递增函数，因此当时，必有，该不等式恒成立，故D正确. 4．（2026·高一·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 5．（2026·高二·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 6．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，即 又因为，所以. 7．（2026·高一·辽宁铁岭·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 8．（2026·高一·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】D 【解析】由为幂函数可得，即， 又幂函数在单调递减可得，即， 所以. 9．（多选题）（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 【答案】ABC 【解析】对于A选项，当时，. 对于BC选项，根据幂函数指数与单调性的关系， 当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减； 对于D选项，当时，函数在处无意义，故错误. 10．（多选题）（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【解析】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 11．（多选题）（2026·高一·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 12．函数的最大值为______． 【答案】 / 【解析】要使有意义，则 ，整理得， 解得，所以函数定义域为， 令，， 该函数是开口向下的二次函数，其对称轴为 ， 因为，故在处取得最大值为 ， 由于在时单调递增，因此的最大值为. 13．（2026·高一·四川乐山·期中）已知幂函数的图象过点，则_____． 【答案】 【解析】设函数，， 因为幂函数的图象过点，则，可得， 可得，所以. 14．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号. 【答案】① 【解析】对于①，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，值域为，满足上述性质； 对于②，定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数，不满足； 对于③，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，故在上单调递减，不满足； 对于④，定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，不满足. 1．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 2．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 3．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）使得“”成立的充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以A选项不符合题意； 对于B选项，取，满足，但不满足，此时不能得出，所以B选项不符合题意； 对于C选项，要求，可推出；但时，若， 则无意义，推不出，故是的充分不必要条件， 所以C选项符合题意； 对于D选项，取，满足，但不满足， 此时不能得出，所以D选项不符合题意． 4．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 5．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 8．（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 9．（多选题）（26-27高三上·河南·阶段检测）已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【答案】AC 【解析】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 10．（多选题）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知幂函数 的定义域不为 ，则（    ）． A． B． C． 为偶函数 D．对任意正数 ，都有 【答案】BCD 【解析】由幂函数的定义可得：或1， 又由于定义域不为，故，且为偶函数，A错误，B正确，C选项正确． 对于D，，，， 因为正数，，故有，故D正确． 11．（多选题）（25-26高一上·浙江·期末）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【解析】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 12．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 13．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 【答案】 【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以， 所以函数恒过定点． 故答案为： 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【解析】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 16．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【解析】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 17．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若关于不等式成立，求实数的取值范围； (3)设满足对都有，试比较与的大小. 【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 故. （2）令，则该函数的定义域为，且该函数在上单调递增， 对任意的，，即函数为偶函数， 由可得，即， 故，两边平方并化简得，解得， 故原不等式的解集为. （3）因，对都有， 所以函数的图象关于直线对称，所以，可得，即， 所以，故函数的图象开口向上， 所以函数的减区间为，增区间为， 当时，，，且，故， 此时； 当时，，此时； 当时，，，且，故， 此时. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $