23.2 解直角三角形及其应用 第2课时 (课件) 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

23.2 解直角三角形及其应用 第2课时　仰角与俯角问题 第23章 解直角三角形 1 导入新课 我们站在地面看高楼顶端、天上的飞机，视线是向上的；站在楼顶看地面的车辆、行人，视线是向下的． 知识模块　仰角与俯角问题 探究新知 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角. A B C a b c 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1 m）. 典例精析 A B C D α β 4 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a = 30°，β = 60°. Rt△ABD 中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知识求出 BD 的长度；类似地可以求出 CD 的长度，进而求出 BC 的长度，即求出这栋楼的高度. A B C D α β 水平线 仰角 俯角 5 A B C D α β 解：如图，α = 30°，β = 60°，AD = 120． 答：这栋楼高约为 277.1 m. ∴tan α = ,tan β = ∴BD= AD · tan α =120×tan 30° =120× =40(m) ∴CD= AD · tan β =120×tan 60° =120× =120(m) ∴ BC=BD+CD=40+120 =160≈277.1 (m) A B C D 40 m 54° 45° 建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）. A B C D 40 m 54° 45° 练一练 解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°，BC = DC = 40 m， 在 Rt△ACD 中tan ∠ ADC= ， ∴AB = AC－BC = 55.2－40 = 15.2 (m). ∴ AC = tan ∠ ADC∙DC. =tan54°×40≈1.38×40=55.2(m) A B C D 40 m 54° 45° 例2 一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树 8 m 的 E 处，测得树顶的仰角∠ACD = 52°，已知测角器的架 高 CE = 1.6 m.问树高 AB 为多少 米？（精确到 0.1 m） 解：在 Rt△ACD 中，∠ACD = 52°，CD = EB = 8 m. 由 tan∠ACD =， 得 AD = CD·tan∠ACD = 8×tan52°= 8×1.2799 ≈ 10.2（m）. 由 DB = CE = 1.6 m， 得 AB = AD + DB = 10.2 + 1.6 = 11.8（m）. 答：树高 AB 为 11.8 m. 例3 如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度 AB，因为不能直接到达塔底 B 处，他们采用在发射台院外与电视塔底 B 成一直线的 C，D 两处地面上，用测角器测得电视塔顶部 A 的仰角分别为45°和 30°，同时量得 CD 为 50 m.已知测角器高为 1 m， 问电视塔的高度为多少米？ （精确到 1 m） D1 A B1 B D C1 C 30° 45° 在 Rt△AD1B1 中，由∠AD1B1 = 30°，得 tan ∠AD1B1 == 解： 设 AB1= x m. ∴AB = AB1 + B1B ≈ 68 + 1 = 69 (m). D1 A B1 B D C1 C 30° 45° = 答：电视塔的高度为 69 m. 在 Rt△AC1B1 中，由∠AC1B1 = 45°，得C1B1 = AB1. 1.如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37°和45°，求飞机的高度 . （结果取整数. 参考数据： sin 37° ≈ 0.8， cos 37° ≈ 0.6， tan 37° ≈ 0.75） A B 37° 45° 400 米 P 练一练 A B O 37° 45° 400 米 P 设 PO = x 米， 在 Rt△POB 中，∠PBO = 45°， 在 Rt△POA 中，∠PAB = 37°， OB = PO = x 米. 解得 x = 1200. 解：作 PO⊥AB 交 AB 的延长线于 O. 即 =0.75 故飞机的高度为 1200 米. tan ∠PAB = =0.75 2.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E，F处，他们看气球的仰角分别是30°，45°，点E与点F的高度差AB为1 m，水平距离CD为5 m，FD的高度为0.5 m， 请问此气球有多高？(结果保留到0.1 m) 解：设AP＝h m． ∵∠PFB＝45°， ∴BF＝PB＝(h＋1)m. ∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝(h＋6)m. 在Rt△PEA中，PA＝AE·tan 30°， ∴h＝(h＋6)×tan 30°，即3h＝(h＋6)， 解得h＝3＋3， 则气球的高度为h＋AB＋FD＝3＋3＋1＋0.5≈9.7(m). 巩固练习 1.如图，一架飞机在空中A点测得飞行高度为h m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角为α，则飞机与地面指挥站间的水平距离为 ( ) A．h·sin α m B．h·cos α m C．h·tan α m D．m D 2. 如图，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC=_____米. 100 B C A 3. 为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高度是 1.72 米，则树高________(精确到 0.1 米）. A D B E C 20.9 米 19 4. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°． （tan 39° ≈ 0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离 AC； 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. A E B C D 39° 45° 20 A E B C D 39° 45° (2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝. 故 BE＝DE·tan 39°． ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39° ＝610－610×tan39° ≈ 116（米）. 21 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 课堂小结 模型一 模型四 仰角、俯角问题的常见基本模型： A D B E C 模型三 A C D B 模型二 A C B D $