精品解析：安微省铜陵市第一中学2026～2027学年高一上学期0月质量检测数学试卷

铜陵市第一中学 2026—2027 学年度高一年级 10 月质量检测 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 根据表中数据，可得（ ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数 （），记 ，，，，则 （　　） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（  ）． A. ； B. ； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 若，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的取值范围是__________. 13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 14. 已知，函数若对任意，恒成立，则a的取值范围是__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数的定义域为，集合，． （1）求； （2）命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 解关于的不等式： （1）； （2）； （3）（）． 17. 红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 18. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． （1）求的解集和的解集． （2）若恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 19. 二次函数满足对任意的，恒成立． （1）求证：为定值； （2）若，求二次函数的表达式； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜陵市第一中学 2026—2027 学年度高一年级 10 月质量检测 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 3. 根据表中数据，可得（ ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用表格计算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4. 一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程根的情况可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为一元二次方程，（）有一个正根和一个负根， 所以，解得， 所以一元二次方程，（）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是. 故选：C. 5. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 6. 设函数 （），记 ，，，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出 、，观察归纳出即可求解. 【详解】，，， 观察前几项可得 ，下面进行证明： 当时，，结论成立； 假设当时，成立， 当时，，结论成立， 所以.所以 . 7. 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，只需要的值域包含即可，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，的值域为． 当时，符合题意． 当时，函数的图象开口向上，不符合题意． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 当，且，即时，在上的最大值为， 由题意可得，解得，故． 综上，的取值范围是． 故选：D 8. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求解判别式确定方程有两个不相等的实数根的条件，再通过韦达定理求出两根的关系式，再将关系式代入目标表达式中化简，通过基本不等式化简求解即可. 【详解】由题设，得， 且，， ， 又因为，所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号，所以， 即的最大值为. 故选：C. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特例法、作差比较法逐一判断即可. 【详解】A：由，因此本选项说法正确； B：由不等式的性质可知由，，因此本选项说法正确； C：若，，显然，成立，但是不成立，因此本选项说法不正确； D：因为，， 所以，因此本选项说法正确， 故选：ABD 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负. 【详解】因为的解集为， 所以，解得，所以A错误； 对于B：将代入可得，解得，B正确； 对于C：不等式的解集为， 所以时，C错误； 对于D：将代入可得，即， 解得，D正确， 故选：BD 11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（  ）． A. ； B. ； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 【答案】 【解析】 【详解】由 的定义域可得 的范围，再注意分母不为零. 【解答】由 得 ； 又需 ，即 ， 所以定义域为 . 14. 已知，函数若对任意，恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数的定义域为，集合，． （1）求； （2）命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域，可得集合，解不等式求得集合，利用集合的运算可求得； （2）是的必要不充分条件，可得且，进而分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由且，得，； ， 所以. 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以且. 当时，，此时恒假，“若则为真，而推不出，符合“必要不充分”； 当时，，由得且， 解得，此时的长度为，一定小于的长度，故，符合题意； 综上：. 16. 解关于的不等式： （1）； （2）； （3）（）． 【答案】（1） （2） （3）当时，原不等的解集为；当时，原不等式解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用换元法转化为二次不等式，即可求解； （2）利用分式不等式的解法求解即可； （3）因式分解后，根据与的大小分类讨论可求得不等式的解集. 【小问1详解】 设，不等式即，解得，则得 即，所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得，即， 即，即， 等价于且，解得. 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 原不等式可化为. 当时，解不等式得或； 当时，解不等式得； 当时，解不等式得或. 综上所述：当时，原不等的解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）20万人，最大利润是250万． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到利润，进而求得利润的解析式； （2）由（1）中的函数解析式，分三种情况讨论，结合函数的单调性、二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数最大值，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本， 所以景区一年的利润为. 【小问2详解】 解：①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 18. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． （1）求的解集和的解集． （2）若恒成立，求取值范围． （3）若的解集为，求的范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． 【小问2详解】 恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 19. 二次函数满足对任意的，恒成立． （1）求证：为定值； （2）若，求二次函数的表达式； （3）求的取值范围． 【答案】（1）证明：对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $