精品解析：安微省亳州市第十八中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

高一第一学期阶段性检测数学试题 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 若 ，则 （　　） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若 ，则集合为 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，（舍去）或 ， 当 时集合为 ，符合题意． 故选项A正确. 3. 设命题：对于所有的实数，．用符号语言表示的否定为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题：改量词、否结论． 【解答】：，， 其否定为，． 4. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项. 【详解】A选项，时，，但，A选项错误； B选项，时，，但，B选项错误； C选项，时，，但，C选项错误； D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：D 5. 若 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把 配成“和为定值”的两项，用基本不等式． 【详解】因为 ，所以 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最大值为 ． 6. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， ， 因为，所以，解得或1（舍去）. 故选：B. 7. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式即可得答案. 【详解】因，则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 8. 定义叫做集合的长度，已知集合，集合，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，从而可求出两集合的交集，通过长度为2可求出的值，再求两集合的并集及其长度. 【详解】方程的两根为，的两根为， 当时，， 当时，，，则， 当时，，，则， 因为的长度为2，所以或，得或， 当时，，，则， 当时，，，则 所以的长度为5， 故选：C 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，B，∵（当且仅当时，等号成立），∴，∴，∴A错B对； 对于C，（当且仅当取等号），∴C对； 对于D，，由B选项知，∴D对. 故选：BCD 11. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的常数2移项并通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】即，即，即， 等价于解得，即 所以不等式的解集是： 13. 若实数，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，再对两个倒数用基本不等式即可． 【详解】由得，即， 因为且 ，可知与同号； 若同负，则，，因为， 所以，与矛盾，故，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为． 14. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知， （1）求的取值范围； （2）求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设， 则，解得， ， ， ， 则，即的取值范围为. 【小问2详解】 由于， ，， 则，即的取值范围为. 16. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解不等式，再根据，的真假，分类讨论，即可求得答案； （2）根据是的充分不必要条件，列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. 【小问2详解】 由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取得最大值15（万元） 【解析】 【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元， 依题：当时， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，当时，取得最大值（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值15（万元）， 因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元. 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 【答案】（1）或 （2）①4；②8 【解析】 【分析】（1）由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而求解即可； （2）①根据一元二次不等式恒成立及题设求解即可； ②整理得到，再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或. 【小问2详解】 ①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有. ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8. 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一学期阶段性检测数学试题 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 （　　） A. B. 或 C. D. 3. 设命题：对于所有的实数，．用符号语言表示的否定为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 7. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 定义叫做集合的长度，已知集合，集合，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法中不正确的是（    ） A. 0与表示同一个集合； B. 集合与是两个相同的集合； C. 方程的所有解组成的集合可表示为； D. 集合可以用列举法表示． 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_____． 13. 若实数，且，则的最小值为______． 14. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 四、解答题（共77分） 15. 已知， （1）求的取值范围； （2）求a的取值范围. 16. 已知，. （1）若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $