专题05 位置与坐标 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题05位置与坐标期中复习讲义 ✵复习目标 · 会用有序数对、方位角加距离两种方式确定平面内物体的位置。 · 理解平面直角坐标系的相关概念，掌握各象限、坐标轴上点的坐标特征。 · 会求点到坐标轴的距离，能够计算平行于坐标轴的两点间线段长度。 · 掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能依据坐标变化作轴对称图形。 · 能根据题意建立适当的平面直角坐标系，实现由点写坐标、由坐标描点。 ✵高频题型梳理 题型1.有序数对表示位置与路线 题型2.利用方向角、距离确定物体位置 题型3.写出平面直角坐标系中点的坐标 题型4.判断点所在象限、由点的象限求参数 题型5.求点到坐标轴的距离 题型6.平面直角坐标系内描点 题型7.已知两点坐标求两点距离、求中点坐标 题型8.实际问题中用坐标表示位置 题型9.点的平移坐标变化与平移方式判断 题型10.求坐标系内点关于坐标轴的对称点坐标 题型11.坐标与图形的轴对称变化 题型12.点坐标规律探索 题型13.坐标系中的动点问题（不含函数） 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、确定位置 在平面内，确定一个物体的位置，需要两个数据。 有序数对：有顺序的两个数(a,b）组成有序数对，记作(a,b)。有序数对具有顺序性，一般(a,b)与(b,a)表示不同位置。 方位角 + 距离：利用方向（方位角）和距离，共同确定物体的相对位置。 知识点二、平面直角坐标系 1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平数轴称为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点叫做原点O(0,0)。 2.点的坐标：过平面内一点P，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的实数为横坐标，垂足在y轴上对应的实数为纵坐标，有序实数对(x,y)叫做点P的坐标。 3.对应关系：坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 4.各象限内点的坐标符号: 第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。 坐标轴上点的坐标特征 x轴上的点，纵坐标为0，形式：(x,0)； y轴上的点，横坐标为0，形式：(0,y)； 原点(0,0)，既在x轴上，也在y轴上。坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点三、点到坐标轴的距离与平行于坐标轴的直线 点P(x,y)到x轴的距离为|y|；点P(x,y)到y轴的距离为|x|。 平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等。若A(,y)，B(,y)，则线段AB=|-|。 平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等。若A(x,)，B(x,)，则线段AB=|-|。 知识点四、轴对称与坐标变化 点P(x,y)关于x轴对称的点：(x,-y)，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 点P(x,y)关于y轴对称的点：(-x,y)，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 图形轴对称：若图形关于x轴或y轴对称，则图形上每一组对应点满足上述坐标规律。作图步骤：先求出各顶点的对称点坐标，再顺次连接。 ✵易错提醒 1.距离易错：到x轴距离看纵坐标的绝对值，到y轴距离看横坐标的绝对值，切勿颠倒。2.坐标轴上的点不属于任何象限。 3.有序数对有序，调换数字，位置一般改变。 4.坐标平面内作轴对称图形，只需确定顶点的对称点，再连线。 5.平面直角坐标系建立方式不唯一，合理选取原点可简化计算。 ✵典例精讲 题型1.有序数对表示位置与路线 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 3．郑州市市区的许多街道习惯用“经几纬几”来表示．如图，小颖所乘的汽车从“经七纬五”出发，经过“经六纬五”到达“经五纬一”． (1)在图上标出“经五纬一”的位置． (2)在图上标出小颖所乘汽车可能行驶的一条路线．还有其他可能吗？ (3)请说出图中“广播大厦”的位置． 题型2.利用方向角、距离确定物体位置 1．选材新风向|人文历史：郑州是我国八大古都之一，史谓“天地之中”，古为“商都”．下列选项能准确描述郑州位置的是（     ） A．河南省中部偏北 B．距离北京约690公里 C．东经，北纬 D．位于北京的西南方向 2．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 3．我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练，红蓝双方的对阵情况如图所示（图中表示）．对红方潜艇来说： (1)北偏东方向上有哪些目标？要确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离红方潜艇的蓝方战舰有哪几艘？ (3)要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要几个数据？ 题型3.写出平面直角坐标系中点的坐标 1．下列平面直角坐标系的画法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 3．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3，求点P的坐标． (2)点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标． 题型4.判断点所在象限、由点的象限求参数 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．点在轴上，则的值为________． 3．已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为________，点在第________象限； (2)若点的坐标是，且轴，求点坐标． (3)若点到两坐标轴的距离相等，求点坐标． 题型5.求点到坐标轴的距离 1．点到x轴的距离是（     ） A．5 B．3 C． D． 2．若点的坐标是，则点到轴的距离为___________． 3．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 题型6.平面直角坐标系内描点 1．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 2．新定义：在平面直角坐标系中，若点，点，则称点Q是点的“级关联点”（其中为常数，且）．若点的“级关联点”在坐标轴上，则的值是________． 3．按要求完成下面各题． (1)在方格中描出、、、四个点，并依次连接成封闭图形，这个图形是__________． (2)在方格中画出图形按的比放大后的新图形． (3)如果每个小方格的边长表示1厘米，那么放大后的新图形的面积是__________平方厘米． 题型7.已知两点坐标求两点距离、求中点坐标 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 题型8.实际问题中用坐标表示位置 1．如图，象棋棋盘上的“帅”位于点，“炮”位于点，则“相”位于点（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼位置，表示校门位置，则实验楼的位置可表示为________． 3．在我国新疆西北部有一座八卦城——特克斯县．以太极坛广场为中心，按照八卦的具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．以太极坛广场为点O绘制的简易地图如图所示．若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以怎么表示？ 题型9.点的平移坐标变化与平移方式判断 1．若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 2．如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 3．如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 题型10.求坐标系内点关于坐标轴的对称点坐标 1．点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________． 3．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请作关于轴对称的，边上的点在上的对应点的坐标是______； (2)请作关于轴对称的． 题型11.坐标与图形的轴对称变化 1．已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（     ） A．3， B．，3 C．3，4 D．，4 2．已知实数a、b满足，则点关于y轴对称的点的坐标是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)已知点P的坐标为，请直接写出点C与点P的距离． 题型12.点坐标规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）写出点的坐标（是正整数）________； （2）指出蚂蚁从点到点的移动方向________． 3．在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接． ①，，，； ②，，，． 观察所得的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： (1)图形中哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特点？ (2)线段与x轴有什么位置关系？点E和点C的纵坐标有什么关系？线段上其他点的坐标呢？ (3)点F和点G的横坐标有什么关系？线段与y轴有怎样的位置关系？ 题型13.坐标系中的动点问题（不含函数） 1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列语句中，不能确定物体位置的是（     ） A．某影院第放映厅第排号座位 B．东经，北纬 C．王婷家在新华小区，住楼 D．象山港的北偏东，距离海里处 2．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．在平面直角坐标系上，已知点与点，且直线轴，同时点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 4．如图，建立平面直角坐标系标注一幅山西地形图，在地图中标注了几个特殊地点，，，，，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 6．如图，长方形纸片的边在轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则点的纵坐标为__________． 7．如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 三、解答题 9．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 11．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P在y轴上，求点P的坐标． (2)点P的纵坐标比横坐标大3，求点P的坐标． (3)点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标． 12．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05位置与坐标期中复习讲义 ✵复习目标 会用有序数对、方位角加距离两种方式确定平面内物体的位置。 理解平面直角坐标系的相关概念，掌握各象限、坐标轴上点的坐标特征。 会求点到坐标轴的距离，能够计算平行于坐标轴的两点间线段长度。 掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能依据坐标变化作轴对称图形。 能根据题意建立适当的平面直角坐标系，实现由点写坐标、由坐标描点。 ✵高频题型梳理 题型1.有序数对表示位置与路线 题型2.利用方向角、距离确定物体位置 题型3.写出平面直角坐标系中点的坐标 题型4.判断点所在象限、由点的象限求参数 题型5.求点到坐标轴的距离 题型6.平面直角坐标系内描点 题型7.已知两点坐标求两点距离、求中点坐标 题型8.实际问题中用坐标表示位置 题型9.点的平移坐标变化与平移方式判断 题型10.求坐标系内点关于坐标轴的对称点坐标 题型11.坐标与图形的轴对称变化 题型12.点坐标规律探索 题型13.坐标系中的动点问题（不含函数） 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、确定位置 在平面内，确定一个物体的位置，需要两个数据。 有序数对：有顺序的两个数(a,b）组成有序数对，记作(a,b)。有序数对具有顺序性，一般(a,b)与(b,a)表示不同位置。 方位角 + 距离：利用方向（方位角）和距离，共同确定物体的相对位置。 知识点二、平面直角坐标系 1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平数轴称为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点叫做原点O(0,0)。 2.点的坐标：过平面内一点P，分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的实数为横坐标，垂足在y轴上对应的实数为纵坐标，有序实数对(x,y)叫做点P的坐标。 3.对应关系：坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 4.各象限内点的坐标符号: 第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。 坐标轴上点的坐标特征 x轴上的点，纵坐标为0，形式：(x,0)； y轴上的点，横坐标为0，形式：(0,y)； 原点(0,0)，既在x轴上，也在y轴上。坐标轴上的点不属于任何象限。 知识点三、点到坐标轴的距离与平行于坐标轴的直线 点P(x,y)到x轴的距离为|y|；点P(x,y)到y轴的距离为|x|。 平行于x轴的直线：直线上所有点纵坐标相等。若A(,y)，B(,y)，则线段AB=|-|。 平行于y轴的直线：直线上所有点横坐标相等。若A(x,)，B(x,)，则线段AB=|-|。 知识点四、轴对称与坐标变化 点P(x,y)关于x轴对称的点：(x,-y)，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 点P(x,y)关于y轴对称的点：(-x,y)，纵坐标不变，横坐标互为相反数。 图形轴对称：若图形关于x轴或y轴对称，则图形上每一组对应点满足上述坐标规律。作图步骤：先求出各顶点的对称点坐标，再顺次连接。 ✵易错提醒 1.距离易错：到x轴距离看纵坐标的绝对值，到y轴距离看横坐标的绝对值，切勿颠倒。2.坐标轴上的点不属于任何象限。 3.有序数对有序，调换数字，位置一般改变。 4.坐标平面内作轴对称图形，只需确定顶点的对称点，再连线。 5.平面直角坐标系建立方式不唯一，合理选取原点可简化计算。 ✵典例精讲 题型1.有序数对表示位置与路线 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】确定准确位置需要两个独立的定位条件，据此判断各选项． 【详解】解：A、西安市高新区是区域范围，无法确定准确位置，该选项不符合题意； B、仅给出方向，缺少距离，无法确定准确位置，该选项不符合题意； C、科技路沿线为直线，包含无数个点，无法确定准确位置，该选项不符合题意； D、东经与北纬可确定唯一准确位置，该选项符合题意． 2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 3．郑州市市区的许多街道习惯用“经几纬几”来表示．如图，小颖所乘的汽车从“经七纬五”出发，经过“经六纬五”到达“经五纬一”． (1)在图上标出“经五纬一”的位置． (2)在图上标出小颖所乘汽车可能行驶的一条路线．还有其他可能吗？ (3)请说出图中“广播大厦”的位置． 【答案】(1)如图， (2)如图，有其他可能（答案不唯一）， (3)“广播大厦”位于“经五路”与“纬一路”的十字路口附近 【分析】（1）结合“市区图"确定“经五纬一"的位置即可； （2）结合“市区图"即可画出路线图； （3）根据“市区图”中“广播大厦”的位置确定其所在的“经"路与"纬"路，问题即可解答． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）略． 题型2.利用方向角、距离确定物体位置 1．选材新风向|人文历史：郑州是我国八大古都之一，史谓“天地之中”，古为“商都”．下列选项能准确描述郑州位置的是（     ） A．河南省中部偏北 B．距离北京约690公里 C．东经，北纬 D．位于北京的西南方向 【答案】C 【分析】明确准确描述地理位置的方法进行求解即可． 【详解】解：选项A为模糊的区域描述，无法唯一确定郑州位置． 选项B仅有距离无方向． 选项C给出明确的经纬度范围，可准确描述郑州的位置． 选项D仅有方向无距离，均不能确定唯一位置． 2．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 【答案】南偏西的处 【分析】根据方位角的概念及位置的相对性，两地互为观测点时，方向相反，角度相等，距离相等，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知，以乐成镇为观测点，雁荡山在乐成镇的北偏东方向，距离处． 根据位置的相对性，若以雁荡山为观测点，则乐成镇在雁荡山的相反方向，且距离不变． 北偏东的相反方向为南偏西． 所以乐成镇在雁荡山的南偏西的处． 3．我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练，红蓝双方的对阵情况如图所示（图中表示）．对红方潜艇来说： (1)北偏东方向上有哪些目标？要确定蓝方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离红方潜艇的蓝方战舰有哪几艘？ (3)要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要几个数据？ 【答案】(1)蓝方战舰B和小岛；蓝方战舰B与红方潜艇的距离 (2)蓝方战舰A，蓝方战舰C (3)各需要两个数据：距离和方向角 【分析】（1）根据示意图即可得第一问的答案，根据确定位置需要距离和方向角可得第二问的答案； （2）根据示意图即可得答案； （3）根据确定位置需要距离和方向角可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵确定位置需要距离和方向角， ∴要确定每艘蓝方战舰的位置，各需要两个数据：距离和方向角． 题型3.写出平面直角坐标系中点的坐标 1．下列平面直角坐标系的画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系的定义，需要满足两条数轴互相垂直，横轴x轴向右为正方向，纵轴y轴向上为正方向，标注原点与单位长度，逐一检验四个选项，选出符合全部条件的图形． 【详解】解：A项：两条坐标轴不互相垂直，画法错误． B项：x轴正方向标注错误，原点右侧应为正数，画法错误． C项：缺少x轴的正方向箭头，画法错误． D项：坐标轴互相垂直，x轴向右为正，y轴向上为正，原点、单位长度标注正确，画法正确． 2．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E，证明，得到，．结合点A，C的坐标求解即可． 【详解】解：过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标为，直线轴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 3．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3，求点P的坐标． (2)点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据纵坐标比横坐标大3的数量关系列方程求m，代入坐标表达式得结果； （2）利用平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质列方程求m，代入坐标表达式得结果． 【详解】（1）解：∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴， 解得， ∴，， ∴点P的坐标为； （2）解：∵过点且与x轴平行的直线上的点纵坐标均为， ∴，解得． ∴， ∴点P的坐标为． 题型4.判断点所在象限、由点的象限求参数 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵ ，． ∴ ． ∴ 点在第一象限． 2．点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得． 3．已知：点，根据下列条件，解答下列各题． (1)当时，写出点的坐标为________，点在第________象限； (2)若点的坐标是，且轴，求点坐标． (3)若点到两坐标轴的距离相等，求点坐标． 【答案】(1)，四 (2) (3)或 【分析】（1）根据求出点Q的横纵坐标即可得到答案； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出m的值即可得到答案； （3）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴点Q在第四象限； （2）解：∵点的坐标是，且轴， ∴点P与点Q的纵坐标相同， ∴， ， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或 解得或， ∴点Q的坐标为或． 题型5.求点到坐标轴的距离 1．点到x轴的距离是（     ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 2．若点的坐标是，则点到轴的距离为___________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，代入点的纵坐标计算即可得到结果． 【详解】解：平面直角坐标系中，点到轴的距离为纵坐标的绝对值， ∵点的坐标是， ∴点到轴的距离为． 3．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是__________； (2)若点的“美好点”在y轴上，求a的值以及这个美好点的坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于轴上这一条件进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ， ∴点的“美好点”坐标是； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在轴上， 解得：， 这个美好点的坐标为． 题型6.平面直角坐标系内描点 1．在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 2．新定义：在平面直角坐标系中，若点，点，则称点Q是点的“级关联点”（其中为常数，且）．若点的“级关联点”在坐标轴上，则的值是________． 【答案】或 【分析】根据新定义求出点的级关联点的坐标，再利用坐标轴上点的坐标特征，分横坐标为和纵坐标为两种情况列方程求解即可． 【详解】解：由“级关联点”定义得， 点，即， 点的坐标为，整理得， 点在坐标轴上， 分两种情况讨论： 当点在轴上时，横坐标为，即，解得； 当点在轴上时，纵坐标为，即，解得． 3．按要求完成下面各题． (1)在方格中描出、、、四个点，并依次连接成封闭图形，这个图形是__________． (2)在方格中画出图形按的比放大后的新图形． (3)如果每个小方格的边长表示1厘米，那么放大后的新图形的面积是__________平方厘米． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， 直角梯形 (2)解：如图所示即为所作， (3) 【分析】（1）根据点的坐标描点，再连线作图即可得到答案； （2）根据网格的特点作图即可； （3）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：放大后新图形上底为6厘米、下底为10厘米、高为6厘米， 则面积平方厘米． 题型7.已知两点坐标求两点距离、求中点坐标 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 题型8.实际问题中用坐标表示位置 1．如图，象棋棋盘上的“帅”位于点，“炮”位于点，则“相”位于点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下： 则“相”位于点． 2．如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼位置，表示校门位置，则实验楼的位置可表示为________． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标确定原点的位置，建立平面直角坐标系，从而确定实验楼的坐标． 【详解】解：由校门的位置坐标为可知， 校门在轴上，且原点在校门的右侧个单位长度处． 观察教学楼的位置是， 根据教学楼的位置确定原点的位置． 观察图形可知， 实验楼位于校门右侧个单位长度，下方个单位长度处． 实验楼的横坐标为，纵坐标为， ∴实验楼的位置可表示为． 3．在我国新疆西北部有一座八卦城——特克斯县．以太极坛广场为中心，按照八卦的具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．以太极坛广场为点O绘制的简易地图如图所示．若点A的位置用表示，点B的位置用表示，则点C的位置可以怎么表示？ 【答案】点的位置可以用表示 【详解】解：由图和题意可知：圈数表示横坐标，度数表示纵坐标， ∴点的位置可以用表示. 题型9.点的平移坐标变化与平移方式判断 1．若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 将点的横坐标减2，纵坐标减4，即可得到平移后点B的坐标． 【详解】将点向左平移2个单位后坐标变为， 向下平移4个单位后坐标变为， 即B点坐标为． 故选：C． 2．如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标． 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即． 故答案为：，． 3．如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 【答案】(1)，0，2，2； (2)是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到； (3)7，4 (4)即为所求： 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据题意作出平面直角坐标系，再根据点A，C的位置写出坐标； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的规律解决问题； （4）点M在过点F平行的直线上（也可以在直线的下方），答案不唯一． 【详解】（1）平面直角坐标系如图所示，，． 故答案为：，0，2，2； （2）略 （3）是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到，点是边上一点， 点的坐标为，即， 故答案为：7，4； （4） 略 题型10.求坐标系内点关于坐标轴的对称点坐标 1．点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 2．如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________． 【答案】 或或 【分析】根据题意可知，与有公共边，以公共边所在直线为对称轴，对点作对称变换得到对应边和对应角相等从而求解． 【详解】解：已知、，两个全等三角形和有公共边， 在轴上，长度为， ∴点关于轴对称点； ∴点关于的垂直平分线（直线）对称点； ∴点关于轴对称点， ∵三点均不与点重合， ∴的坐标可以是或或． 3．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请作关于轴对称的，边上的点在上的对应点的坐标是______； (2)请作关于轴对称的． 【答案】(1)如图，就是所求作的三角形 点的坐标是． (2)如图，就是所求作的三角形 【分析】（1）先确定，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，，即可得到，再根据轴对称的性质可得点的坐标； （2）先确定，，关于轴对称的对称点，，，再顺次连接，，即可得到． 【详解】（1）解：画图略， 边上的点在上的对应点的坐标是． （2） 略 题型11.坐标与图形的轴对称变化 1．已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（     ） A．3， B．，3 C．3，4 D．，4 【答案】A 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，； 解得，. 2．已知实数a、b满足，则点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出和的值，得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵算术平方根和绝对值都是非负数， ∴，， ∵， ∴，， 解得，， 即点的坐标为， 平面内点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， 因此点关于轴对称的点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)已知点P的坐标为，请直接写出点C与点P的距离． 【答案】(1)根据题意关于轴的对称图形如图： 根据作图可得点的坐标为； (2). 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标规律，即纵坐标相等，横坐标互为相反数，确定对称点后描点连线得到对称图形，即可得到点的坐标； （2）利用勾股定理计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】（1）略 （2） 解： ∵，， ∴， 即点C与点P的距离为． 题型12.点坐标规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 2．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）写出点的坐标（是正整数）________； （2）指出蚂蚁从点到点的移动方向________． 【答案】 向上 【分析】（1）观察图形可知，蚂蚁每移动次为一个循环周期，每个周期结束时横坐标增加，纵坐标为； （2）根据是的倍数，确定处于周期的结束位置，进而判断下一步的移动方向 【详解】解：（1）由图可知： 的坐标为，的坐标为，的坐标为 ， 下标是的几倍，横坐标就是的几倍，纵坐标为 点的坐标为； （2） 点是第个循环周期的最后一个点，其位置特征与相同 移动规则是按“向上、向右、向下、向右”依次循环 下一个点是新周期的第一个点，移动方向与到的方向相同 蚂蚁从点到点的移动方向是向上． 3．在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接． ①，，，； ②，，，． 观察所得的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： (1)图形中哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特点？ (2)线段与x轴有什么位置关系？点E和点C的纵坐标有什么关系？线段上其他点的坐标呢？ (3)点F和点G的横坐标有什么关系？线段与y轴有怎样的位置关系？ 【答案】(1)如图，各点连接所得图形像一座房子， 在轴上的点为、，在轴上的点为、；轴上点的纵坐标都为0，轴上点的横坐标都为0； (2)线段平行于轴，点和点的纵坐标相等，线段上所有点的纵坐标都相等，均为3 (3)点和点的横坐标相等，线段平行于轴 【分析】（1）根据给定的坐标在平面直角坐标系中描点并依次连接，观察图象即可得出结果； （2）观察图象即可得出结果； （3）观察图象即可得出结果． 【详解】（1）解：各点连接所得图形像一座房子， 图略， 由图可得，在轴上的点为、，在轴上的点为、；轴上点的纵坐标都为0，轴上点的横坐标都为0； （2）解：由图可得，线段平行于轴，点和点的纵坐标相等，线段上所有点的纵坐标都相等，均为3； （3）解：由图可得，点和点的横坐标相等，线段平行于轴． 题型13.坐标系中的动点问题（不含函数） 1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需1秒，然后求出前几秒点的坐标，归纳规律并运用规律求解即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P运动半圆所需（秒）， ∴第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2023秒时，点P的坐标是，即选项C符合题意。 2．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M坐标为，N点为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】当，，三点共线且时，取得最小值，即为点到直线的距离，利用三角形面积公式建立等量关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点 ，由垂线段最短知，此时最小，最小值为线段的长，连接， 点，点，点， ，，， ， ，且， ， ， ，解得， 的最小值为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①； ② (2)①； ② (3)的值为或 (4)的值为或 【分析】（1）①根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． ②根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． （2）①由题意可得，，当点在点左侧时，即可求得． ②由题意可得，，当点在点右侧时，即可求得． （3）根据题意可得，代入数据到中，求解即可． （4）根据题意可得，，分别代入数据到，，中，求得，四边形的面积为，结合四边形的面积等于面积的倍，列式求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴， ∴． ②当时， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意可得， ①当点在点左侧时，； ②当点在点右侧时，． （3）解：∵，， ∴， ∴， 当时，即， 整理可得， 解得：，． （4）解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于面积的倍时，即， 整理可得， 解得：，． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列语句中，不能确定物体位置的是（     ） A．某影院第放映厅第排号座位 B．东经，北纬 C．王婷家在新华小区，住楼 D．象山港的北偏东，距离海里处 【答案】C 【分析】本题考查平面内确定物体位置的条件，平面内确定一个物体的位置需要两个数据，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、在第1放映厅内，有排号、座位号两个数据，可以确定物体位置； B、东经，北纬，两个数据可以确定位置； C、只说明在新华小区8楼，缺少具体单元、室号等信息，无法唯一确定位置； D、给出方向和距离12海里两个数据，可以确定位置． 2．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将线段的最小值转化为点到直线的距离，结合轴的性质求解． 【详解】解：∵轴，，， ∴， 根据垂线段最短，当时，线段的长度最小， ∵轴，， ∴轴， ∴点的横坐标与点相同，即， ∴点的坐标为，的最小值为． 3．在平面直角坐标系上，已知点与点，且直线轴，同时点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线轴， ∴， ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴． 4．如图，建立平面直角坐标系标注一幅山西地形图，在地图中标注了几个特殊地点，，，，，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知点的坐标为，点的坐标为，确定平面直角坐标系的原点位置，再根据网格结构确定点的坐标． 【详解】解：由点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系如下： 由图可得点C的坐标为． 二、填空题 5．若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出和的值，再利用勾股定理计算点到坐标原点的距离． 【详解】解：由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得 ， 解得 ，， 即点的坐标为， 点到坐标原点的距离，由勾股定理得 ． 6．如图，长方形纸片的边在轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则点的纵坐标为__________． 【答案】15 【分析】根据长方形的性质得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ∴ ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 7．如图是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，则黑棋①的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据已有点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，进行求解即可． 【详解】解：白棋由②的坐标为，白棋④的坐标为， ∴白棋②的横坐标加3，纵坐标加1就是原点，白棋④的横坐标加2，纵坐标加5就是原点， 画出坐标系，如图所示： 由图可知：黑棋①的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【分析】由点、坐标结合点是线段的中点求出点坐标，设点坐标为，根据两点距离公式求出、、，当为等腰三角形时，分、、三种情况分别列方程求解，即可得点的坐标． 【详解】解：∵，，点是线段的中点， ∴点坐标为， 点在边上运动，可设点坐标为， ∵点是边的中点，， ∴点坐标为， 又∵，， ∴，，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ②当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ③当时， ，解得， 此时，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 三、解答题 9．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)作出平面直角坐标系如图所示； (2) 如图，即为所求作的； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为． 10．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中画出关于y轴对称的，并写出和的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最小．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)解：，，关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求，． (2)解：根据题意，作图如下： 则点P即为所求． 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据轴对称的性质，作图即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 11．已知点是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P在y轴上，求点P的坐标． (2)点P的纵坐标比横坐标大3，求点P的坐标． (3)点P在过点且与x轴平行的直线上，求点P的坐标． 【答案】(1) 点的坐标为 (2) 点的坐标为 (3) 点的坐标为 【分析】（1）利用y轴上点的横坐标为0的性质列方程求m，代入坐标表达式得结果； （2）根据纵坐标比横坐标大3的数量关系列方程求m，代入坐标表达式得结果； （3）利用平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的性质列方程求m，代入坐标表达式得结果． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴点P的横坐标为0，即， 解得， ∴， ∴ 点P的坐标为； （2）∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴， 解得， ∴，， ∴点P的坐标为； （3）∵过点且与x轴平行的直线上的点纵坐标均为， ∴， 解得. ∴， ∴点P的坐标为． 12．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为且，满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)则_______；_______；点的坐标为_______． (2)在移动过程中，当点移动6秒时，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴和轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点移动6秒时，移动的路程为， ∴即， ∴， ∴； （3）解：存在． ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $