23.2.1 锐角的三角函数（第1课时 解直角三角形）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

【新教材】沪科版·九年级上册 第23章 锐角的三角函数 23.2.1 锐角的三角函数 第1课时 解直角三角形 学 习 目 标 1 2 3 理解解直角三角形的意义，掌握直角三角形中边、角及边角之间的基本关系。 能根据已知条件选择恰当的关系式，正确求解直角三角形的未知元素。 经历解直角三角形过程，体会数形结合思想，发展运算能力与几何直观，能解决简单实际问题。 复习导入 1.想一想，在三角形中有几个元素？ 6个：三个角，三条边 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，除了直角外，还有几个元素？ 5个：两个锐角∠A，∠B， 三条边AB,BC,AC A B C 活动一：解直角三角形 【尝试思考】 提分笔记 在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C = 90°，那么其余五个元素(三边a,b,c,两锐角A，B)之间有怎样的关系呢？ (1) 三边之间的关系: a2 + b2 =_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，tan A =_____. A C B c b a c2 90° 【典例讲解】 提分笔记 活动一：解直角三角形 例题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a=, b=，求这个直角三角形的其他元素. A B C 解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2， a=, b= 在 Rt△ABC 中，sin B= = ∴c ==2 ∴ ∠B＝30° ∠A＝90°-∠B=90°-30°=60° 提分笔记 活动一：解直角三角形 【练一练】 如图在 Rt△ABC 中，根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 AB 2 =AC 2 + BC 2 =>BC=≈5.5 cos A= => cos A= =0.4 => ∠A≈66° ∠A+ ∠B=90° => ∠B=90° - ∠A≈90° -66° =24° 【归纳总结】 提分笔记 活动一：解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 条件：①在直角三角形中； ②知道除直角外的至少两个元素； ③至少有一个元素是边. A B a b c C 提分笔记 活动二：解直角三角形的应用 在△ABC中, ∠A =55°,b=20cm，c=30cm.求△ABC的面积(精确到0.1 cm2) 【典例讲解】 A B C 55° b c 解 如图作 AB 边上的高 CD. 记△ABC的面积为 在Rt△ABC中, ∵CD = AC · sin A = b sin A ∴ = AB · CD 当∠A =55°,b=20cm，c=30cm时,有 = bc sin A = ×20 ×30sin55° ≈245.7(cm 2) D 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 提分笔记 活动二：解直角三角形的应用 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长(结果保留根号)． 【练一练】 解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中， ∵sin B＝， ∵tan B＝， ∴AD＝AB·sin B＝6×＝3. ∴BD＝＝＝ 3. 在Rt△ADC中，∵tan C＝， ∴CD＝＝＝， ∴BC＝BD＋CD＝3＋. 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 提分笔记 活动二：解直角三角形的应用 【总结归纳】 遇到解直角三角形的问题,有直角直接运用,没有直角需要构造直角,通常需要作高构造出直角三角形. 解直角三角形时,除直角外,还需要知道两个元素,且至少有一个元素是边. 随堂练习 如图，在中， ， ，，则 的长是( ) B. 4 C. D. 2 2. 在中， ，， ，则 的度数为( ) A. B. C. D. D D 随堂练习 3.如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，cos B =，则 AC 的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 B C D A B 4.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4，sin B＝，则菱形的周长是（　　） A．10 B．20 C．40 D．28 A B C D E C 随堂练习 5.如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sin A＝，求tan B的值． 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中， ∵sin A＝， ∴CD＝AC·sin A＝6×＝4. 在Rt△CDB中，BD＝=＝3， ∴tan B＝＝. 随堂练习 6.在 △ABC 中，AB =12 ，AC =13，cos∠B =，求 BC 的长. 图① 解：∵cos∠B= ，∴∠B = 45°， 当 △ABC 为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得 CD = 5. ∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7. ∵ AB=12, ∠B =45°, ∴ AD=BD=AB·cos B=12. 当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论. 随堂练习 6.在 △ABC 中，AB =12 ，AC =13，cos∠B =，求 BC 的长. 图② 当 △ABC 为锐角三角形时，如图②， BC = BD + CD = 12 + 5 = 17. ∴BC 的长为 7 或 17. 7. 如图，在中， , , ，，小明想求 的值，他在 上取点，使得，则 __________. 8. 若△ABC是直角三角形，AB＝2 ，∠ABC＝30°，则AC的长为 　2或 　. 随堂练习 2或 　 随堂练习 9. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米? C A B 解：如图所示，依题意可知，当∠B = 60°时， 答：梯子的长至少 4.62 米. AB== ≈4.62 课堂总结 解直角三角形 依据 解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 【新教材】沪科版·九年级上册 感谢聆听! $