4.2 认识一次函数第3课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师版八年级上册 4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 第3课时 梯度计价问题 1.学生能够理解分段计费问题的本质，掌握根据不同计费标准建立费用 与相关变量之间关系式的方法. 2. 能根据所建立的关系式，准确计算不同情况下的费用，并能通过方程 求解特定费用下对应的变量值. 学习目标 复习导入 1.什么是一次函数？ 如果两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y=kx+b (k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y是x的一次函数. 在一次函数y=kx+b 中，当b=0时，称y是x的 . 正比例函数 y=kx(k为常数，且k≠0). 正比例函数是一种特殊的一次函数. 在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 2.什么是正比例函数？ 3.一次函数的结构特征： (1)k ；(2)自变量x的次数是 ；(3)常数项b可以为 . ≠0 1 一切实数 3 1．下列函数关系式：①y＝﹣2x，② ，③y＝﹣2x2，④y＝2，⑤y＝2x﹣1．其中是一次函数的是（　　）    A．①⑤  B．①④⑤  C．②⑤  D．②④⑤ 2．若函数  是一次函数，则m的值为（　　） A．±1    B．0    C．-1   D．1 3．若 是一次函数，则m的值为（　　） A．0    B．-1   C．0或﹣1   D．±1 A C B 复习导入 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元. 乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）. （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：甲公司的费用：15×30＝450（元） 乙公司的费用：10×30＋200＝500（元） ∵ 450＜500， ∴建议租用甲公司的客车. 甲公司： 总费用=单价×里程 乙公司： 总费用=里程费+服务费 探索新知 一次函数---做决策 （2）假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车？ 解：甲公司的费用：15×52＝780（元） 乙公司的费用：10×52＋200＝720（元） ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车。 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 一次函数---做决策 某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元。乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元（不足 1 km 按 1 km 计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为 x 千米是两家收费相同， 甲公司收费为 15x 元，乙公司收费为 (10x+200) 元， 据题意，15x＝10x＋200，解得 x＝40。 ∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。 一次函数---做决策 小结 方案决策问题： （1）根据题意建立等量关系式，整理后写出不同方案的函数关系式，注意自变量取值范围。 （2）将“比较哪家合算”转化为比较两个自变量相同时的函数值大小问题。 课堂小结 8 你知道生活中还有哪些也是相关的计费问题？ 除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。 本质上都是一次函数的应用。 典例分析 一次函数---求最值 A地需要苹果6吨，B地需要苹果10吨，正好M地储备有7吨，N地储备有9吨。现决定将这16吨苹果调往A地和B地，苹果的运费价格如表（单位：元/吨），设从M地调运x（0＜x≤6）吨到A地。 （1）求调运16吨苹果的总运费y关于x的函数关系式； A地 B地 M地 70 120 N地 45 80 （2）求出总运费最低的调运方案，最低运费为多少？ 10 小结 求解现实背景中的一次函数的最值问题的步骤： ①根据题意，理清各变量之间的关系，找到与之对应的等量关系，列出函数表达式，注意自变量的取值范围； ②根据一次函数的性质，通过一次项系数的符号及自变量的取值范围求出最值。 课堂小结 11 【例3】为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： (1)当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式； 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档. 于是 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)， 即 y＝4.83x－303.6 根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式 一次函数---分段计费 (2)某户一年用水量是 250 m3，求该户这一年的水费； 解：当 x＝250 时， y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 用水量 250 m3 在哪一档？ 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 一次函数---分段计费 (3)某户去年一年的水费是 1000.5 元，求该户去年一年的用水量. 解：因为 3.45×220＝759， 4.83×300－303.6＝1145.4， 759＜1000.5＜1145.4， 所以该户用水量属于第二档. 设该户去年一年的用水量为 x m3，则 1000.5＝4.83x－303.6 解这个方程，得 x＝270. 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3. 1000.5 元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？ 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 一次函数---分段计费 （1）在例 3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y (单位：元)与用水量 x 之间的关系式吗？ 当x＞300 时，总水费 y 等于三个档水费之和 分析：此时水费 y 由三部分组成，第一档 220m³ 水费、第二档 (300－220) m³水费以及超出 300 m³ 部分的水费.所以 y = 3.45×220＋4.83×(300－220)＋5.83×(x－300) y = 5.83x－603.6 尝试·思考 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 （2）像例 3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？ ①意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等； ②注意：数据的准确性、灵活性与适应性等； 例如在出租车计费中，k 代表每千米的费用变化对总费用的影响，b 代表固定的服务费等. 讨论k、b对一次函数y=kx+b的影响以及在实际问题（如出租车计费、水费计费）中的意义？ 尝试·思考 题型探究 方法技巧 紧扣一次函数的定义与结构特征进行识别，再将值代入求解. 利用一次函数的关系式求值 例2 已知金属棒的长度L(cm)是温度 t(℃)的一次函数.现有一根金属棒,在 0℃时的长度是200cm，温度每升高l℃,它就伸长0.002 cm. (1) 求l 与t 之间的关系式; (2) 当温度为100 ℃时,求这根金属棒的长度; (3) 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6 cm 时,求金属棒的温度. 典例分析 几何图形中的分类讨论 1. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，运动到点A时停止。设点P经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y。试确定y与x之间的函数表达式。 y＝ 18 1. 小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特 产，寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元；超 过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用。若小李给亲人邮 寄了x(x＞1)千克本地土特产，则快寄的费用y(单位：元)与 x(单位：千克)之间的函数关系式为(　C　) A. y＝12x B. y＝8x＋8 C. y＝4x＋8 D. y＝4x＋12 C 课堂练习 A层 基础练 2. 我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费。如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（    ） A. 10 m3 B. 15 m3 C. 20 m3 D. 25 m3 C 3.为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准: ①若每户居民每月用电量不超过 100 度，则按 0.50 元/度计算:②若每户居民每月用电量超过 100 度,则超过部分按 0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)，现假设某户居民某月用电量是x(单位:度)，电费为y(单位:元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( ) C A B C D 随堂练习 4.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元． (1)分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式； 解：当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y=2x； 当x＞20时，y与x的函数表达式是：y=2×20+2.6（x-20）=2.6x-12 随堂练习 (2)小明家第二季度交纳水费的情况如下： 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额 30元 34元 42.6元 解：因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y=2x, 六月份的水费超过40元，x＞20， 此时y=2.6x-12， 所以把y=30代入y=2x中得， 解得x=15； 把y=34代入y=2x中得， 解得x=17； 把y=42.6代入y=2.6x-12中得， 解得x=21． 所以， 15+17+21=53． 答：小明家这个季度共用水53m3． 小明家这个季度共用水多少立方米？ 随堂练习 时段 收费标准 白天停车 (8：00至20：00) 停车2小时以内(含2小时)，不收费 停车超过2小时，且在6小时以内(含6小时)，超过部分每小时收费3元 停车超过6小时，且在12小时以内(含12小时)，超过部分每小时收费5元 夜间停车 (20：00至次日8：00) 无论停车时间长短10元/辆·次 持续两天及两天以上停车，仅前2小时免费，超过2小时，超过部分每小时收费4元，不足1小时的按1小时计算收费 请回答下列问题： (1)若小刘在9：00进入停车场，到18：30驶出停车场，则小刘应缴停车费多少元？ 解：小刘从9：00到18：30在该停车场共停车9.5小时， 因为6＜9.5＜12，所以5×(9.5－6)＋3×(6－2)＝29.5(元)，所以小刘应缴停车费29.5元 5.从苍山回来之后，小颖和同学回到酒店后发现酒店停车场的收费标准如下： 随堂练习 (2)设白天停车时长为x(x≤12)小时，应缴总费用为y元，请写出y与x之间的函数解析式； 解：解：由题意可得 ①当0＜x≤2时，y＝0； ②当2＜x≤6时，y＝3(x－2)＝3x－6； ③当6＜x≤12时，y＝5(x－6)＋3×(6－2)＝5x－18； 随堂练习 (3)若小王在驶出该停车场时缴费232元，求小王的停车时长． 解：由(2)可得停1天(24小时)应缴52元， 因为232＞52，所以小王停留时间超过1天， 设持续几天停车时，停车费用为w元，停车时间为t小时(t＞24且t为整数)， 所以w＝4(t－2)＝4t－8，令w＝232，则有4t－8＝232，解得t＝60， 因为不足1小时的按1小时计算收费， 所以小王的停车时长在59小时～60小时之间，包含60小时． 随堂练习 6. 依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规 定：公民每月工资、薪金收入不超过5 000元，不需交税；超过5 000元的部分 为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税， 详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率(％) 1 不超过3 000元的部分 3 2 超过3 000元至12 000元的部分 10 3 超过12 000元至25 000元的部分 20 … … … (1)某人7月的总收入为6 500元，他应交税款多少元？ 解：(1)某人7月的总收入为6 500元，应纳税的部分是6 500－5 000 ＝1 500(元)， 按税率表，他应交税款为1 500×3％＝45(元)。 解：(1)某人7月的总收入为6 500元，应纳税的部分是6 500－5 000＝1 500(元)， 按税率表，他应交税款为1 500×3％＝45(元)。 C层 拓展练 6. 依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规 定：公民每月工资、薪金收入不超过5 000元，不需交税；超过5 000元的部分 为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税， 详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率(％) 1 不超过3 000元的部分 3 2 超过3 000元至12 000元的部分 10 3 超过12 000元至25 000元的部分 20 … … … (2)设x表示每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当5 000＜x≤8 000 时，请写出y关于x的函数表达式； (2)当5 000＜x≤8 000时，应交税款y＝3％(x－5 000)＝0.03x－150。 所以当5 000＜x≤8 000时，y关于x的函数表达式为y＝0.03x－150。 (2)当5 000＜x≤8 000时，应交税款y＝3％(x－5 000)＝0.03x－150。 所以当5 000＜x≤8 000时，y关于x的函数表达式为y＝0.03x－150。 C层 拓展练 6. 依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规 定：公民每月工资、薪金收入不超过5 000元，不需交税；超过5 000元的部分 为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税， 详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率(％) 1 不超过3 000元的部分 3 2 超过3 000元至12 000元的部分 10 3 超过12 000元至25 000元的部分 20 … … … (3)某公司普通职员8月应交税款84元，他该月的收入是多少元？ (3)若收入为8 000元，则应交税款为0.03×8 000－150＝90(元)。 因为84＜90，所以该职员的收入少于8 000元。 由题意，得84＝0.03x－150。解得x＝7 800。 答：他该月的收入是7 800元。 C层 拓展练 7.某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2 000~5 000 kg (含2 000 kg和5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案). 方案A:每千克5.8元,由基地免费送货; 方案B:每千克5元,客户需支付运费2 000元. (1)请分别写出按方案A与方案B购买这种苹果的应付款金额y(元)与购买量x(kg) 之间的关系式. (2)x取什么值时,选用方案A与方案B的应付款金额相同? (3)某水果批发商计划用20 000元选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种 苹果,他应选择　　　　(填“方案A”或“方案B”).  C层 拓展练 一次函数在计费问题中的应用 方案优选问题 分段收费问题 课堂小结 $