期中培优：解一元二次方程、由根的数量求参数问题、一元二次方程根与系数的关系专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

期中培优：解一元二次方程、由根的情况求参数问题、一元二次方程根与系数的关系专项训练 期中培优：解一元二次方程、由根的情况求参数问题、一元二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 解一元二次方程 由根的情况求参数问题 一元二次方程根与系数的关系 考点一 解一元二次方程 例1．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 例2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 例3．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； 变式1．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）解方程 (1) (2)； 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）用适当的方法解方程： (1) (2) 变式3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 由根的情况求参数问题 例1．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 例2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例4．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 变式1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 变式2．（2026·辽宁·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 变式3．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 例1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）一元二次方程的两根分别为和，则的值是_________． 例2．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 例3．（26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）关于的方程为． (1)证明：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根，满足，求出的值． 例4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 变式1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）已知，是方程的两个根，则的值为______． 变式2．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）若方程的两个根分别为，，则值为________． 变式3．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于，求的取值范围； (3)若方程的两个根为，，且，求的值． 变式4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求的取值范围． (2)两实数根满足，求的取值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：解一元二次方程、由根的情况求参数问题、一元二次方程根与系数的关系专项训练 期中培优：解一元二次方程、由根的情况求参数问题、一元二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 解一元二次方程 由根的情况求参数问题 一元二次方程根与系数的关系 考点一 解一元二次方程 例1．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）将常数项移到等号左边后，用因式分解法求解； （2）先去括号合并同类项化为一般式，再用因式分解法求解． 【详解】（1）解：原方程化为． 因式分解，得． 或． 解得，． （2）解：去括号，得， 合并同类项，得． 因式分解，得． 或． 解得，． 例2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)无实数根 (4) 【分析】（1）适合配方法解一元二次方程，配方转化成直接开平方的形式求解． （2）选用公式法，先计算判别式，再代入求根公式计算． （3）先整理化成一般形式，计算判别式，根据判别式正负判断方程根的情况． （4）先移项，利用平方差公式因式分解，再提取公因式求解，不要直接两边除以公因式造成丢根． 【详解】（1）解： 解得：． （2）解：，这里 解得：． （3）解： 这里 ， 所以原方程无实数根． （4）解： 或 解得：． 例3．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ． 变式1．（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）解方程 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ． 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项后用平方差公式因式分解求解； （2）运用配方法求解． 【详解】（1）解： 或 解得． （2）解： 配方，得 ． 变式3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)无解 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）运用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况． 【详解】（1）解：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 当时，解得：， 当时，解得：， 方程的解为，； （2）解：， 提公因式得：， 可得：或， 当时，解得：， 当时，解得：， 方程的解为，； （3）解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； （4）解：， 整理得：， 其中，，， ， 方程无解． 考点二 由根的情况求参数问题 例1．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0与根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上：的取值范围是且． 例2．（25-26九年级上·云南德宏·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程有实数根得判别式非负，列不等式求解a的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 即， 解得． 例3．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得. 例4．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】4 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，整理变形后即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∵， ∴． 变式1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得 ， 即 ， 解得 变式2．（2026·辽宁·模拟预测）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0、根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； ∵一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得， 综上，的取值范围是且． 变式3．（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 例1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）一元二次方程的两根分别为和，则的值是_________． 【答案】 【详解】解：原方程可化为，， 由已知，． 例2．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义和根与系数的关系得到，则可求出，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 例3．（26-27九年级上·四川遂宁·阶段检测）关于的方程为． (1)证明：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根，满足，求出的值． 【答案】(1)证明：一元二次方程为， ，，， ， ， ，即， 方程有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】（1）根据根的判别式的值的符号即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根的和与两根的积，再根据，代入即可得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根，， ，， ， ， ， 解得． 例4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程有两个实数根得，据此列不等式求解即可； （2）先利用一元二次方程根与系数关系写出两根之和、两根之积，把变形为代入求解，再结合（1）中的范围舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 左边因式分解，得， 或， 解得或， 由（1）可知， ∴． 变式1．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）已知，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴． 变式2．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）若方程的两个根分别为，，则值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义，再结合根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，整理得 ； ∵， 将代入， 则原式． 变式3．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于，求的取值范围； (3)若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) 证明：在方程中， ，，， ∴， ∵不论取何值，，即， ∴不论为何值，方程总有两个实数根． (2) (3) 的值为或 【分析】（1）利用根的判别式结合平方数的非负性进行证明即可； （2）利用因式分解法解方程可得，，因此，从而求出的取值范围； （3）由根与系数的关系表示出与，结合完全平方公式变形可得，将题干条件通分后代入求解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 因式分解，得， 解得，， 由题意可知，， ∴； （3）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 经检验，或都是关于的分式方程的解， ∴或． 变式4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求的取值范围． (2)两实数根满足，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用，求解参数时需要考虑根的存在条件进行解答． 【详解】（1）解：由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，可得： ， 解得． （2）解：由题意得，，， 代入得， 整理得，， 解得或， ， 舍去． 综上，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $