专题04 二次根式 期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题04二次根式期中复习讲义 ✵复习目标 理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能够识别二次根式与最简二次根式，准确判定同类二次根式。 掌握二次根式的基本性质，熟练运用性质进行化简，能灵活利用二次根式的双重非负性求解代数式的值。 掌握二次根式的乘、除、加、减运算法则，规范完成二次根式四则混合运算，合理运用整式乘法公式简化运算。 能够根据二次根式有意义的条件，确定代数式中字母的取值范围；熟练掌握 “几个非负数的和为 0” 模型的解题方法。 ✵高频题型梳理 题型1.二次根式的识别 题型2.二次根式有意义的条件 题型3.求二次根式的值 题型4.求二次根式中的参数 题型5.利用二次根式的性质化简 题型6.最简二次根式的判断 题型7.化为最简二次根式 题型8.已知最简二次根式求参数 题型9.同类二次根式识别 题型10.二次根式的乘除运算 题型11.分母有理化 题型12.二次根式的加减运算 题型13.二次根式的混合运算 题型14.二次根式化简求值 题型15.比较二次根式的大小 题型16.实数的混合运算 题型17.新定义实数运算 题型18.实数运算的实际应用 题型19.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次根式的定义 1.定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 两大必备特征：（1）含有二次根号“√”； （2）被开方数a必须是非负数（a≥0）。 ★补充说明：a可以是数、单项式、多项式等代数式； 形如 2、的式子也是二次根式，系数不改变根式属性。 知识点二、二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义⟺被开方数非负，即a≥0。 2.常见取值规则： 单独根式 ：需满足 x-2≥0； 根式+分式 ：需同时满足x+1≥0且 x≠0； 多个根式叠加：每个被开方数均需大于等于0。 知识点三、二次根式的双重非负性 ▲对于二次根式(a≥0)，同时满足两个非负条件： 被开方数非负：a≥0； 根式结果非负：≥0。 核心结论：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 知识点四、二次根式三大基本性质 1.）2=a(a≥0）），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2.=｜a｜，a为任意实数，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 ★ =｜a｜= 3.=·(a≥0,b≥0)，即积的算术平方根等于算术平方根的积 逆向运用：·=，常用于拆分被开方数、化简根式， 知识点五、最简二次根式 最简二次根式的判定标准： （1）被开方数不含分母（分母中不含根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简原则：所有二次根式运算结果，必须化为最简二次根式。 知识点六、同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 核心作用：只有同类二次根式可以合并。 示例：、是同类二次根式。 知识点七、二次根式四则运算 1.乘法运算法则：·=(a≥0,b≥0) 运算技巧：先相乘，再化简；可逆向用于根式拆分化简。 2.除法运算法则：= (a≥0,b>0) 注意：除数不能为0，因此被开方数b必须大于0。 逆向运用： =，可将分数型被开方数拆分化简，是根式化简的核心方法之一。 3.分母有理化 定义：将分母中的根号去掉，保证二次根式结果分母不含根号，是根式化简的基础操作，所有根式最终结果必须完成有理化。 分母为单项根式：分子、分母同时乘分母的根式。 含分数被开方数化简：先利用除法公式变形，再有理化。 4.加减运算的步骤：（1）化简：将所有二次根式化为最简二次根式；（2）合并：只合并同类二次根式，非同类根式不能合并。 合并规则：系数相加减，被开方数和根号保持不变（类比合并同类项）。 5.混合运算：运算顺序与实数运算一致：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 ✵易错提醒 1.要求a≥0；=|a|，a 可取全体实数，化简先写绝对值。 2.求字母范围：被开方数≥0；含分式，分母≠0。 3.同类二次根式要先化简再判断，非同类不能合并。 4.最终计算结果必须化为最简二次根式。 5.几个非负数（、|A|、A2）之和为0，则各项都为 0。 ✵典例精讲 题型1.二次根式的识别 1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的定义，根据二次根式的运算法则和二次根式定义逐一排除即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、被开方数为非负数，则无意义，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3．下列各式中，一定是二次根式的是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A、当m＜0时，它没有意义，故本选项错误； B、当m＜-2时，它没有意义，故本选项错误； C、被开方数m2+2≥2，符合二次根式的定义，故本选项正确； D、-20＜0，它没有意义，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 题型2.二次根式有意义的条件 1．式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，先根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项中符合条件的值即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，被开方数需为非负数， ， ， 选项中只有满足， 因此选D． 2．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，化简绝对值，再利用非负数的性质求出和的值，最后计算． 【详解】解：∵二次根式有意义 ∴，即 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，两个非负数的和为 ∴， ∴， ∴． 3．已知实数m满足．求的值． 【答案】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可知， 解得：， ∵ ∴， 即， ∴， ∴． 题型3.求二次根式的值 1．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 2．已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 3．材料阅读： 材料一：若是正整数，除以的余数为，则称是“余一数”． 例如：是正整数且，则是“余一数”． 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断： _________“余一数”（填“是”或“不是”）； （2）若四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，则满足条件的为_________． 【答案】 不是， ， 【分析】（1）根据材料提示计算“余一数”的方法即可求解； （2）设的千位数字为，的百位数字为，的十位数字为，的个位数字为，根据数量关系分别求出的范围，综合，是有理数，进行试根即可求解． 【详解】解：（1）， ∴不是“余一数”， 故答案为：不是； （2）四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和， ∴设的千位数字为，的百位数字为，的十位数字为，的个位数字为， ∴，解得，， ∴正整数表示为：，整理得，， ∵正整数是“余一数”，即个位数的差为， ∴， ∴或或或， ∴或或或， ①当时，即千位的数字为， ∴个位的数值为， ∵，且， ∴或，即百位的数字为或，则十位的数值为或， ∴正整数为或， ∵，是有理数， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去； ∴不符合题意，舍去； ②当时，即千位的数字为， 同理，个位的数字为，百位的数字为或或或，对应的个位的数字为或或或， ∴正整数为或或或， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去；是有理数，符合题意； ③当时，即千位的数字为， 同理，个位的数字为，百位的数字为或或或或或，对应的个位的数字为或或或或或， ∴正整数为或或或或或， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去；是有理数，符合题意；是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去； ④当时，即千位的数字为， ∴个位的数字为，不符合题意，舍去； 综上所述，符合题意的数字为或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，二次根式的性质化简，无理数的概念等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 题型4.求二次根式中的参数 1．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次根式结果为整数的性质，得出需为完全平方数，即可求出正整数的最小值 【详解】解：， 又是整数， 是整数，即为完全平方数， 要找最小的正整数， 满足条件的最小正整数 2．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 3．一个三角形的三边长分别为，， (1)求该三角形的周长； (2)请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【答案】(1) (2)当时，此时三角形周长的值为（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的加减．解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则． （1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的的值代入计算即可． 【详解】（1）解：依题意，该三角形的周长为： ； （2）当时，， ∴这个三角形的周长为（答案不唯一）． 题型5.利用二次根式的性质化简 1．在根式、、、、中，最简二次根式个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从根指数、被开方数是否含分母、被开方数是否含开得尽方的因数因式三个维度判断． 【详解】解：的被开方数含能开得尽方的因数和因式，不是最简二次根式； 的被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式； 的被开方数是整式，分解为后无指数不小于2的因式，是最简二次根式； 的根指数为3，不属于二次根式； 的被开方数含分母，不是最简二次根式； 这五个根式中，最简二次根式有 、 共 个． 2．实数，化简：________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件确定被开方数符号，利用二次根式性质化简，结合去绝对值得到结果． 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， 对被开方数因式分解得： ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 3．【阅读材料】化简：． 解：隐含条件，解得， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，化简：（结果保留）； 【类比迁移】 (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，，再结合算术平方根及根式的运算化简求值； （2）先根据根式有意义可得，再代入计算即可； （3）根据题意可知，再化简并解方程可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，解得， ， ； （2）解：，解得， 又，解得， 所以，， ， 解得， 则； （3）解：，解得， ， 解得， ． 题型6.最简二次根式的判断 1．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 2．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，二次根式有意义的条件，理解二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为． 3．已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 题型7.化为最简二次根式 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵选项A中同时满足上述两个条件，∴是最简二次根式； ∵选项B中，被开方数是小数即分数，含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务 …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)原式中的二次根式：、、、、，是最简二次根式的是________； (2)从第________步开始出错，请写出正确的计算过程． 【答案】(1)、 (2)解：观察可知，第一步开始出错，出错原因是去括号时前面的符号没有变号，正确过程如下： ． 【分析】（1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）第一步在去括号时，前面的符号没有变号，再按二次根式的相关运算法则写出正确的运算过程即可． 【详解】（1）解：不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 是最简二次根式， 是最简二次根式； （2） 略 题型8.已知最简二次根式求参数 1．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a的方程，进而可求出a的值，再判断是否是最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 当时，，，它们是最简二次根式． 因此,最简二次根式 与 是同类二次根式． 故答案为：． 3．已知最简二次根式与可以合并，若，化简：． 【答案】 【分析】先利用最简二次根式与可以合并得出被开方数相同，继而求出a，再根据x的范围和完全平方公式化简即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：， 当，即时，， ∴ ． 题型9.同类二次根式识别 1．下列各组根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，判断即可． 【详解】解：A、， 和不是同类二次根式； B、，和不是同类二次根式； C、，，和是同类二次根式； D、，和不是同类二次根式． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据最简同类二次根式的定义，可得两个根式的被开方数相等，据此列方程求解，验证后即可得到结果． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴二者被开方数相等，列方程得， 移项合并得， 解得， 验证：当时，，，满足二次根式有意义的条件，因此． 3．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ． （3） 解：原式． 题型10.二次根式的乘除运算 1．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 2．计算：__________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再按照二次根式乘除运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把每一项二次根式化简，利用处理根号平方，再合并同类二次根式； （2）隐含条件：，（根式有意义），利用二次根式乘除法则，系数和根号内分别运算，再化简根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11.分母有理化 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，以及倒数的定义． 根据倒数的定义，得到 的倒数为，再进行分母有理化即可． 【详解】解：的倒数是； 故选：． 2．___________． 【答案】 【详解】解：． 3．阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如： ①； ②． 上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式 ． 题型12.二次根式的加减运算 1．已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，代入的值分母有理化后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．化简：________． 【答案】/ 【分析】先利用二次根式的性质化简各数，再合并同类二次根式即可解答． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把、化成最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先把、、化成最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型13.二次根式的混合运算 1．正方形面积是，它的对角线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，计算选择即可． 【详解】解：设正方形的对角线长为，根据题意，得 解得：或（舍去） 2．计算：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分别展开两个式子，再合并同类二次根式计算得到结果． 【详解】解：根据完全平方公式展开计算， 展开第一个平方项： 展开第二个平方项： 将两个结果相加： 原式． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘除，再展开完全平方，化简后合并同类二次根式即可； （2） 先展开完全平方，化简各二次根式，再合并二次根式即可． 【详解】（1）解:原式 ． （2）解：原式 ． 题型14.二次根式化简求值 1．已知代数式的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】对代数式配方后代入求值，可简化运算． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 2．已知，求代数式的值是_____． 【答案】14 【分析】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 题型15.比较二次根式的大小 1．比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 2．比较大小，_______3，_______（填“”，“”或“”号）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵，且 ∴． 3．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 题型16.实数的混合运算 1．实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵实数，对应的点，在原点两侧，且到原点距离相等 ∴与互为相反数，即，且， 选项A，互为相反数的两个数绝对值相等，故一定成立； 选项B， ，故一定成立； 选项C，题目未说明，的正负，若，则，此时 ，故不一定成立； 选项D，，异号，异号两数相乘为负，故一定成立． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 题型17.新定义实数运算 1．定义新运算：，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题中的新定义运算以及整式的四则混合运算法则化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：，则当时，x的值为________． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将对应数值代入得到一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】∵ 规定新运算，， ∴， 两边同时除以， 得 移项得． 3．阅读理解与计算： (1)用“⊕”定义新运算：对于任意有理数，，都有．例如：．则 ①填空：___________； ②当为有理数时，求的值； (2)已知，互为相反数，，互为倒数，，试求的值． 【答案】(1)①；②26； (2)7或 【分析】（1）①根据定义，列式计算即可； ②首先根据定义计算括号里的算式，再计算解答即可； （2）把 ，代入求值即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得； ②解：当为有理数时，根据题意，得； （2）解：根据题意，，互为相反数，，互为倒数，， ， ， 当时，； 当时，． 题型18.实数运算的实际应用 1．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 2．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 3．阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)， (3) 【分析】本题考查了求最值的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）识别运算步骤②所运用的公式． （2）把原函数化成，即可得到解答； （3）对函数进行变形，得到时，的最小值为 ． 【详解】（1）解：步骤②中运用的是完全平方公式，即（这里）， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ． ． 当且仅当时取等号，解方程，得，即． 函数的最小值为，此时的值为， 故答案为：，； （3）解：， ， 将函数变形为． ， 当且仅当时取等号，解方程，得，即，， 函数的最小值为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； 选项，，计算正确； 选项，，计算错误； 选项，，计算错误． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴且， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 3．下列说法正确的个数是（     ） ①实数的平方根互为相反数；②小数都可以化为分数；③有限小数和无限循环小数都是有理数；④任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；⑤和 互为有理化因式；⑥被开方数不同的二次根式一定不能合并． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据平方根定义、有理数小数分类、实数与数轴的关系、有理化因式概念、同类二次根式判定方法分辨对错，统计正确命题数量选出答案． 【详解】解：①负数没有平方根，0的平方根是0，故①错误； ②无限不循环小数不能化为分数，故②错误； ③有限小数和无限循环小数都可化为分数，都是有理数，故③正确； ④实数与数轴上的点一一对应，无理数是实数的一部分，故任何无理数都可以用数轴上的一个点表示，故④正确； ⑤，结果仍含二次根式，二者不互为有理化因式，故⑤错误； ⑥被开方数不同的二次根式化简后若被开方数相同，则可以合并，如与，故⑥错误． 综上，正确的说法有2个． 4．对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 5．已知x、y都是实数，若，则的值为______________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，先确定的值，再求出的值，最后代入计算所求式子的值． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数， ∴ ，且， 解得且， ∴ ， 把代入原式， 得， 将，代入， ． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，且，那么的值为______． 【答案】7 【分析】先得出，则，再根据算术平方根的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 7．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 【答案】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：首先化简，可得， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相等， ∴， 整理得， 解得． 8．比较大小：________；________；________． 【答案】 【分析】三组比较大小均可通过平方，结合不等式性质比较大小，第三组可通过倒数法简化推导． 【详解】1. 比较和， ∵ 两个数均为负数，先比较绝对值，对绝对值平方得， ， ，且 ， ∴ ． ∴ ． 2. 比较和， ∵ 两个数均为正数，对两数平方得， ， ， ∴， ∵ 正数平方越大，原数越大， ∴ ， 3. 比较和， ∵ 两个数均为正数，先对两数取倒数，分母有理化得， ， ， 对分子比较大小， 且均为正数 ∴ ， ∵ 正数中倒数越大，原数越小， ∴ ， 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)6 (2)0 【分析】（1）原式分别根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，然后再进行计算即可； （2）原式分别计算绝对值、立方根、有理数的乘方，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．按要求完成下列各题： (1)已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根； (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)的平方根为 (2)的值为 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴． 11．已知三角形的三边分别为，，，且满足． (1)求，，的值； (2)求出三角形的周长． 【答案】(1)，， (2)三角形的周长为 【分析】（1）根据非负数的性质，几个非负数的和为0时每个非负数都为0，分别求解得到的值； （2）代入的值，即可求出三角形的周长． 【详解】（1）解：， 且， ， 解得； （2）解：由（1）得，，，且三角形的三边分别为，，， 三角形周长为． 12．某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； ，， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次根式期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能够识别二次根式与最简二次根式，准确判定同类二次根式。 · 掌握二次根式的基本性质，熟练运用性质进行化简，能灵活利用二次根式的双重非负性求解代数式的值。 · 掌握二次根式的乘、除、加、减运算法则，规范完成二次根式四则混合运算，合理运用整式乘法公式简化运算。 · 能够根据二次根式有意义的条件，确定代数式中字母的取值范围；熟练掌握 “几个非负数的和为 0” 模型的解题方法。 ✵高频题型梳理 题型1.二次根式的识别 题型2.二次根式有意义的条件 题型3.求二次根式的值 题型4.求二次根式中的参数 题型5.利用二次根式的性质化简 题型6.最简二次根式的判断 题型7.化为最简二次根式 题型8.已知最简二次根式求参数 题型9.同类二次根式识别 题型10.二次根式的乘除运算 题型11.分母有理化 题型12.二次根式的加减运算 题型13.二次根式的混合运算 题型14.二次根式化简求值 题型15.比较二次根式的大小 题型16.实数的混合运算 题型17.新定义实数运算 题型18.实数运算的实际应用 题型19.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次根式的定义 1.定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 两大必备特征：（1）含有二次根号“√”； （2）被开方数a必须是非负数（a≥0）。 ★补充说明：a可以是数、单项式、多项式等代数式； 形如 2、的式子也是二次根式，系数不改变根式属性。 知识点二、二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义⟺被开方数非负，即a≥0。 2.常见取值规则： 单独根式 ：需满足 x-2≥0； 根式+分式 ：需同时满足x+1≥0且 x≠0； 多个根式叠加：每个被开方数均需大于等于0。 知识点三、二次根式的双重非负性 ▲对于二次根式(a≥0)，同时满足两个非负条件： 被开方数非负：a≥0； 根式结果非负：≥0。 核心结论：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 知识点四、二次根式三大基本性质 1.）2=a(a≥0）），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2.=｜a｜，a为任意实数，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 ★ =｜a｜= 3.=·(a≥0,b≥0)，即积的算术平方根等于算术平方根的积 逆向运用：·=，常用于拆分被开方数、化简根式， 知识点五、最简二次根式 最简二次根式的判定标准： （1）被开方数不含分母（分母中不含根号）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简原则：所有二次根式运算结果，必须化为最简二次根式。 知识点六、同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 核心作用：只有同类二次根式可以合并。 示例：、是同类二次根式。 知识点七、二次根式四则运算 1.乘法运算法则：·=(a≥0,b≥0) 运算技巧：先相乘，再化简；可逆向用于根式拆分化简。 2.除法运算法则：= (a≥0,b>0) 注意：除数不能为0，因此被开方数b必须大于0。 逆向运用： =，可将分数型被开方数拆分化简，是根式化简的核心方法之一。 3.分母有理化 定义：将分母中的根号去掉，保证二次根式结果分母不含根号，是根式化简的基础操作，所有根式最终结果必须完成有理化。 分母为单项根式：分子、分母同时乘分母的根式。 含分数被开方数化简：先利用除法公式变形，再有理化。 4.加减运算的步骤：（1）化简：将所有二次根式化为最简二次根式；（2）合并：只合并同类二次根式，非同类根式不能合并。 合并规则：系数相加减，被开方数和根号保持不变（类比合并同类项）。 5.混合运算：运算顺序与实数运算一致：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。 ✵易错提醒 1.要求a≥0；=|a|，a 可取全体实数，化简先写绝对值。 2.求字母范围：被开方数≥0；含分式，分母≠0。 3.同类二次根式要先化简再判断，非同类不能合并。 4.最终计算结果必须化为最简二次根式。 5.几个非负数（、|A|、A2）之和为0，则各项都为 0。 ✵典例精讲 题型1.二次根式的识别 1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是(       ) A． B． C． D． 题型2.二次根式有意义的条件 1．式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．已知，则的值为_______． 3．已知实数m满足．求的值． 题型3.求二次根式的值 1．当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 2．已知，则________． 3．材料阅读： 材料一：若是正整数，除以的余数为，则称是“余一数”． 例如：是正整数且，则是“余一数”． 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断： _________“余一数”（填“是”或“不是”）； （2）若四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，则满足条件的为_________． 题型4.求二次根式中的参数 1．若是一个整数，则正整数m的最小值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 3．一个三角形的三边长分别为，， (1)求该三角形的周长； (2)请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 题型5.利用二次根式的性质化简 1．在根式、、、、中，最简二次根式个数是（     ） A． B． C． D． 2．实数，化简：________． 3．【阅读材料】化简：． 解：隐含条件，解得， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，化简：（结果保留）； 【类比迁移】 (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型6.最简二次根式的判断 1．在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 2．请写一个二次根式，使其化简后为（为正整数），这个二次根式可以是_________． 3．已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 题型7.化为最简二次根式 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务 …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)原式中的二次根式：、、、、，是最简二次根式的是________； (2)从第________步开始出错，请写出正确的计算过程． 题型8.已知最简二次根式求参数 1．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 3．已知最简二次根式与可以合并，若，化简：． 题型9.同类二次根式识别 1．下列各组根式中，是同类二次根式的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 3．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 题型10.二次根式的乘除运算 1．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算：__________． 3．计算： (1) (2) 题型11.分母有理化 1．的倒数是（　　） A． B． C． D． 2．___________． 3．阅读理解材料：我们在学二次根式时，了解了分母有理化及其应用．如： ①； ②． 上式运算都是分母有理化．根据上面的方法解决下面的问题： (1)计算：； (2)计算：． 题型12.二次根式的加减运算 1．已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．化简：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型13.二次根式的混合运算 1．正方形面积是，它的对角线长为（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型14.二次根式化简求值 1．已知代数式的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知，求代数式的值是_____． 3．已知，求的值． 题型15.比较二次根式的大小 1．比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小，_______3，_______（填“”，“”或“”号）． 3．阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 题型16.实数的混合运算 1．实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算：． 题型17.新定义实数运算 1．定义新运算：，则的结果为（     ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：，则当时，x的值为________． 3．阅读理解与计算： (1)用“⊕”定义新运算：对于任意有理数，，都有．例如：．则 ①填空：___________； ②当为有理数时，求的值； (2)已知，互为相反数，，互为倒数，，试求的值． 题型18.实数运算的实际应用 1．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 3．阅读与思考 如果两个正数、，即、，则有：① 又② ③ ， 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号．我们把叫做正数、的算术平均数，把叫做正数、的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：，； 即：函数的最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为____________________； (2)已知，则函数的最小值为_____，此时的值为_____； (3)若，试求函数的最小值． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的个数是（     ） ①实数的平方根互为相反数；②小数都可以化为分数；③有限小数和无限循环小数都是有理数；④任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；⑤和 互为有理化因式；⑥被开方数不同的二次根式一定不能合并． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知x、y都是实数，若，则的值为______________． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，且，那么的值为______． 7．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 8．比较大小：________；________；________． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； 10．按要求完成下列各题： (1)已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根； (2)已知，，求代数式的值． 11．已知三角形的三边分别为，，，且满足． (1)求，，的值； (2)求出三角形的周长． 12．某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $