专题4.2.1 对数运算（高效培优讲义）（5大题型）高一数学人教B版必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2.1对数运算 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01对数的概念 知识点02指数与对数的互化 2.知识清单 知识点03对数的性质 知识点04对数恒等式 对数运算 题型01对数有意义的条件 题型02对数式与指数式的互化 3.题型精讲 题型03对数求值 题型04利用对数的定义解方程 题型05对数恒等式的应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学目标 教学重难点 1.理解对数的概念，能区分常用对数(lgN)与自然对数(lnN) 教学目标 2.掌握指数与对数的互化规则(a>0,且a≠1时，a=N台x=log。N) 3.熟记对数性质(10g。1=0等)和恒等式，能正确运用 1.重点 指数与对数的互化；对数的概念及基本性质 教学重难点 2.难点 对数恒等式的理解与应用 知识清单 知识点01对数的概念 般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log。N,其中a叫 一 做对数的底数，N叫做真数， 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为gV在科学技术中常使用以无理 数e=2.71828.…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN. 【即学即练】 1.有下列说法： ①任何实数都有对数： ②任何一个指数式都可以化成对数式： ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为() A.1 B.2 c.0 D.4 知识点02指数与对数的互化 当a>0,a≠1时，a=N台x=log。N 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以a为底 指数 N的对数 幂 真数 a loga N 底数 【即学即练】 2.将下列指数式与对数式互化. (1)log216=4: (2)1og5x=6: (3)43=64: 知识点03对数的性质 (1)1og。1=0:(2)10g。a=1;(3)零和负数没有对数. 【即学即练】 3.求下列各式中x的值. (1)log2(1og4x)=0: (2)log(gx)=1: B1o8五3+22 知识点04对数恒等式 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a.N=N(a>0且a≠l,N>0):(2)log。a=N(a>0且a≠1) 【即学即练】 4.3189= 题型精讲 题型01对数有意义的条件 【典例1】对数log+(5-a中实数a的取值范围是() A.（-0,5) B.（-3,5) c.（-3,-2u(-2,5) D.（-3,+0) 【变式1-1】(2026高一广西南宁期中)对数式1og-2(5-a中实数a的取值范围是() A.（-0,5) B.(2,5) c.(2,3U(3,5) D.(2,+∞) 【变式1-2】使式子log.（-3a+5)有意义的a的取值范围是(） A（m到 【变式1-3】使log(2-3a)有意义的实数a的取值范围是（) A.(1,+o） B.(0,1)U1,+oo) 题型02对数式与指数式的互化 【典例2】将下列指数式、对数式互化 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)3=243: 2)25=1 32: e)lg,81=-4 (4)1og2128=7. 【变式2-1】将下列指数式、对数式互化： (1)43=64: (2)na=b: -n, (4)lg1000=3 【变式2-2】将下列指数式与对数式互化： (1)log216=4; (2)10g,27=-3 (3)l0g5x=3 (4)53=125: 612-分： =9 5/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-3】将下列指数式与对数式互化： (1)l0g,27=3; (2)log,8=-3 2 =9； 422=4 题型03对数求值 【典例3】求下列各式中的x值. (1)log2 (logsx)=0. (2)log2(1gx)=1: 3)lo85(V2+l=x 【变式31】求下列各式中x的值： (1)log2x=-3: (2)1og.(3+22)=-2 (3)logs(log2x)=1; 1 (4)X=log2191 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】求下列各式中x的值. (1)log2(1og5x)=0; (2)log3(1gx)=1: (3)log3(1og4(1log5x)=0. 【变式33】求下列各式中的x的值. a e1.27- (3)l0g,4og2x)=0 题型04利用对数的定义解方程 【典例4】求方程9-3*-4=0的实数解。 【变式4-1】解方程：9-23=27， 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4-2】解方程：4-2*2-12=0. 【变式4-3】解方程：316+36=281， 题型05对数恒等式的应用 【典例5】(2026四川泸州模拟预测)己知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=e+x-1,则 f2的值是() A.-1-ln2 B.1-In2 C.In2-1 D.n2+1 变式54】(2026高二浙江期中)已知函数女-3x<0,则f/og,4 【变式5-2】(2026高一陕西宝鸡阶段检测)设函数f(:)=17,则f(log,18)的值为 【变式5-3】(2026高一云南红河阶段检测)已知f(x)=3,则f(log,4)=」 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 1.若2=3，则x=() A.log;2 B.In3 C.log23 D.2n3 2.若xl0g,4=l0g36,则2+2=() B.s 56 7√6 6 D.6 3.己知log(2x)=3,则x=() A. B.2 c.4 D.4 4.己知a>0且a≠1，若log2=m,loga3=n,则a2m+3m=（) A.6 B.36 C.72 D.108 5.已知log52=a,log3=b,则50b=() 4 3 A.3 B.4 6.3=2026化为对数式是() A.10gb3=2026 B.1og32026=b C.10g2026 b=3 D.l0g20263=b 7.若7=9，则alog27=() A.2 B.Z 8.(多选题)下列命题是真命题的有() A.In(lg1)=0 B.eh=元 C.若e=lnr,则x=e D.Ig(Ig10)=0 9.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是() A.e°=1与loge1=0 B.. C.1og9=2与92=3 D.log,7=1与71=7 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(多选题)下列说法正确的是() A.任何一个指数式都可以化成对数式 B.以10为底的对数是常用对数 C.对于b=log2(m-),实数m的取值范围是L,+oo) D.对数式中的底数必须大于0且不等于1 11.己知a=l0g32,b=log,8,则32a-= 12.己知log.16 4,则x 13.已知2-，则a=,若b=log,2,则ab= 14.求下列各式中x的值： (1)log2(x2-2)=1; (2)log2-v3x2+2x-l)=1; (3)log2[log (log,x)]=0 x+y 15.已知1og,49=2,10go1y=-1,求2的值. 16.求下列各式的值： (1)log28: (2)log,1. (3)41og3+2 (4)91g371 10112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.求下列各式中x的值： (1)log4x=2 (2)1og.4-2. 能力提升 1.若1g,(2x-)=2,则g+3'的最小值为() A 2 B. 2 C.27 D.81 m 2.己知m>0,n>0,log,m=log5n=log5(m+m),则实数n的值为（) A3-1 B.2-5 c.5-1 V5-2 D. 2 2 2 2 1 3.已知2=12,1o8:3y,则x+y=（) A.0 B.2 C.-1 D.1 4.己知m=logs5,n=log6,则8m2=() 865 5 5V6 D. 5 c.6 6 5.已知b>0,l0gb=a,gb=c,7=10,则下列一定成立的是() A.d=ac B.c=ad C.a=cd D.d=a+c 6.已知2=5,1g3=b,则4-b=() 25 A.25 B.5 C. 0 7.若99=5,1og,4=b,则32ab=（) A.10 B.20 C.50 D.100 8.已知ln(log(og2x)=0,那么xi=() A.4 B.A o. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.若xlbg,3=克，侧则og,3+9等于 A.3 B.5 C.7 D.10 10.已知1og2（3x+2x-=1,则x=— 11.2+45=8,则x= 12.方程2+5+2+3+2+=6+6的实数解为 b 13.a,b∈R,log,a=logb=log6(a+b),则a= 12112 专题4.2.1对数运算 教学目标 1．理解对数的概念，能区分常用对数（）与自然对数（） 2．掌握指数与对数的互化规则（且时，） 3．熟记对数性质（等）和恒等式，能正确运用 教学重难点 1.重点 指数与对数的互化；对数的概念及基本性质 2.难点 对数恒等式的理解与应用 知识点01对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 【即学即练】 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【解析】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 知识点02指数与对数的互化 当时，. 【即学即练】 2．将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以. 知识点03对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 【即学即练】 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【解析】（1）因为，所以，得； （2）因为，所以，得； （3）因为，所以， 得 知识点04对数恒等式 （1） 且；（2）且 【即学即练】 4．______． 【答案】9 【解析】由对数的概念可得， 故答案为：9 题型01对数有意义的条件 【典例1】对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 【变式1-1】（2026·高一·广西南宁·期中）对数式中实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由,可得,解得， 所以实数a的取值范围是2＜a＜3或3＜a＜5, 故选C． 【变式1-2】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【变式1-3】使有意义的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是． 故选：C. 题型02对数式与指数式的互化 【典例2】将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 【变式2-1】将下列指数式、对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）∵当，时，， ∴由可得：. （2）∵当，时，， ∴由可得：. （3）∵当，时，， ∴由可得：. （4）∵当，时，， ∴由可得：. 【变式2-2】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）因为，所以有：. （2）因为，所以有：. （3）因为，所以有：. （4）因为，所以有：. （5）因为，所以有：. （6）因为，所以有：. 【变式2-3】将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 题型03对数求值 【典例3】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【解析】（1）由，得， 故. （2）由，得，故. （3）因为， 所以，所以. 【变式3-1】求下列各式中x的值： （1）log2x=-； （2）； （3）； （4）x=log27. 【解析】(1)由log2x=-，得=x，故x=. (2)由logx(3+2)=-2，得3+2=x-2， 故x=(3+2-1. (3)由log5(log2x)=1，得log2x=5，故x=25=32. (4)由x=log27，得27x=，即33x=3-2， 故x=-. 【变式3-2】求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【解析】（1）∵， ∴，∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）由可得，， 故，所以. 【变式3-3】求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【解析】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 题型04利用对数的定义解方程 【典例4】求方程的实数解． 【解析】令，则原方程可化为， 解得或（舍去），即，所以． 【变式4-1】解方程：． 【解析】方程，即， 令，则， 解得或(舍去)， 解得 故方程：的解为. 【变式4-2】解方程：． 【解析】不妨令， 则可转化为：， 解得. 【变式4-3】解方程：． 【解析】由题意，方程， 两边同时除以，可得， 令，可得，解得或（舍）， 所以，可得． 题型05对数恒等式的应用 【典例5】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数是奇函数，当时，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】可知，函数是奇函数， 则. 【变式5-1】（2026·高二·浙江·期中）已知函数，则______． 【答案】 【解析】由题可知：，故. 【变式5-2】（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）设函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】因为，则. 【变式5-3】（2026·高一·云南红河·阶段检测）已知则____________. 【答案】4 【解析】因为,所以. 故答案为：4. 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得. 2．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即， 因为，所以，得 4．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【解析】依题意，，， 所以，所以. 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，所以. 6．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 7．若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得 ，所以． 8．（多选题）下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【解析】对于A，无意义，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 9．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【解析】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 10．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．任何一个指数式都可以化成对数式 B．以10为底的对数是常用对数 C．对于，实数m的取值范围是 D．对数式中的底数必须大于0且不等于1 【答案】BCD 【解析】负数的指数不能化成对数，例如不能写成对数，故A错误；以10和e为底的对数都是常用对数，故B正确；对数要有意义，则其真数要大于0，即，即，故C正确；根据对数的定义，对数式中的底数必须大于0且不等于1，故D正确． 11．已知，，则__________． 【答案】/ 【解析】由题知，，， 所以， 所以. 12．已知，则________. 【答案】 【解析】由，可得，又且， 所以. 13．已知，则______，若，则______. 【答案】 【解析】由可得， 若，则. 故答案为：①；② 14．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为，所以，解得或. （2）因为，所以，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，所以. （3）因为，所以，所以，故． 15．已知，求的值． 【解析】由，得，解得或（舍去）， 由，得， 则． 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 17．求下列各式中x的值： (1)； (2). 【解析】（1）由可得，； （2）由可得，，因且，故. 1．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 2．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以. 故选：C 3．已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 5．已知，，，，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，， 又，所以， 又，所以，所以. 故选：C 6．已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 所以， 故选：C 7．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【解析】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 8．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 即， 所以， ， 故选C 9．若，则等于 A．3 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【解析】由，得 则， 则 . 故选B． 10．已知，则______． 【答案】 【解析】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 11．，则________． 【答案】 【解析】，令 ，则变形为 所以，因为 ，所以 ，所以 所以，或 （舍去）， 又 ，所以，所以. 12．方程的实数解为__________. 【答案】 【解析】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 13．，，则______． 【答案】 【解析】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $