2026-2027学年浙教版九年级数学上册期中考试模拟培优卷（范围： 第1-3章）（ 浙江省专用）

2026-2027学年浙教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册第1~3章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．明天会下雨 B．钝角比直角大 C．过马路时，有消防车驶过 D．明天早上的太阳从西边升起 【答案】B 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、明天会下雨是随机事件，不符合题意； B、钝角比直角大是必然事件，符合题意； C、过马路时，有消防车驶过是随机事件，不符合题意； D、明天早上的太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意． 3．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角和为．根据已知条件，通过圆内接四边形对角互补即可计算出未知角的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标． 【详解】解：当时， ． 5．下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 【答案】D 【分析】以必然事件的定义为依据，筛选正确选项． 【详解】解：A选项：任意买一张电影票，座位号可能是奇数也可能是偶数，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意， B选项：出现的直播可能是有关学习的，也有可能不是，事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意， C选项：三角形内角和为，内角和为的情况不可能发生，属于不可能事件，不符合题意， D选项：3个人分成两组，只能分为1人和2人的情况，一定有2个人分在一组，属于必然事件，符合题意． 6．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【分析】连接，根据圆的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，，垂足为， ∴， ∴， ∴． 7．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8．甲、乙、丙、丁四人站成一排拍照，则甲、乙不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了排列组合中的不相邻问题以及概率公式，熟练掌握不相邻问题的解决方法是解题的关键． 先求总情况数，再由“插空法”求出甲、乙不相邻的情况数，最后由概率公式求解即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一排的总情况数为种， 甲、乙不相邻的情况可采用插空法：先将丙、丁两人排列，有  2 × 1 = 2  种方法；丙、丁排好后有3个空位，将甲、乙两人插入这3个空位中，有 种方法，故甲、乙不相邻的情况有  2 × 6 = 12  种， 甲、乙不相邻的概率为， 故选：C． 9．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据解直角三角形求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵在矩形中，，， ∴，，， 由作图可得， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ． 10．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与坐标轴的交点问题逐项分析判断即可． 【详解】解：由图可知，该抛物线的开口向下，与y轴正半轴交于一点，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且点和点都在抛物线上， 而，，， ∴，故②错误； 由图象知，当时，为最大值， 当时，， ∴对于任意实数m，都有， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，则，故④正确， 综上，正确的有③④，故选项B符合题意． 二﹑填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．盒子里面有个除了颜色外完全相同的球，其中个红球，个黄球．从中随机拿取个球，拿到黄球的概率是________． 【答案】 【分析】根据简单随机事件的概率公式求解即可． 【详解】解：∵有个除了颜色外完全相同的球，个黄球， ∴从中随机拿取个球，拿到黄球的概率是． 12．已知的直径为8，若，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在外 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，掌握“半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内”是解题的关键． 首先求出圆的半径，然后比较与的大小即可解答． 【详解】解：∵的直径为8， ∴的半径为， 又∵， ， ∴点与的位置关系是点在外． 故答案为：点在外． 13．抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式是顶点式， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 14．如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据正多边形的中心角解题即可． 【详解】解：由题意知，． 故答案为：72 ． 15．已知二次函数，若的顶点坐标为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】先求出二次函数对称轴，得的顶点在对称轴上，、关于对称轴对称，分顶点在三角形内部和顶点在三角形下方两种情况讨论，计算得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，，， ∴，关于直线对称，在直线上，在对称轴上的范围是． 二次函数开口向上，分情况讨论： 1. 当顶点在内部时，抛物线与、各有1个交点，共2个交点，满足条件． 此时满足， 解得， 解得， 即． 2. 当顶点在下方时，即，得． 若抛物线恰好过、两点，此时交点只有、两个，满足条件． 将代入解析式得：， 解得． 验证得时，抛物线与只有两个交点、，符合条件． 当时，抛物线与共4个交点，不符合；当时，抛物线与无交点，不符合． 综上，的取值范围是或． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【分析】先利用直径构造直角三角形求出，再由确定的轨迹是以为直径的圆，连接点与圆心，当、、三点共线时，用减去圆半径即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 三﹑解答题：本题共8小题，共72分。（其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得k=-3； （2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2， y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． 18．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴．          ∵， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴．           ∵， ∴．           ∴．         ∴． 19．某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动．活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》（A）、《周髀算经》 （B）、《孙子算经》 （C）、《海岛算经》 （D）在屏幕上循环闪现．参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节． (1)小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能？（用列表法或树状图分析） (2)求小亮和小华选到同一本书的概率． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，掌握知识点是解题的关键． （1）先运用列表法，再确定共有16种等可能结果， （2）由（1）得共有16种等可能结果，其中小亮和小华选到同一本书有4种结果，继而用概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：依题意，所有可能的结果如下： A B C D A B C D ∴小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， （2）解：由（1）得，小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， 则小亮和小华选到同一本书的结果有4种， ∴， 即小亮和小华选到同一本书的概率为． 20．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 21．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 22．已知点在二次函数（a为常数，且）的图象上． (1)求a的值． (2)点，均在二次函数的图象上． ①当点B与点A重合时，求点C的坐标； ②当时，函数值的范围是，求k的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把代入可求出； （2）①由点B与点A重合得，，表示出点C的坐标为，代入函数解析式可得，解方程求出的值，从而确定点C的坐标； ②求出抛物线的对称轴是直线，由当时，函数值的范围是得出，由，在图象上求出，从而可得出结论． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：①∵， ∴； ∵点B与点A重合， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴点C的坐标为； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵当时，函数值的范围是， ∴； ∵，在图象上， ∴， 解得， ∴， ∴，即， 所以k的最大值为2．. 23．已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差是解题的关键． （1）根据题意得到 ，根据得到 ，从而求得，最后根据，即可得到结果； （2）根据题意得到，利用勾股定理得然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ； （2）∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 24．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版九年级上学期期中模拟卷 数学培优卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册第1~3章。 一﹑选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列事件中，为必然事件的是（     ） A．明天会下雨 B．钝角比直角大 C．过马路时，有消防车驶过 D．明天早上的太阳从西边升起 3．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 5．下列事件为必然事件的是（     ） A．任意买一张电影票，座位号是奇数 B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组 6．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 7．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙、丁四人站成一排拍照，则甲、乙不相邻的概率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）④，其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 二﹑填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．盒子里面有个除了颜色外完全相同的球，其中个红球，个黄球．从中随机拿取个球，拿到黄球的概率是________． 12．已知的直径为8，若，则点与的位置关系是___________． 13．抛物线的顶点坐标是______． 14．如图，正五边形内接于，连接，，则的度数为______度． 15．已知二次函数，若的顶点坐标为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是_____． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 三﹑解答题：本题共8小题，共72分。（其中：17-21题每题8分，22-23题每题10分，第24题12分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 18．如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 19．某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动．活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》（A）、《周髀算经》 （B）、《孙子算经》 （C）、《海岛算经》 （D）在屏幕上循环闪现．参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节． (1)小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能？（用列表法或树状图分析） (2)求小亮和小华选到同一本书的概率． 20．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 21．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 22．已知点在二次函数（a为常数，且）的图象上． (1)求a的值． (2)点，均在二次函数的图象上． ①当点B与点A重合时，求点C的坐标； ②当时，函数值的范围是，求k的最大值． 23．已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 24．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $