福建省厦门集美中学2026-2027学年高二上学期10月阶段练习数学试题

高二（上）数学10月阶段练习 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 7．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知直四棱柱的底面为矩形，，，，平面，，则三棱锥的体积为（    ） A． B．5 C．4 D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下面四个结论正确的是（    ） A．空间向量，若，则 B．若空间四个点，，则三点共线 C．已知向量，若，则为钝角 D．任意向量满足 10．如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 第10题 第11题 11．如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到，连接，，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是（    ） A．平面平面 B． C．ВС与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为 ． 13．长方体中，，，则点B到平面的距离为 ． 14．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.需写出必要的解答步骤. 15．已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 16．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点 (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的大小. 17．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 18．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .  (1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 19．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）. (1)求点的坐标. (2)若平面，证明：平面平面. (3)已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点. ①用表示点的坐标； ②若，求点到平面距离的最大值； ③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C A B A AB AB 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 2．D 【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可. 【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面. 故选：D. 3．C 【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解. 【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确； 对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面， 平面,所以,即，所以，故B不正确； 对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确． 对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面， 平面,所以,即，所以，故D不正确. 故选：C. 4．B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】由题知，在正四面体中， 因为平面， 所以是的中心， 连接，则， 所以 .    故选：B 5．C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 6．A 【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示 由题意可知，， 因为为的中点，所以, 所以， 当时，取最小值，此时取最大值， 所以的最大值为4. 故选:A. 7．B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果. 【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 由得，即， 由于，所以，， 所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段， 由图知：， 故选：B. 8．A 【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系.    则，，，，，， 则，，，，. 设平面的法向量为，则, 令，可得． 设，，则， 由可知，解得，则，即． 又在中,为的中点，所以为的重心，则， 故． 故选：A. 9．AB 【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B 【详解】对于A：因为，，则，故A正确； 对于B：因为，则，即， 又与有公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C：， 若为钝角：则，且与不共线， 由得， 当时，，即，由与不共线得， 于是得当且时，为钝角，故C错误； 对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误， 故选：AB 10．AB 【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断. 【详解】如图， 由题意得，， ， ， ， 对于选项A， 所以，即. 故选项A正确. 对于选项B， 故选项B正确. 对于选项C， 所以即 故选项C错误. 对于选项D， 故选项D错误. 故选：AB 11．ABD 【分析】A.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可. 【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以，因为， 所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC， ，所以平面A′DE， 因为，所以平面A′DE，因为平面A′BE， 所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确； 因为，平面A′BE，平面A′BE ，所以平面A′BE，又平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l ，故B正确； 由A知，平面A′DE，则A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E为原点，分别以EB，ED,E A′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 由上可知：平面A′DE， 设平面的一个法向量为：， 则， 所以有，因此选项C不正确； 显然平面的一个法向量为：， 设平面的一个法向量为： 则有则，即，所以 所以，所以选项D正确， 故选：ABD 12． 【分析】由向量的方法计算，将表示成，平方即可. 【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，， 所以 ， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为： ， ，令得： 又 点B到平面的距离为：. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 15．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可； （2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【详解】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面的法向量，若与平面的法向量的数量积为0，则可证明； （2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式，即可求解. 【详解】（1）证明： 由面建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以，垂直于AD以及为方向建立轴，如图所示: 由底面是等腰梯形以及可知：，， ， 又由点为线段中点，可知 ，， 设为平面的法向量，故可知： ，解得 令，可知平面的法向量一个法向量为： 根据线面平行的向量法判断法则可知面 （2）解：由题意得：由（1）分析可知， 可知向量互相垂直，故异面直线与所成角的大小为 17．(1)； (2)存在，时，. 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 18．(1)存在，在平面可以找到一点，使得直线平面 (2) 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置； （2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离. 【详解】（1）延长交直线于点， 点为的中点， ， ， ∴， ，即， 四边形为平行四边形，即. ， ∴，故， 平面平面， 平面， 平面， 平面， 故在平面内可以找到一点，使得直线平面；    （2）如图所示，，即， 且异面直线与所成的角为，即， 又平面， 平面. 平面， 又平面， 平面， 平面， ， 因此是二面角的平面角，大小为. . 不妨设，则. 以A为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ，方向上的单位向量坐标为， 则在上的投影的绝对值为， 所以到直线的距离为. 19．(1) (2)证明见解析 (3)①；②；③ 【分析】（1）根据几何特征及边长计算即可； （2）分别得出平面法向量根据证明； （3）①根据几何特征及边长计算即可；②应用点到平面距离公式结合三角函数值域即可得出最值；③结合线面角公式及二次函数值域即可求值. 【详解】（1）连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以， 则，所以. （2）连接，根据球的性质可得平面， 则即为平面的一个法向量. 因为，所以. 平面的一个法向量为， 因为， 所以，故平面平面. （3）①当时，过点作交于， 过点作交于，过点作交 于，过点作交于，过点作交于，则， ， 则， 同理可得当时，. ②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为. ， 点到平面的距离， 当，即时，取得最大值，最大值为. ③易得平面的一个法向量为. 因为，所以. 设直线与平面所成的角为， 则 ， 令，则， 则 ， 当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小. 答案第16页，共16页 答案第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $