学考专题01 集合与常用逻辑用语：知识盘点+核心精讲+进阶训练（讲义，江苏专用）2027年高中数学学业水平考试合格考总复习

专题01 集合与常用逻辑用语 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 集合的含义与表示 考点二 集合间的基本关系 考点三 集合的基本运算 考点四 充分条件与必要条件 考点五 全称量词与存在量词 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 集合 集合的概念 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；了解全集与空集的含义；了解常用数集符号（N、N*、Z、Q、R） 了解/理解 选择题 集合的表示 能用列举法、描述法表示集合，能在自然语言、图形语言、符号语言之间进行转换 掌握 选择、填空 集合间的关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（含真子集、空集） 理解 选择、填空 交集与并集 理解两个集合的并集、交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集 理解（会求） 选择、填空 补集 理解在给定全集下一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 理解（会求） 选择、填空 Venn图 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 了解 选择 常用逻辑用语 充分、必要条件 理解充分条件、必要条件的意义，能判断命题的充分条件、必要条件与充要条件；理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系 理解（判断） 选择、填空 充要条件 理解充要条件的意义，会判断并求充要条件；理解数学定义与充要条件的关系 理解（判断） 选择 全称量词与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，能判断全称命题、存在命题的真假 理解 选择 命题的否定 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（“∀”与“∃”互换，结论否定） 掌握 选择、填空 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系： 或 ，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素 ；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是 ；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间 。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素 ，并用花括号“” 表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中 集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但 ，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的 ，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把 的集合叫做空集，记作；是 的子集，是 的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合 属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中 集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的 ，是的 ； （2）若且，则是的 ； （3）若且，则是的 ； （4） 若，则是的 ； （5）若且，则是的 . 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点一 集合的含义与表示 例题1 （2025高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 例题2 （2023高二上·黑龙江·学业考试）方程的所有实数根组成的集合（    ） A． B． C． D． 例题3 （2025高二上·贵阳·学业考试）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（    ） A．－2 B．2 C．4 D．2或4 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 考点二 集合间的基本关系 例题1 （2023高二·湖北·学业考试）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2 （2023高二·全国·学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 例题3 （2023高二·浙江·学业考试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 1．已知集合，则的真子集个数为 （    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．已知集合，则集合M的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．已知集合，，能够准确表示集合M与N之间关系的是（ ） A． B．     C． D． 4．设集合，，若，则（     ） A．2 B．1 C． D． 考点三 集合的基本运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2 （2025高二·河北·学业考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 例题3 （2025高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，，求： (1)； (2)； (3)． 4．已知全集，集合，．求： (1)； (2)． 考点四 充分条件与必要条件 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例题2 （2025高二·湖南·学业考试）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3 （2025高二·北京·学业考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”的必要条件是（   ） A． B． C． D． 考点五 全称量词与存在量词 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）已知命题有意义，则的否定是（   ） A．没有意义 B．没有意义 C．没有意义 D．没有意义 例题2 （2025高二·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 例题3 （2025高二·山东·学业考试）下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题 4．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 训练 1．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则集合的子集个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则m的值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 8．“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设集合，且，则实数的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知全集，集合， (1)求， (2)求， 11．已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 12．命题“存在实数，使得二次方程有实数根”为真命题的充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 14．已知，，，. (1)求， ； (2)若，求a的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 15.已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)设命题，使得．若命题非为假命题，求实数的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 【析】命题方向解读|【汇】知识清单盘点|【研】核心专题精讲|【练】巩固提升训练 —— 目 录 —— 析|学考考查要点 汇|知识清单盘点 研|核心专题精讲 考点一 集合的含义与表示 考点二 集合间的基本关系 考点三 集合的基本运算 考点四 充分条件与必要条件 考点五 全称量词与存在量词 练|巩固提升训练 板块 知识点 学考具体要求 认知层次 常见题型 集合 集合的概念 了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；了解全集与空集的含义；了解常用数集符号（N、N*、Z、Q、R） 了解/理解 选择题 集合的表示 能用列举法、描述法表示集合，能在自然语言、图形语言、符号语言之间进行转换 掌握 选择、填空 集合间的关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（含真子集、空集） 理解 选择、填空 交集与并集 理解两个集合的并集、交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集 理解（会求） 选择、填空 补集 理解在给定全集下一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 理解（会求） 选择、填空 Venn图 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 了解 选择 常用逻辑用语 充分、必要条件 理解充分条件、必要条件的意义，能判断命题的充分条件、必要条件与充要条件；理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系 理解（判断） 选择、填空 充要条件 理解充要条件的意义，会判断并求充要条件；理解数学定义与充要条件的关系 理解（判断） 选择 全称量词与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，能判断全称命题、存在命题的真假 理解 选择 命题的否定 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（“∀”与“∃”互换，结论否定） 掌握 选择、填空 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 （1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即． （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点一 集合的含义与表示 例题1 （2025高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合的互异性即可得结果. 【详解】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 例题2 （2023高二上·黑龙江·学业考试）方程的所有实数根组成的集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解一元二次方程的根组成的集合 【详解】解方程，得或， 方程的所有实数根组成的集合为. 故选：C 例题3 （2025高二上·贵阳·学业考试）已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（    ） A．－2 B．2 C．4 D．2或4 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项. 【详解】依题意， 若，则，不满足集合元素的互异性，所以； 若，则或（舍去），此时，符合题意； 若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以. 综上所述，的值为. 故选：A 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项：符号是集合与集合之间的包含关系符号，是集合的元素， 二者应为的从属关系，错误； 选项：符号是元素与集合之间的从属关系符号，是集合， 二者应为的包含关系，错误； 选项：为自然数集，元素均为非负整数，集合中的元素，错误； 选项：解方程得，因此，正确. 2．方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，代入，得，解得， 所以． 故方程组的解集为． 3．已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故时，满足题意， 时，不满足题意， 时，满足题意， 且时，此时，，不满足题意， 综上可得. 考点二 集合间的基本关系 例题1 （2023高二·湖北·学业考试）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合相等直接得解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D 例题2 （2023高二·全国·学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】简化即可得到集合共有7个真子集. 【详解】解：由题意得： ， 其真子集有：，，，，，，，共7个． 故选：A． 例题3 （2023高二·浙江·学业考试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 1．已知集合，则的真子集个数为 （    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【详解】由题意，3个元素， 所以的真子集个数为. 2．已知集合，则集合M的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】因为且， 所以满足条件的点有共4个， 即集合M含有4个元素,所以集合M的子集个数为. 3．已知集合，，能够准确表示集合M与N之间关系的是（ ） A． B．     C． D． 【答案】D 【详解】选项，是数的大小比较符号，集合之间不能使用该符号表示关系，错误； 选项，是元素与集合的属于关系符号，、二者都是集合，不能用属于连接，且集合本身不是中的元素，错误； 选项，集合只有元素1，集合有1、2、3三个元素，二者元素不相等，因此，错误； 选项，真子集的定义是：若集合的所有元素都在集合中，且中存在元素不属于，则是的真子集，记作. 本题中的元素1在中，而的元素2、3都不在里，完全符合真子集的关系，正确. 4．设集合，，若，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 若，此时，，因为，但，所以不成立； 若，此时，，所以成立. 综上可得，. 考点三 集合的基本运算 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 例题2 （2025高二·河北·学业考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集运算法则即可计算得出. 【详解】根据列举法表示的集合可知， 由，，利用交集运算可得. 故选：C 例题3 （2025高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由集合，，则，故D正确. 故选：D. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】设集合，，则. 故选：B. 2．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 3．设集合，，，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）因为集合，， 所以； （2）因为集合，， 所以． 又因为， 所以； （3）因为集合，， 所以或， 可得或． 4．已知全集，集合，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据不等式的运算得出集合与，再根据集合的交集运算得出答案； （2）根据集合的交并补混合运算直接得出答案. 【详解】（1）由，可得， 所以． 由可得，且，解得， 所以， 所以． （2）因为或， 所以或. 考点四 充分条件与必要条件 例题1 （2024高二上·江苏·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若等价于或，所以由不能推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 例题2 （2025高二·湖南·学业考试）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用实数平方的非负性，分别验证充分性和必要性是否成立，即可判断条件类型. 【详解】首先判断充分性：若，代入可得，因此充分性成立. 再判断必要性：已知，由实数平方的非负性可知，，若，则必须满足且，解得且，因此必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 例题3 （2025高二·北京·学业考试）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时可推出； 当时，，不一定得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 1．命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件判断即可. 【详解】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要不充分条件. 故选：B 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式可得或， 因为或，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4．设，则“”的必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由必要条件与集合间的关系即可求解. 【详解】因为，但，故“”的必要条件可以是“”． 考点五 全称量词与存在量词 例题1 （2023高二·江苏·学业考试）已知命题有意义，则的否定是（   ） A．没有意义 B．没有意义 C．没有意义 D．没有意义 【答案】B 【详解】“”的否定为“”，“有意义”的否定为“没有意义”， 故的否定为“没有意义”． 例题2 （2025高二·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】命题“，”的否定是“，”，故D正确. 例题3 （2025高二·山东·学业考试）下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】A：当时不成立； B：； C：当时不成立； D：时成立．真命题是D． 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，”为全称量词命题， 因此该命题的否定为：，. 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定求解即可. 【详解】命题“”的否定是：. 故选：A. 3．已知命题：命题.则（    ） A．命题是真命题，命题是真命题 B．命题是假命题，命题是假命题 C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题的定判断两命题的真假即可. 【详解】因为，所以命题是真命题， 因为，所以不存在，所以命题是假命题， 故选：C. 4．命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于“，”为假命题，故“，”为真命题 故，由于，即 训练 1．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得.故. 又因为. 由此可得. 2．已知命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】存在命题的否定，前面改变量词，后面否定结论即可. 【详解】根据存在命题的否定，前面改变量词，后面否定结论，所以变为，变为， 即为，. 3．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】全集，集合，所以. 4．已知集合，则集合的子集个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】 因为， 所以集合的元素个数为， 所以集合的子集个数为个. 5．设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系，逐个判断各个选项. 【详解】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确.． 6．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 7．已知集合，，若，则m的值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由集合相等的定义可知，两个相等集合的元素完全相同，因此中的元素必为中的元素. 已知，由于，因此可得，解得. 检验集合中元素的互异性：当时，，， 两个集合的元素均满足互异性，且元素完全相同，符合的条件. 综上，的值为. 8．“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由不等式性质，且，可得， 但当时，推不出且，例如， 故“且”是“”的充分不必要条件 9．设集合，且，则实数的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为，所以或. 当时，，若，集合，不满足互异性，舍去； 若，此时集合，满足，符合条件. 当时，或， 若，集合，不满足互异性，舍去，同理，也舍去， 综上，. 10．已知全集，集合， (1)求， (2)求， 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）利用集合的交集和并集的概念求解； （2）利用集合的补集、交集和并集的概念求解. 【详解】（1）因为集合，， 所以，， 即：，. （2）因为，所以或， 则，即：； 因为集合，所以或， 则或，即： 11．已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合的约束求解实数的全部取值. 【详解】因为，所以或或， 若，即方程无解，此时； 若，即方程的解为，代入得，解得； 若，即方程的解为，代入得，解得， 综上所述，实数的取值所组成的集合是 12．命题“存在实数，使得二次方程有实数根”为真命题的充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根的情况列出不等式组，求出该命题成立的充要条件，再依次分析四个选项是否是该命题的充分不必要条件即可. 【详解】因为二次方程有实数根， 所以，即，解得且， 所以该命题成立的充要条件是且， 对于A，若，不能推出且，故A错误； 对于B，若，可以推出且， 所以是该命题的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若，不能推出且，故C错误； 对于D，若，不能推出且，故D错误； 13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先将原命题条件转化为全称命题的恒成立问题，再通过分类讨论结合一次函数和二次函数的图象性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题“，使得”是假命题， 则其否命题“，使得恒成立”是真命题， 当时，不等式为，对任意恒成立，符合题意， 当时，要使不等式对任意恒成立， 则需满足，解不等式组可得， 综上所述，实数的取值范围为. 14．已知，，，. (1)求， ； (2)若，求a的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【详解】（1）已知，， 则有，. （2）若，则有，即a的取值范围为. （3）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 有，即a的取值范围为. 15.已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)设命题，使得．若命题非为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，解出集合，再利用集合的交补运算即可求解； （2）根据题意，集合是集合的真子集，再利用集合的关系即可求解； （3）根据题意，由命题为真可知集合与集合或有交集，再利用集合的关系即可求解. 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）根据逻辑与集合的关系，由“”是“”的必要不充分条件可知集合是集合的真子集， 由题意得，列不等式组，解得， 所以实数的取值范围为． （3）根据题意，可知命题为真，由，解得或， 所以集合与集合或有交集， 已知集合，所以有或，解得或， 所以实数的取值范围为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $