3.4函数的应用讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4函数的应用讲义 1、 几种常见的函数模型 （1） 分段函数模型 1. 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：）与时间t（单位：h）的关系如图所示， （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象. 分析：当时间t在内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应.根据图，在时间段，，，，内行驶的平均速率分别为50，80，90，75，65，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述. 解答函数应用题的一般步骤： 2. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象. （2） 二次函数模型 1. 某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ （3） 幂函数模型 1. 若用模型来描述汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系，而某种型号的汽车的速度为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，问这辆车是否超速行驶？ （4） 对勾函数模型 1. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到区间（单位：元/（）内，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价始终为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的利润（单位：元）关于实际电价（单位，元/）的函数解析式； （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20%？ 2．小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； (2)年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 2、 已知函数图像，解读实际意义 1. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 2. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 3、 选取函数模型 1. 下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据： 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 2. 某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系. x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … （1）根据表中提供的数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的应用答案 1、 几种常见的函数模型 （1） 分段函数模型 1.解：（1）阴影部分的面积为. 阴影部分面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360. （2）根据图，有 . 这个函数的图象如图所示. 2. 【详解】解：（1）当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，， （2）当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又， （3）当时， 综上所述 （2） 二次函数模型 1. 【详解】解：设广告牌的长为，则宽为. 设广告牌的面积为.则. 当时，y取最大值.此时宽为. ∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大. （3） 幂函数模型 1. 【详解】由题意知点在函数的图象上， ∴，解得得，∴， 当时，则有，整理得， ∴． ∵，∴这辆车没有超速行驶． （4） 对勾函数模型 1.【详解】（1）， （2）当时，由题意可得： 整理得：，解得 所以当电价最低定为0.6元/（）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长20% 2．【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以万件产品销售收入为万元，固定成本4万元， 依题意得，当时，； 当时，， 所以. （2）当 时， ，当时，取得最大值为； 当时，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上为单调递减.当时，取得最大值为. 由，则可知当年产量为8万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 2、 已知函数图像，解读实际意义 1. 【详解】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线； 题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线. 从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线； 而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线. 2.【详解】解：（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平； 射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将赢利. （2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变. 3、 选取函数模型 1. 【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像： 结合函数图像选择一次函数建立函数模型， 设函数解析式为， 取点、代入函数解析式中， 得，解得，， 故函数解析式为，经检验满足题意. 2. 【详解】（1）如图，猜想y与x是一次函数关系，设. 将代入得,解得.∴y与x的一次函数解析式为. （2），当时，. ∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元. 学科网（北京）股份有限公司 $