2026-2027学年人教版九年级上册数学期中检测题（25-28章）

2026-2027学年人教版九年级上册数学期中检测题（25-28章） 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）德宏芒市傣族剪纸被列入国家级非物质文化遗产名录，下列剪纸作品中为中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 4．（本题3分）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图是二次函数(a，b是常数)的图象，则关于反比例函数的性质，下列叙述正确的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象在第一、三象限 7．（本题3分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图是二次函数（是常数，）的图象，对称轴是直线．下列说法：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的是（     ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②③⑤ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）若关于x的方程其中一个根是1，则为 ___________． 12．（本题3分）若反比例函数的图像位于第二、四象限，则的取值范围是________． 13．（本题3分）当时，二次函数的最大值为______． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为________． 15．（本题3分）已知，如图，在菱形中，，，点是上一点且．将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，则的长为________． 16．（本题3分）如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标； (2)求的面积． 19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于，求的取值范围； (3)若方程的两个根为，，且，求的值． 20．（本题8分）如图，抛物线与直线交于点，，且点在轴上． (1)求和的值； (2)结合图象写出关于的不等式的解集． 21．（本题9分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反映，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米． (1)设利润为，求利润与售价的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 22．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； (3)若点是轴上的一点，且，求出点坐标． 23．（本题10分）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 24．（本题12分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年人教版九年级上册数学期中检测题（25-28章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C C A D C D 1．D 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据定义判断即可． 【详解】解：对于选项A：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项C：不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是中心对称图形，符合题意． 2．A 【分析】根据未知数个数、最高次数、二次项系数是否非零三个维度判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项，方程整理为，是整式方程，仅含一个未知数，最高次数为2，二次项系数不为0，符合题意． B选项，分母含未知数，是分式方程，不符合题意． C选项，未说明，当时方程不是一元二次方程，不符合题意． D选项，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意． 3．C 【详解】已知抛物线解析式为，， 则的开口向下，有最大值3， 故选项B、D错误． 的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，C正确． 4．A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 5．C 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 6．C 【详解】解：根据二次函数(a，b是常数)的图象知，， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， 观察四个选项，只有选项C符合题意． 7．A 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 8．D 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到矩形空地的边缘，剩余草坪可拼成一个新矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程： ． 9．C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 10．D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置及增减性，逐一判断各结论的正确性． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； 抛物线与轴交于正半轴，则； 对称轴为直线，则， ∴，故①错误； 由得，故②正确； 抛物线与轴有两个交点，则，故③正确； 当时，，由图象可知此时，即，故④错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故⑤正确； 综上，正确的结论是②③⑤． 11． 【详解】解：将代入原方程得，， 解得：． 12． 【分析】根据反比例函数图像所在象限确定比例系数的符号，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴，解得：． 13．10 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据开口方向向上，结合x的取值范围，与对称轴距离越大的函数值越大，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵，，，且， ∴时，函数取得最大值，最大值为． 14． 【分析】利用关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数的规律，求解得到对称点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，则其关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 因此所求点的坐标为． 15． 【分析】连接，过点O作于点Q，证明为等边三角形，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，，证明点、C、Q在同一直线上，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，过点O作于点Q，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 根据旋转可得：，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴点、C、Q在同一直线上， ∴， ∴． 16．或 【分析】过点作于点，求出的高，面积；分两种情况讨论：未完全进入矩形时，重叠面积为总面积减去左侧未进入的小三角形面积；穿出矩形时，重叠面积为总面积减去右侧穿出的小三角形面积；分别列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 如图，过点作于点，设交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∴， ∵， ∴，即点在矩形的上边所在直线上， 当与矩形重叠部分的面积为时，分两种情况讨论： ①当未完全进入矩形时， 即此时点在点的左侧，，重叠部分面积， ∵ ∴左侧未进入部分为等腰直角三角形， 依题意，， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当穿出矩形时，即，此时点在点的右侧，超出部分长度为，重叠部分面积， ∵， ∴右侧穿出部分为等腰直角三角形， ∴同①得， 解得，， ∵， ∴， 综上所述，运动时间为或时，与矩形重叠部分的面积为． 17．(1) (2)． 【详解】（1）解：由， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ， ∴， ∴． 18．(1)如图，即为所求： ， ， ， (2) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出坐标并画出图形； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 19．(1) 证明：在方程中， ，，， ∴， ∵不论取何值，，即， ∴不论为何值，方程总有两个实数根． (2) (3) 的值为或 【分析】（1）利用根的判别式结合平方数的非负性进行证明即可； （2）利用因式分解法解方程可得，，因此，从而求出的取值范围； （3）由根与系数的关系表示出与，结合完全平方公式变形可得，将题干条件通分后代入求解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 因式分解，得， 解得，， 由题意可知，， ∴； （3）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 经检验，或都是关于的分式方程的解， ∴或． 20．(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线解析式为，直线解析式为， 联立，得， 解得， 当时，， 当时，， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 21．(1)，的取值范围是． (2)大米售价定为7元时利润最大，最大利润为2550元． 【分析】（1）根据题意将每千克利润与数量用含的代数式表示出来，再根据“总利润每千克利润数量”列式即可； （2）将二次函数化为顶点式，再利用函数的增减性求解． 【详解】（1）解：由题意知每千克利润为元，数量为千克， ∴总利润， ∵以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售， ∴， ∴利润与售价的函数关系式为，的取值范围是． （2）解：， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象开口向下，， ∴在时，随的增大而增大， 则在处取得最大值，此时（元）． ∴当大米售价定为7元时利润最大，最大利润为2550元． 22．(1)， (2)和 (3)或 【分析】（1）用待定系数法分别计算两个函数的解析式即可； （2）先求出点的坐标，再结合图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象的上面的部分即可； （3）求出点的坐标，设点的坐标为，然后把三角形的面积用含的代数式表示出来，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点，点的横坐标为， ， 的坐标为， 把点、点代入得： ， 解得：， ． （2）解：点、点， 观察图象可知一次函数在反比例函数上方的部分为：和． 自变量的取值范围是和． （3）解：如图， 在中，令得， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则， ， ， 整理得：， 解得：或， 点的坐标为或． 23．(1)①； ②证明：如图2， 由①可得，， ∵， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）①根据四边形是菱形，，得，，进而可求出，根据旋转性质得，，，即可得，根据四边形内角和为360度即可得的度数为． ②由①可得，，根据即可求出，进而得，，即可判断四边形是平行四边形，进而得四边形是菱形． （2）根据旋转性质得，再根据菱形性质得，进而可判断四边形是平行四边形，即可得，再根据，计算得，即可得． 【详解】（1）①解：如图1， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴，，， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴的度数为． ②略 （2）解：如图3， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 答案第18页（共18页） 答案第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $