3.4 函数的应用（一）（4大培优题型）讲义-2026-2027 学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一） 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：一次函数模型的应用 3 知识点二：二次函数模型的应用 3 知识点三：解决实际应用问题 3 03 题型精讲 5 题型一：一次与二次函数模型 5 题型二：幂函数模型 7 题型三：分段函数模型 9 题型四：耐克函数模型 11 04 课后精练 14 05 培优拓展 20 知识点一：一次函数模型的应用 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点二：二次函数模型的应用 1、二次函数的一般形式是其定义域为R． 2、若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点三：解决实际应用问题 1、解决实际应用问题的过程 2、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 3、函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 题型一：一次与二次函数模型 【典例1-1】（2026·高一·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【典例1-2】（2026·高一·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【变式1-1】（2026·高一·河北保定·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中.    x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 (1)根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 【变式1-2】（2026·高一·广东广州·期中）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 日销售量（件） 100 80 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为（元）. (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求与之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【变式1-3】（2026·高一·北京大兴·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． (1)写出用表示的关系式； (2)求的最大值． 【方法技巧与总结】 建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法． 题型二：幂函数模型 【典例2-1】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【典例2-2】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式2-1】（2026·高二·上海闵行·阶段检测）某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 【变式2-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节约成本，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下.当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)求常数的值，并用表示； (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值. (3)要使不超过万元，求的取值范围. 【变式2-3】（2026·高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【方法技巧与总结】 幂函数模型为(，为常数，)， 在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题. 题型三：分段函数模型 【典例3-1】大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 【典例3-2】（2026·高一·安徽·期中）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【变式3-1】（2026·高一·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本. (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 【变式3-2】（2026·高一·四川成都·期中）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【变式3-3】（2026·高一·江苏扬州·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． (1)已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【方法技巧与总结】 分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点． 题型四：耐克函数模型 【典例4-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【典例4-2】（2026·高一·河南商丘·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【变式4-1】（2026·高一·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【变式4-2】（2026·高一·广西百色·阶段检测）某糕点连锁店现有五家分店，出售两款糕点，A为特价糕点，为吸引顾客按进价销售.已知用16000元购进A糕点与用22000元购进B糕点的重量相同，且B糕点每斤的进价比A糕点每斤的进价多6元. (1)求两种糕点每斤的进价； (2)因为使用进价销售的A糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A糕点，已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A糕点个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A糕点，记该连锁店前个月的月平均利润为万元，求的最大值. 【变式4-3】（2026·高一·吉林·阶段检测）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【方法技巧与总结】 耐克函数模型为，利用基本不等式或者图像法解决. 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 2．（2026·高一·云南红河·期中）为了提倡节约用电，某地对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费标准如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的月平均用电量为250千瓦时，则该户居民当年需交纳的电费为（   ） A．1826元 B．1840元 C．1842元 D．1848元 3．（2026·高一·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 4．（2026·高一·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 5．（2026·高一·陕西榆林·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（   ） A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3 6．（2026·高一·北京·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 7．（2026·高一·北京·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（   ） A．550m3 B．531.8m3 C．505m3 D．366.3m3 8．（2026·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 10．（多选题）（2026·高三·河南·阶段检测）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 11．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 12．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为________万元． 13．（2026·高一·山西长治·期末）某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 14．（2026·高一·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 15．（2026·高一·重庆沙坪坝·期末）如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个小镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离. (1)请将表示为的函数，并写出定义域； (2)如果将船停在距点处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到）？ (3)设，证明：，并求将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？ 16．随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 17．（2026·高一·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（2026·高一·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 19．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 20．（2026·高一·河南周口·期末）某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. (1)求函数的解析式，并求的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 1．（2026·高一·河南南阳·期中）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：）与速度v（单位：）的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是__________（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过） 2．（2026·高一·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 3．（2026·高一·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 4．（2026·高一·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 5．某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升. 6．（2026·高一·辽宁·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 7．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 9．（2026·高一·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 10．（2026·高一·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 函数的应用（一） 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：一次函数模型的应用 3 知识点二：二次函数模型的应用 3 知识点三：解决实际应用问题 3 03 题型精讲 5 题型一：一次与二次函数模型 5 题型二：幂函数模型 8 题型三：分段函数模型 13 题型四：耐克函数模型 16 04 课后精练 21 05 培优拓展 32 知识点一：一次函数模型的应用 1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R． 知识点二：二次函数模型的应用 1、二次函数的一般形式是其定义域为R． 2、若，则二次函数在时有最小值； 若，则二次函数在时有最大值． 3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答． 知识点三：解决实际应用问题 1、解决实际应用问题的过程 2、解决实际应用问题的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息． 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果． 第四步：再转译为具体问题作出解答． 3、函数模型的综合应用 函数的应用题是利用函数模型解决实际问题． 在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段： 第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的． 第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素． 第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述． 第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果． 第五阶段，解释数学模型的结果． 根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等． 题型一：一次与二次函数模型 【典例1-1】（2026·高一·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【答案】 【解析】设，则， 由题意可得且，故， 当时，由，可取，则得； 当时，不可取，又，则； 综上，可得. 故答案为：. 【典例1-2】（2026·高一·山西太原·期中）某蛋糕店销售一种蛋糕.蛋糕店每日的固定成本为900元，每个蛋糕的制作成本是20元.该种蛋糕的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）满足.假设每日生产的蛋糕全部售完. (1)将每日利润表示为销售单价的函数； (2)当销售单价为多少元时，蛋糕店每日利润最大？其最大利润是多少元？ (3)当销售单价为多少元时，蛋糕店每个蛋糕的平均利润最大？并求出其最大值. 【解析】（1）由题意得，. （2）由（1）得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取得最大值700， 所以，当销售单价为60元时，每日的利润最大，最大利润是700元. （3）由（1）得 ， 当且仅当， 即当元时，取得最大值20元. 【变式1-1】（2026·高一·河北保定·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中.    x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 (1)根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 【解析】（1）描出实数对的对应点，如图所示： 根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得，解得， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. （2）由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 【变式1-2】（2026·高一·广东广州·期中）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 日销售量（件） 100 80 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为（元）. (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求与之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【解析】（1）由题，设， 由表中数据可得：，解得， 所以，由，得，得， 所以所求函数关系为，. （2）由（1），，. 当，即时，， 当，即时，， 所以所求函数关系为. （3）当时，，当且仅当时，等号成立； 当时，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值， 而，因此当，即时，函数取得最大值， 所以当销售单价为65元时，日利润取得最大值元. 【变式1-3】（2026·高一·北京大兴·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个多边形菜园，地块矩形，矩形为水塘．已知，设（单位：），（单位：），多边形形菜园的面积为（单位：）． (1)写出用表示的关系式； (2)求的最大值． 【解析】（1），多边形周长为， 设， ，则， ． （2）， ， 当时，取最大值． 【方法技巧与总结】 建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法． 题型二：幂函数模型 【典例2-1】美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【解析】（1）设投入资金千万元，则生产A芯片的毛收入， 将代入，得，解得， 所以生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得， 所以当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）依题意，投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产A芯片， 公司所获净利润，当且仅当，即时取等号， 所以千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 【典例2-2】（2026·高一·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【解析】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 【变式2-1】（2026·高二·上海闵行·阶段检测）某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 【解析】（1）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元）， 则，其中． 由题意，得，解得，故． 所以每小时的运输成本，其中． （2）该轮船每千米的运输成本，其中， 求导，得， 令，解得． 由，解得；故在区间上单调递增； 由，解得；故在区间上单调递减． 所以当时，取得最小值． 故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为元． 【变式2-2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节约成本，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下.当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)求常数的值，并用表示； (2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值. (3)要使不超过万元，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，，当时，电费，解得：， ∴，. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， ∴该合作社应修建的太阳能面板，可使最小，的最小值为万元. （3）为使不超过万元，只需， 即有，则， 解得：， ∴的取值范围为. 【变式2-3】（2026·高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【解析】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. 【方法技巧与总结】 幂函数模型为(，为常数，)， 在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题. 题型三：分段函数模型 【典例3-1】大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃. (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 【解析】（1）由题意，设（） 即. ∵当时，，∴， 解得， ∴当时，， ∴所求的函数关系式为（）． （2）当，时， （℃）， 即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃. 【典例3-2】（2026·高一·安徽·期中）某地政府为方便市民出行，计划在本市的市民中心站到机场开通特快轻轨专线列车.已知机场到市民中心站最快需要30分钟，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为640人；当时，载客量会减少，减少的人数为（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客量为493人.记列车载客量为，为连续函数. (1)求的解析式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到532人时，列车才发车，问列车发车时间间隔至少为多少分钟? (3)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【解析】（1）由题意得，当时，； 当时，，且， 则，解得， 此时， 综上， （2）由题意得，， 当时，，满足题意； 当时，， 即，解得，所以. 综上，要使载客量至少达到532人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为4分钟. （3）由（1）知， 当时，，当且仅当等号成立， 所以当时，. 当时，单调递减，则， 又，所以当时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为72元. 【变式3-1】（2026·高一·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本. (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 【解析】（1）依题设知，总成本为元， 则； （2）产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 【变式3-2】（2026·高一·四川成都·期中）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【解析】（1）由函数，得. （2）当时，，在处取最大值，（万元）； 当时， （万元），当且仅当（千辆）时取等号， 而，所以在千辆时取得最大值30万元. 【变式3-3】（2026·高一·江苏扬州·期中）中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． (1)已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【解析】（1）建设成本为万元，售价为每枚元，物料及人工等成本与产量（万枚）关系为：， 当时，， 当时，， 当时，， 的函数解析式为． （2）， 当时，单调递增，当时取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，抛物线开口向下，对称轴为， 故在上单调递增， 在处取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，，当且仅当， 即时取等号，即（万元）， 当年该型芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为万元． 【方法技巧与总结】 分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点． 题型四：耐克函数模型 【典例4-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【解析】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【典例4-2】（2026·高一·河南商丘·阶段检测）如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【解析】（1）依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． （2）由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 【变式4-1】（2026·高一·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【解析】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【变式4-2】（2026·高一·广西百色·阶段检测）某糕点连锁店现有五家分店，出售两款糕点，A为特价糕点，为吸引顾客按进价销售.已知用16000元购进A糕点与用22000元购进B糕点的重量相同，且B糕点每斤的进价比A糕点每斤的进价多6元. (1)求两种糕点每斤的进价； (2)因为使用进价销售的A糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A糕点，已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A糕点个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A糕点，记该连锁店前个月的月平均利润为万元，求的最大值. 【解析】（1）设A糕点每斤的进价为元，则B糕点每斤的进价为元， 则，解得， 所以A糕点每斤的进价为元，B糕点每斤的进价为元. （2）设前n个月的总利润为元，因为A糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤， 故每月可收入16万元，其中原材料为8万元， 则 所以月平均利润为 当且仅当时即时等号成立，此时有最大值为万元． 【变式4-3】（2026·高一·吉林·阶段检测）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【解析】（1）设矩形绿洲的长为，则宽为， 由绿洲区域面积为，可知，故， 因为存在设备通道，故规划区域的宽为， 长为， 故， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立，故此时. （2）因为，所以. 由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长， 故总共需要铺设的管道长度为，则， 又因为，整理得一元二次方程，解得. 因为，所以. 【方法技巧与总结】 耐克函数模型为，利用基本不等式或者图像法解决. 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 【答案】C 【解析】A.一次函数图象是一条完整的直线，A错误， B.二次函数图象是一条抛物线，B错误， 此图象由若干段斜率不一样的线段组成，不同时间段有不同的对应法则， 由分段函数定义可知，C正确. 2．（2026·高一·云南红河·期中）为了提倡节约用电，某地对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费标准如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的月平均用电量为250千瓦时，则该户居民当年需交纳的电费为（   ） A．1826元 B．1840元 C．1842元 D．1848元 【答案】C 【解析】由题意，全年用电量为千瓦时， 故需交纳的电费为. 故选：C 3．（2026·高一·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】A 【解析】设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 4．（2026·高一·广西百色·阶段检测）某省对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方式如下表： 每户每年用电量 电价 不超过2160千瓦时 0.60元/千瓦时 超过2160千瓦时但不超过4200千瓦时的部分 0.65元/千瓦时 超过4200千瓦时的部分 0.90元/千瓦时 若某户居民一年的电费为2712元，则此户居民这一年使用的电量为（   ） A．3750千瓦时 B．3950千瓦时 C．4300千瓦时 D．4400千瓦时 【答案】C 【解析】由题意，设某户居民用电量为千瓦时，本年缴纳的电费为， 可得， 当某户居民本年缴纳的电费为2712元时，可得， 解得，即居民本年的用电量为4300千瓦时. 故选：C 5．（2026·高一·陕西榆林·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m3的部分 2.50元/m3 超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3 超过600m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（   ） A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3 【答案】D 【解析】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以，解得, 所以天然气使用量为， 故选：D 6．（2026·高一·北京·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【解析】因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 7．（2026·高一·北京·期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（   ） A．550m3 B．531.8m3 C．505m3 D．366.3m3 【答案】A 【解析】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：A 8．（2026·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 9．（多选题）（2026·高一·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【解析】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 10．（多选题）（2026·高三·河南·阶段检测）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【解析】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 11．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 12．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为________万元． 【答案】159 【解析】由题意得： 利润 故最大利润为159万元. 13．（2026·高一·山西长治·期末）某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 【答案】 【解析】设该月用电量为度，缴纳电费元， 则， 即. 当时，最大值为；当时，最大值为； 因为某户居民某月交纳电费元，所以用电量应满足. 令，解得度. 故该月用电量为度. 14．（2026·高一·上海·阶段检测）某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【解析】因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 15．（2026·高一·重庆沙坪坝·期末）如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个小镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离. (1)请将表示为的函数，并写出定义域； (2)如果将船停在距点处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到）？ (3)设，证明：，并求将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？ 【解析】（1）如图，设表示此人驾驶小船的行驶距离，则，， 由，得； 所以关于的函数为，定义域为； （2）当船停在距点处时，即，所以，； 所以，即从小岛到城镇的时间大约. （3）因为，所以， 所以， 又，所以； 易知函数在是单调递增，所以当时，； 由基本不等式知，当且仅当，即，即时，取等号；此时； 综上，将船停在海岸处距点远时从小岛到城镇所花时间最短，所花时间约为. 16．随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【解析】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 17．（2026·高一·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 18．（2026·高一·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【解析】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 19．某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【解析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 20．（2026·高一·河南周口·期末）某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽为米，，地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区.经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为元；方案二：整体报价为，元. (1)求函数的解析式，并求的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一的费用低，求的取值范围. 【解析】（1）设地面长为， 所以墙面面积为， 所以， ，当且仅当，时等号成立， 所以，，最小值为28800. （2）对任意的时，方案二都比方案一费用低， 即时，恒成立， 得，， 因为， 设，则，在上单调递增， 当，即时，. 又，所以， 即的取值范围为 1．（2026·高一·河南南阳·期中）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：）与速度v（单位：）的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是__________（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过） 【答案】26 【解析】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则， 当时，， ①. 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物5m以外处停车的速度为， 则满足②， 由①②得③， 对于，必有一正一负根，不妨设其两根为， 则不等式的解集为. 因为要求的最大限制时速为正数，且在上单调递增， 所以不妨取代入； 不妨取代入； 不妨取代入； 所以，所以最大限制时速应是. 故答案为：26. 2．（2026·高一·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【解析】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 3．（2026·高一·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【解析】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 4．（2026·高一·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 5．某社区为提升居民生活便利性，在中心广场旁开设了一家便民超市，超市内售卖两种不同规格的饮用水，分别是适合日常随身携带的“小瓶装”饮用水和适合家庭囤积的“大瓶装”饮用水.其中，小瓶装饮用水每瓶的标准容量为300毫升，为鼓励居民按需购买，超市对小瓶装饮用水的售价实行分段定价策略：当居民一次性购买小瓶装饮用水的数量（为正整数，且）不超过10瓶时，按照每瓶2元的单价计费；当购买数量超过10瓶时，前10瓶仍按每瓶2元计费，超出10瓶的部分则按照每瓶1.5元的优惠单价计费.而大瓶装饮用水每瓶的标准容量为500毫升，由于进货成本相对稳定，其售价实行统一固定定价，无论居民一次性购买多少瓶（购买数量为正整数，且），每瓶售价均为3元，不额外设置数量折扣.在一个周末的上午，该社区居民王先生打算为家里储备一批饮用水，他来到这家便民超市后，首先在小瓶装饮用水货架前确定了购买数量，结账时支付了26元；随后他又转到大瓶装饮用水货架前，根据家庭一周的饮水量估算了购买数量，结账时支付了18元.假设王先生在购买过程中，两种规格饮用水的每瓶实际容量与标准容量完全一致，且将购买的所有小瓶装饮用水和大瓶装饮用水全部倒入一个事先准备好的、足够大的空水桶中时，没有发生任何洒漏、损耗等情况.那么，此时这个水桶中所装饮用水的总容量为________毫升. 【答案】7200 【解析】小瓶装饮用水的数量，当时，最多花费元，而王先生支付了26元，， 设购买小瓶装水瓶，则，解得， 故小瓶装水总容量为毫升， 大瓶装饮用水的数量，已知大瓶每瓶元，支付元，则瓶， 故大瓶装水总容量为毫升， 此时这个水桶中所装饮用水的总容量为毫升. 故答案为：. 6．（2026·高一·辽宁·期中）为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 【解析】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理， 即时，，所以，即， 由题意，建造垃圾回收处理站的费用为， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此. （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以时，最小，最小值为万元. 7．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【解析】（1）该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 【解析】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得， 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 9．（2026·高一·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 【解析】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （3）不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 10．（2026·高一·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【解析】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $