23.1.1 锐角的三角函数 第1课时 正切 (课件) 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

23.1 锐角的三角函数 锐角的三角函数 第1课时 正切 第23章 解直角三角形 1 导入新课 如图，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡呢？你是怎样判断的？ 答：坡面A1B1更陡．因为沿坡面A1B1移动，当移动水平距离都是100时，在坡面A1B1上升垂直高度更大．　 知识模块一　正切的定义 在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面． 探究新知 A B C 100 20 A1 B1 C1 100 30 问题1：坡面AB和A1B1哪个更陡？ 坡面A1B1比坡面AB更陡． 问题2：你是怎样判断的？ 从图中很容易看出∠A＜∠A1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． A B C 100 20 A1 B1 C1 100 30 类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 你又是怎样判断的？ A B C 100 30 A1 B1 C1 80 30 交流讨论 坡面A1B1比坡面AB更陡． 因为BC= B1C1 ，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，因为A1C1＜AC ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． A B C 100 30 A1 B1 C1 80 30 水平长度相等， 垂直高度不等． 水平长度不等， 垂直高度相等． 坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，坡面就应该越陡． 归纳总结 A B C 100 20 A1 B1 C1 100 30 A B C 100 30 A1 B1 C1 80 30 拓展提升 如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比,,……有怎样的关系？ B C A B1 C1 B2 C2 9 B C A B1 C1 B2 C2 试着测出这些对边与邻边的长度，并计算出比值． == 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，在Rt△ABC、 Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1 B1=∠AC2B2=90°． 求证：== B C A B1 C1 B2 C2 11 当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是固定值． 证明：∵ ∠ACB=∠ AC1 B1= 90°，∠A=∠A， ∴ Rt△ABC∽Rt△AB1C1 ． ∴ =，即=． 同理可得 =． ∴ == B C A B1 C1 B2 C2 在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎么变化，∠A 的对边与邻边的比值总是一个固定值.我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tan A，即tan A= A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 ┌ 结论：tan A 的值越大，梯子越陡. 归纳总结 13 1. 初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一个锐角. 2. tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为: tan∠BAC.∠1 的正切表示为: tan∠1. 定义中的几点说明 3. tan A＞0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4. tan A 不表示“ tan”乘以“A ”. 5. tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 练一练 1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tan C吗？ 解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC， ∴CD＝1.5， ∴tan C＝ ＝1. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tan A＝ ，求AB的值． 解：∵∠C＝90°，BC＝12，tan A＝＝ ， ∴AC＝16. ∴AB＝=＝20. 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 知识模块二　坡度与坡角 如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i= (坡度通常写成h∶l的形式) ． 现在你会描述坡面的坡度了吗？ 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有i= =tan α i=h∶l h l α 思考 19 例如 有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高60 m，那么山坡的坡度 i (即 tan α)就是: i =tan α= 100 m 60 m ┌ α i 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tan A和tan B． A B C 典例精析 1. 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) A. B. C. D.6米 B 练一练 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， AB=10 ，求tan B的值. 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=6， AB=10 ， A B C 3.若某人沿坡度i＝3∶4的斜坡前进10 m，则他所在的位置比原来的位置升高了多少米． 解：i＝tan B＝ ，设AC＝3x m，BC＝4x m. 由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2. ∴AC＝6 m. 答：他所在的位置比原来的位置升高了6 m． 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2，则∠A的正切值为(　　) A. B.2 C. D. B 随堂练习 巩固练习 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则tan B＝(　　) A. B. C. D. B 3．在Rt△ABC中，∠A＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则∠B的正切值 (　　) A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 C 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝，BC＝3，则AC的长是________． 向“勾股定理”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，BC＝8，则AB＝________． 随堂练习 5. 如图是某公园的一滑梯侧面图，若滑梯架的高AB为1.6 m，水平宽度BC为2.4 m，则滑梯滑板的坡度为________． 2∶3 课堂小结 正切 定义 坡度 ∠A 越大，tan A 越大， 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 i =tan α= tan A= $