精品解析：福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性质量检测数学试题

厦门市第十中学2025-2026学年（上）12月份阶段性质量检测 高二数学试题 满分150分 考试时间120分钟 班级：______ 姓名：______ 座号：______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 8. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为单调递增数列 C. 数列为单调递增数列 D. 数列为等差数列 10. 已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（ ） A. B. C. P、A、Q、B均在圆上 D. A，B所在直线方程为 11. 已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则的内切圆半径为 D. 以为直径的圆与圆相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________. 13. 已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是_______. 14. 设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为___________；经过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，当四边形的面积最大时，___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，，数列前项和为，求证：. 16. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 17. 如图1，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为. 18. 在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中），已知，，. （1）求m及； （2）记，求. 19. 动点G到点的距离比到直线的距离小2. （1）求G的轨迹的方程； （2）设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第十中学2025-2026学年（上）12月份阶段性质量检测 高二数学试题 满分150分 考试时间120分钟 班级：______ 姓名：______ 座号：______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 故选：D. 2. 若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列性质和等比数列通项公式求出答案. 【详解】由题意得， 又，故. 故选：C 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 4. 一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用每年后的价值成等比数列，可求得结果. 【详解】依题意可知第一年后的价值为 ，第二年后的价值为， 依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项，公比为， 所以年后这批设备的价值为. 故选:D。 【点睛】本题考查了数列的简单应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题. 5. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 6. 过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，过点的2023条弦构成公差为正数的等差数列，要使公差最大，必须使首项取到最短弦长，末项取到最长弦长，利用等差数列基本量运算即得. 【详解】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10， 最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下) 如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点， 在中，显然,而, 因，则得，即为过点的最短弦长. 要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项. 即，解得：，故公差的最大值为. 故选：B. 7. 已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】依题设出直线方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，算得圆心坐标和半径长，由圆心到直线距离与半径比较即得直线与圆的位置关系. 【详解】 如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：， 设线段的中点为，由韦达定理， 则，即， ，则圆的半径为， 此时，圆心到直线的距离为：， 由可知直线与圆相离. 当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离. 故选：C. 8. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为单调递增数列 C. 数列为单调递增数列 D. 数列为等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用,求出数列的通项公式，可对A，B进行判断，对进行配方可对C进行判断，利用等差数列定义验证D. 【详解】当时，， 当时，， 当时，不满足上式， 所以， 所以数列不是等差数列，A错误； 因为，，且当时，为公差大于零的等差数列， 所以为单调递增数列，所以B正确； 由于， 而，数列为单调递增数列，所以C正确； 由，则且， 显然数列不可能是等差数列，D错误. 故选：BC 10. 已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（ ） A. B. C. P、A、Q、B均在圆上 D. A，B所在直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象可知，逐项判断即可. 【详解】根据题意，圆心，半径为2， 过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图， 则，所以，， 所以A正确，B错误； 四边形为正方形，中心为 所以P、A、Q、B均在圆上，C正确； 所在直线方程为，D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则的内切圆半径为 D. 以为直径的圆与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，，，，利用点差法得到，结合得到，从而由双曲线定义得到A正确；B选项，利用双曲线定义和余弦定理得到，从而求出三角形的面积；C选项，由双曲线定义和勾股定理求出，得到的面积，从而求出内切圆半径；D选项，设，，，先得到的中点为的坐标，从而得到，得到D正确. 【详解】A选项，设，，，， 则，，两式相减得，故， ， 所以，解得， 点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确； B选项，因为，， 若，由余弦定理得 ， 故，解得， 故的面积为，B错误； C选项，因为，， 若，由勾股定理得， 解得， 故的面积为， 设的内切圆半径为， 故，即， 解得，C正确； D选项，设，，，其中， 设的中点为，则，， 又 ， 故，故以为直径的圆与圆相切，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：椭圆与过原点的直线相交于两点，则从椭圆上任选一点（除外），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：双曲线与过原点的直线相交于两点，则从双曲线上任选一点（除外），满足； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中15题第一空2分，第二空3分，共15分. 12. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________. 【答案】39 【解析】 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：， 则，解得：，故. 故答案为：39. 13. 已知圆，直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】圆上的点到直线由两个点的距离为1，转化为圆心到直线的距离大于1小于3，求解即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为2， 因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线距离为：，， 所以此时b的取值范围是 故答案为： 14. 设点，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为___________；经过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，当四边形的面积最大时，___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知求出的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，所以为短轴顶点时，面积最大，写出的坐标，即可得到结果. 【详解】由已知可得，，，所以，则离心率. 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点. 不妨设，，，所以，， 所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，，数列前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：， ， ， ，，. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列定义可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求得； （2）由（1）可求得，采用裂项相消法可求得，结合可证得结论. 【小问1详解】 当且时，，； 当时，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，. 【小问2详解】 略 16. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】（1） （2）证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图1，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）若点是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为. 【答案】（1） 证明：在长方形中，，，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面，所以. （2）点是线段靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得出直线垂直直线所在的平面，进而推出：；（2）建立空间坐标系，通过的坐标得到的坐标，再通过二面角的余弦值为，计算可得点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线，分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由点是线段上的一动点， 设，， 则 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 解得，点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 18. 在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中），已知，，. （1）求m及； （2）记，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式写出，再由已知求得值后，再计算可得； （2）结合（1）求出通项公式，然后由错位相减法求和． 【小问1详解】 由题意，可知， ， ， ∵，∴， 化简整理，得，解得（舍去），或， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1），可得， 当时，，（*） 又∵，， ∴，均满足（*）式，∴，， ∴， ， ， 两式相减，可得 ∴. 19. 动点G到点的距离比到直线的距离小2. （1）求G的轨迹的方程； （2）设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中.设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，，长度恒为2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程. （2）联立直线与G的轨迹方程，求出点的坐标，同理可得点的坐标，再求出直线，并求出直线所过定点即可得解. 【小问1详解】 因为动点G到点的距离比到直线的距离小2， 则点G到点的距离和它到直线的距离相等， 因此点G的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为（），由，得， 所以G的轨迹的方程为. 【小问2详解】 显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且， 由消去y并整理得， 该方程的判别式，设，， 则，， 点，同理，的斜率， 直线的方程为，即，， 所以，因此直线：过定点， 又，则点D在以为直径的圆上， 所以存在定点，使得线段的长度为定值2. 【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，先求出这两个动点坐标，进而求出直线方程，即可推理计算解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $