4.2认识一次函数（第一课时）课件 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 4.2 认识一次函数 （第一课时） 北师大版初中数学 八年级上册 1 学习目标 1.经历实验、分析实验数据、表示实验数据等活动，在具体情景中认识“均匀”变化，感悟线性关系； 2.经历一次函数概念的抽象过程，体会一次函数的意义，发展抽象能力； 3.理解正比例函数、一次函数的概念，能够举出一次函数实例，列出一次函数关系式，理解一次函数关系式中参数k、b的实际意义，发展模型观念；（重点） 4.能用一次函数表示简单实际问题中的变量之间的关系，并解决简单的实际问题.（难点） 2 温故知新 1.什么叫函数? 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量 ，y是x的函数. 2.自变量的取值范围： 使函数有意义的自变量所有取值的范围，称作函数自变量的取值范围。求法：使函数关系式有意义；且符合实际意义. 3.函数值：在自变量取值范围内，当自变量x取一个值时，求出对应的y的值称为函数值。 3 温故知新 4.写出下列函数自变量的取值范围： （1）x为任意实数； （2）x为任意实数； （3）x为x≠1的任意实数； （4）x为x≥1的任意实数； （5）x≥-1且x≠1的任意实数； （6）x为任意实数； 总结：函数关系式是 （1）整式形式的函数： 自变量取值范围为全体实数； （2）含分式形式的函数： 使分母≠0； （3）含二次根式形式的函数： 使被开方式子≥0； （4）含0指数、负指数的函数： 使底数≠0 4 温故知新 1）圆的周长 C 随半径 r 大小变化的关系式为 ； C =2πr 3）一颗小树，高100cm.假设它每周长高2cm,那么x周后，小树 的高度h与x的关系式是 . h = 2 x + 100 3.写出两个变量的关系式，它们是函数关系吗？ 2）正方形的周长 y 随边长x大小变化的关系式为 ； y = 4 x 情 景 引 入 在故宫的交泰殿里，摆着一套神奇的“铜壶滴漏”装置.它没有电池，不用发条，却能精准地计量时间，甚至一昼夜的误差还不到一分钟！古人是怎么做到的呢？ 秘密就藏在“滴水”和“时间”的关系里：日壶的水匀速滴入月壶，月壶匀速滴入星壶，最后受水壶里的水位匀速上升，带动浮箭指向时辰刻度……这种“均匀变化”的规律，和我们今天要学的“一次函数”有着奇妙的联系. 探究新知 探究1.(1) 将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯.每隔1min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表.在坐标纸上描出(t，V)对应的点.你认为漏水量的变化具有什么规律?请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少? 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量 V/mL … 7 探究新知 (2)下表是小明通过实验得到的数据。请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出( t,V )对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少?一年呢?够一个人一年使用吗? 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量 V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 据此估计一天的漏水量为5.5×24×607920(mL)＝7.92(L)， 一年的漏水量为7.920×365＝2890.8(L)， 所以不够一个人一年使用. 探究新知 （3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？ 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量 V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … 如果把漏水时间t作点的横坐标，对应的漏水量V作纵坐标，在直角坐标系中描出各对应点， 如图，观察，你能感受这些点的分布有什么特征吗？ (3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗? 探究新知 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量 V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 解：观察表格数据，可以看出，时间每增加1min，漏水量均匀 增加5.5ml 由此，得 V ＝5.5 t. 探究新知 以小组为单位分享实验结果，并交流下列问题： （1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？ 共同：漏水量随时间的增加而“均匀”地增加. 不同之处： 由于实验条件、操作手法等差异，导致测量出的具体数据有差别； 单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异. 探究新知 （2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面？ 因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、仪器精度、环境条件、操作规范性等。 影响：表格中相同时间漏水量数值不同； 图象倾斜程度和与坐标轴交点有别； 表达式一次项系数和常数项可能改变。 12 （3）假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化？为什么？ 探究新知 表格数据变化幅度增大，图象斜率增大，表达式相关系数改变，因漏水严重改变了变量变化情况。 (4)你如何评价水龙头滴水这种现象？在生活中我们应该怎么做？ 探究2. 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 探究新知 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … (1)根据小颖得到的数据， 在平面直角坐标系中描出(t,l )对应的点. 解：平面直角坐标系中描出(t,l )对应的点如图所示。 探究新知 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … (2)估计燃烧10min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由. 解：燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度为 17.9 cm. 理由如下：据表可知，每分钟燃烧 0.5 cm， 一根完整的驱蚊线香的长度为22.4+0.5=22.9 cm，10 min 燃烧0.5×10=5 cm， 所以 10 min 后可燃烧部分的长度为22.9－5=17.9 cm. 或：燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是0.5×（10-1 ）= 4.5 cm。 则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为 22.4 - 4.5=17.9 cm。 (3)估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。 探究新知 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … 由题意列代数式，得 l＝22.4－0.5(t－1)＝22.9－0.5t， 当 l＝0时，t＝45.8，∴这根香可燃烧 45.8 min。 或：由（2）得，一根完整的驱蚊线香的长度是 22.9 cm， 每分钟燃烧 0.5 cm. 所以这根香可燃烧：22.9÷0.5=45.8(min). (4)试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式。 探究新知 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … l=22.9－0.5t （0≤t≤45.8） 思考1：香可燃烧部分的长度是如何变化的？ 思考2.为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？ 在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min，香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm. 也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少. 因为香的原材料分布均匀，燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定. 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的. 探究新知 思考1：香可燃烧部分的长度是如何变化的？ 思考2.为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？ 在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min，香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm. 也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少. 因为香的原材料分布均匀，燃烧过程中，其与氧气接触的条件相对稳定等因素. 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的. 问题4 .“均匀”变化的现象有哪些？ 均匀递增现象 均匀递减现象 问题3.生活中还有哪些“均匀”变化的现象？ 钟表指针旋转、行车路程与匀速行驶时间、弹簧均匀受力申长、...... 同步练习 1.以下情况属于均匀变化的是(    ) A.随着时间推移,一个人走路的速度先慢后快 B.向一个空容器注水,前半段时间注水速度快,后半段时间注水速度慢 C.汽车在笔直公路上以固定速度行驶,行驶路程随时间的变化而变化 D.一天中,室外温度从早到晚先升高后降低 C 嘉嘉背诵单词数量的变化(    ) A.是均匀变化,因为每天都在背诵单词 B.是均匀变化,因为每天背诵的单词数量相同 C.不是均匀变化,因为每天背诵的单词数量不相同 D.无法确定 C 2.嘉嘉记录了自己一周每天背诵的单词数量,如下表: 星期 一 二 三 四 五 六 日 单词数 10 12 15 10 18 20 15 同步练习 3.某种水果的单价是6元/千克,当购买x千克水果时,花费为y元,则y与x的函数关系式为　 　 . y=5x 4.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位y(米)与时间x(小时)(0≤x≤5)的函数关系式为　 　.  y=0.3x+6 同步练习 同步练习 距离地面高度(km) 0 1 2 3 4 … 温度(℃) 20 14 8 2 －4 … 请回答下列问题： (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2) t 与 h 之间的关系式是 。 (3)你能估计温度为－19℃时，距离地面的高度是 . 5．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地势的上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象。下面是小明对某地某一时刻距离地面的高度 h 与温度 t 测量得到的表格。 反映了温度和距离地面高度之间的关系，距离地面高度是自变量，温度是因变量. t＝－6h＋20 6.5 km 同步练习 6.水龙头关闭不严会造成滴水，从而造成资源浪费。为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明进行以下试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写了下表. 时间 x/min 0 5 10 15 20 25 30 水量 y/mL 0 30 60 90 120 150 180 (1)建立平面直角坐标系，以横轴表示时间 x ，纵轴表示水量 y ，画出函数图象； (2)试写出漏水量 y 与漏水时间 x 的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量. 同步练习 解：(1)利用描点法画出函数图象,如图所示。 时间 x/min 0 5 10 15 20 25 30 水量 y/mL 0 30 60 90 120 150 180 (2)试写出漏水量 y 与漏水时间 x 的关系式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量. (2)由题意，得关系式 y ＝6x, 一天＝24 h＝24×60 min＝1440 min， 即 x＝1440 min， 则 y＝6×1440＝8640 mL＝8.64 (L), 故这种漏水状态下一天的漏水量为 8.64 L. 同步练习 7.如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，桌面上碗的高度与碗数（个）的变化情况如下表： 碗数 x (个) 1 2 3 4 … 高度 y (cm) 5.5 7 8.5 a … 请根据表中给出的数据信息， 解答下列问题： (1)上表中a的值为______； (2)写出叠放在桌面上碗的高度与碗数（个）之间的关系式； 10 y＝1.5x＋4 (3)你认为这种规格的碗摞放起来的高度能达到 18 cm 吗？为什么？ 同步练习 (3)解:这种规格的碗摞放起来的高度不能达到18cm 理由如下:由(2)知，y=1.5x+4, 当y=18时，则有1.5x+4=18， 解得：x=， ∵x表示碗的个数，为整数， ∴x=不符合题意； ∴这种规格的碗摞放起来的高度y(cm)不能达到18cm. (3)你认为这种规格的碗摞放起来的高度能达到 18 cm 吗？为什么？ 同步练习 8.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表： 其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱． （1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？ （2）写出出售7千克瓜子时的售价； （3）写出y与x之间的关系式； 质量x/千克 1 2 3 4 … 售价y/元 3.6+0.2 7.2+0.2 10.8+0.2 14.4+0.2 … 自变量是瓜子的质量，因变量是售价 25.4元 y=3.6x+0.2 课堂小结 均匀递增现象： 如：匀速行驶的汽车的路程与时间 “均匀”变化的现象 均匀递减现象： 如：匀速燃烧的蜡烛的高度与燃烧时间 自变量均匀增减时，因变量的变化量恒定，变化速度保持不变，常见于匀速运动、固定费率增减等实际情境. 感谢你的观看 CORPORATE 29 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $