期中培优：矩形的判定与性质5种高频考点培优专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

期中培优：矩形的判定与性质5种高频考点培优专项训练 期中培优：矩形的判定与性质5种高频考点培优专项训练 考点目录 利用矩形的性质求解 利用矩形的性质证明 矩形中的折叠问题 直角三角形斜边的中线等于斜边一半 矩形的判定与性质综合 考点一 利用矩形的性质求解 例1．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即的度数为． 例2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，垂足为点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得到，，则，再根据题意可求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 例3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点M，N分别为，的中点，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质求出对角线的长，进而得到的长，利用中点定义求出的长，利用三角形中位线定理求出的长，最后求和即可； 【详解】解： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， 在中，， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∴的周长． 例4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，点E是的中点，连接、，且，若，则的长是______． 【答案】 【分析】点E是的中点，由可知，又，在中，利用勾股定理可求，再求的长． 【详解】解：点E是的中点， ， ， ， 矩形中，，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ． 变式1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质容易判定是等边三角形，则，进而求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，矩形的面积为cm2，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，. 变式3．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 【答案】 【分析】根据矩形对边平行的性质判定重叠部分为平行四边形，由交叉角为及矩形直角性质判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出平行四边形的底边长，结合矩形宽求出面积． 【详解】解：如下图，设与交于点N， ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴重叠部分为平行四边形，且该平行四边形在边上的高为， ∵两张纸片交叉所成的角， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴重叠部分的面积． 变式4．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是________． 【答案】72 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，利用矩形的性质，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F， 根据题意，得， ∴四边形是平行四边形． ， ， ， ， 根据题意，得矩形的宽为， ， ， 故重叠部分图形的面积是：； 考点二 利用矩形的性质证明 例1．（26-27九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 【分析】证明四边形是平行四边形即可． 【详解】略 例2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，四边形为矩形，，分别是边，上的中点，连接，，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，，， ，分别是边，上的中点， ∴，， ， 四边形是平行四边形， ． 【分析】根据矩形的性质得，，，再由中点的定义进一步得出，即可证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等即可得出结论． 【详解】略 例3．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）矩形纸片，其中，，将矩形纸片对折，使A与B重合，C与D重合，折痕为（如图1），然后展开，再将矩形进行第二次折叠，使点C与点A重合，折痕为（如图2），然后展平，两条折痕交于点P． 猜想证明： (1)求证：； (2)若时，求线段的长． (3)连接，，，（如图3），判断四边形的形状，并说明理由． (4)如图4，若，点N是线段上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，交线段于点O，当是直角三角形时，直接写出此时的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， 折叠， ， ， ； (2) (3)四边形是平行四边形，理由如下： 由第一次折叠可得，，， ， 由第二次折叠可得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； (4)或 【分析】（1）由四边形是矩形，得，进而得， ，即可证明结论； （2）设，由折叠，得，在中，由，求得即可求解 ； （3）根据折叠可得出，，，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，然后根据证明，得出，，再证明，最后根据平行四边形的判定即可得证； （4）分和讨论，根据矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， 折叠， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ； （3）略 （4）解：由题意知， 在中，， ， 解得， ， 当，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 翻折， ，， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，如图， 连接，过作于点， 则四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 解得， ， 过作于点， 则， 即， 解得， ， ， 在中，， ， 解得， ； 综上所述，的长为或． 变式1．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先结合矩形的性质以及点是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，再由菱形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴, ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得四边形是菱形； ∴． 变式2．（26-27九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 又矩形的对角线相交于点， ， 四边形是菱形． 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质可得结论. 【详解】略 变式3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）综合与实践 学习了平行四边形和矩形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形是矩形，连接，过点作于点．用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为点，连接、． 【问题提出】 他们猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】(1)如图，即为所作； (2)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用基本作图，过点作直线的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，， 得到， 再利用垂直的定义得到，接着证明， 所以， 然后根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 考点三 矩形中的折叠问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是矩形，和，可得；由沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，可得；在中，再由勾股定理建立方程，并解出的值，即可得的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，． ∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处， ∴，，， 在和中有， ∴， ∴，． 设，则，， ∴在中，有 ， 即， 解得． ∴． 例2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（     ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】设，先利用勾股定理求出，结合折叠有，根据，，，即可作答． 【详解】解：设， ∵矩形中，，， ∴，， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 例3．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在矩形纸片中，，点分别在边上，将矩形纸片沿分别折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点恰好落在上，连接，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 在中，根据勾股定理得：． 变式1．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）已知长方形纸片的边长，，将长方形纸片沿折叠，使点和点重合，则重合部分的面积是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和勾股定理求出的长，进而得到重合部分的面积． 【详解】解：将长方形纸片沿折叠，使点和点重合， ，， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 变式2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论：与的夹角为或与的夹角为． 【详解】解：当与的夹角为时，， 根据折叠的性质，有， 在矩形中，， ； 当点在矩形内部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， 根据折叠的性质，有， ； 当点在矩形外部时，与的夹角为，即， 在矩形中，， ， 根据折叠的性质，有， ； 综上，或或． 变式3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，分别是边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为 ______． 【答案】 【分析】设，则，根据勾股定理求出的值，利用翻折的性质和勾股定理可得． 【详解】 解：如图，在矩形中，，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 　　， 　　， 　　由翻折可知：， 　　， 　　， ， ， ， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 考点四 直角三角形斜边的中线等于斜边一半 例1．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，为的中点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质可得，则． 【详解】解：在中，点为斜边的中点， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边中线定理可得，利用勾股定理解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，是的中线， ∴， ∵在中，根据勾股定理有， ∴． 例3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿移动到，则点出发 __________ 秒时，是等腰三角形． 【答案】或4 【分析】根据等腰三角形的性质，分情况讨论中哪两条边相等，再结合已知条件求出点移动的时间． 【详解】解：分两种情况：当点移动到的中点时， ∵，， ∴， ∴点出发的时间； 当点移动到时， ∴点出发的时间； 综上所述：点出发或4秒时，是等腰三角形． 变式1．（26-27九年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，两段公路互相垂直，公路的中点D与点B被湖隔开，若测得的长为，则B，D两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：，点D是的中点， ∴． 变式2．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据刻度尺读出斜边的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质求出的长． 【详解】解：由图可知，点A对应的刻度为，点B对应的刻度为， ∴线段的长度为：（）． ∵，为边的中点， ∴是斜边上的中线． 根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），可得：， ∴（）． 变式3．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由求出，结合中点定义求出，再次利用直角三角形斜边中线性质求出； 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中点， ， 在中，为的中点， ． 考点五 矩形的判定与性质综合 例1．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)已知菱形的周长为，面积为，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明； （2）先由菱形的周长求出，再由菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，最后算出． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为， ， ， ， 菱形的面积， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 例2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． (2)12 【分析】（1）根据条件先确定四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一求，再利用勾股定理求，即可求面积． 【详解】（1）略； （2）解：，， ． 在Rt中， ， ． 例3．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由四边形是菱形,得， ；由得；再由，得,四边形是平行四边形；又因为，即可得证四边形是矩形； （2）由四边形是菱形,得，因为所以，在和中根据勾股定理建立方程计算出，回代到三边关系即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴，， 在和中有：， 即， 解得， ∴． 变式2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，E为中点，D为边上一动点（点D不与端点A，B重合），连接，过点A作交延长线于点F，连接． (1)如图1，当时，求证：四边形为矩形； (2)如图2，若，，当长为正整数时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形为矩形； (2)当长为正整数1、2、3、4时，四边形的面积分别为、、、． 【分析】（1）先根据平行的性质，利用证明，结合全等三角形对应边相等，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形和有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）过点C作于点M，先根据勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求得的长，接着由平行四边形的性质可推出四边形的面积，最后由长为正整数分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作于点M， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴四边形的面积， ∵D为边上一动点（点D不与端点A，B重合），，且长为正整数， ∴当时，四边形的面积， 当时，四边形的面积， 当时，四边形的面积， 当时，四边形的面积， 综上，当长为正整数1、2、3、4时，四边形的面积分别为、、、． 变式3．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在中，，为上一点，，，，，． (1)求证：四边形为矩形． (2)若为的中点，连接，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形． 又， ， 平行四边形为矩形． (2)10 【分析】（1）根据两组对边分别平行先判定平行四边形，再有一个内角是直角，得到矩形． （2）先求，算出；再算出斜边；利用直角三角形斜边中线性质求出． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 在中，，， 由勾股定理得 ． ，， ． ， ，是直角三角形． 在中， ． 是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：矩形的判定与性质5种高频考点培优专项训练 期中培优：矩形的判定与性质5种高频考点培优专项训练 考点目录 利用矩形的性质求解 利用矩形的性质证明 矩形中的折叠问题 直角三角形斜边的中线等于斜边一半 矩形的判定与性质综合 考点一 利用矩形的性质求解 例1．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，垂足为点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点M，N分别为，的中点，则的周长为______． 例4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，点E是的中点，连接、，且，若，则的长是______． 变式1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，矩形的面积为cm2，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 变式4．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是________． 考点二 利用矩形的性质证明 例1．（26-27九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 例2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，四边形为矩形，，分别是边，上的中点，连接，，求证：． 例3．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）矩形纸片，其中，，将矩形纸片对折，使A与B重合，C与D重合，折痕为（如图1），然后展开，再将矩形进行第二次折叠，使点C与点A重合，折痕为（如图2），然后展平，两条折痕交于点P． 猜想证明： (1)求证：； (2)若时，求线段的长． (3)连接，，，（如图3），判断四边形的形状，并说明理由． (4)如图4，若，点N是线段上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，交线段于点O，当是直角三角形时，直接写出此时的长． 变式1．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若平分，，求的长． 变式2．（26-27九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点，，．求证：四边形是菱形． 变式3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）综合与实践 学习了平行四边形和矩形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形是矩形，连接，过点作于点．用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为点，连接、． 【问题提出】 他们猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 (1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 考点三 矩形中的折叠问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（     ） A．3 B．5 C．4 D． 例3．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在矩形纸片中，，点分别在边上，将矩形纸片沿分别折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点恰好落在上，连接，则的长为___________． 变式1．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）已知长方形纸片的边长，，将长方形纸片沿折叠，使点和点重合，则重合部分的面积是（     ） A． B．2 C． D．4 变式2．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在矩形纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点P．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 变式3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，分别是边上的点，将四边形沿翻折至四边形，点落在边上，且，则的长为 ______． 考点四 直角三角形斜边的中线等于斜边一半 例1．（26-27九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，，为的中点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，中，，，，动点从出发，以的速度沿移动到，则点出发 __________ 秒时，是等腰三角形． 变式1．（26-27九年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，两段公路互相垂直，公路的中点D与点B被湖隔开，若测得的长为，则B，D两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，D为的中点，以为斜边作，F为的中点．若，则的长为______． 考点五 矩形的判定与性质综合 例1．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)已知菱形的周长为，面积为，求的长． 例2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 例3．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 变式1．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 变式2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，E为中点，D为边上一动点（点D不与端点A，B重合），连接，过点A作交延长线于点F，连接． (1)如图1，当时，求证：四边形为矩形； (2)如图2，若，，当长为正整数时，直接写出四边形的面积． 变式3．（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在中，，为上一点，，，，，． (1)求证：四边形为矩形． (2)若为的中点，连接，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $