期中特色题复习专题 （含阅读与思考、项目式学习、综合与实践）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第1-4章期中特色题复习专题 1．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 2．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“领航”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动． 第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率． 第二步，整理数据． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ … … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)表格中错误的数据是第______组，与的函数表达式为______； (2)直接写出大于时的取值范围为______． 3．阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 4．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验．第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起（如图）．第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉．第三步：改变弹簧秤到中点的距离（单位：），记录弹簧秤的示数（单位：N），得到的数据如下表：在数据分析时，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．我发现一组数据可能是错误的，于是重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改．实验结束后，大家都很高兴，感觉收获颇多． 任务： ．．． 10 15 20 25 30 ．．． ．．． 30 20 15 13 10 ．．． (1)在小宇同学的日记中，数据分析的过程主要运用的数学思想是 ． A．数形结合    B．统计思想    C．分类讨论    D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是错误的（不必说明理由）？直接写出关于的函数表达式． (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)若要使弹簧秤的示数不超过，则弹簧秤到中点的距离至少为____________． 5．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 6．阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 7．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”． 第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，计算收集数据如下： ... 5 10 15 20 25 ... ... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ... 第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______； A．数形结合             B．类比思想            C．分类讨论             D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (4)请直接写出：若想大于30W，的取值范围． 8．阅读与思考 下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如果，，那么，即，得，即是的最小值，当时，等号成立． 例题：当时，求的最小值． 解：令，，由，得， ∴， 故当时，有最小值2． 任务： (1)填空：已知，只有当______时，有最小值，最小值为______． (2)如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值． 9．阅读材料 公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的．那么．退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？ 在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角置于平面直角坐标系中，角的一边与的图象交于点M，在轴上，以点M为圆心，为半径画弧交的图象于点N．分别过点M和N作轴和轴的平行线，两线相交于点E，F，和相交于点G，连接得到． 此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明．下面是他的部分证明思路： 由题意，可知点M，N在反比例函数的图象上， 先假设点M，N的坐标分别为，， 则点E，F的坐标可表示为， 则直线的表达式为__________． 由此，可以判断矩形的顶点E在直线上． … 请根据以上材料，解答下列问题： （1）用含，的代数式表示直线的表达式：__________． （2）试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“”的证明．    10．阅读材料，并完成相应任务． 罗氏解法“罗氏解法”由美籍华裔数学家、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-ShenLoh）提出，该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系（即韦达定理），通过“对称设元”和“平方差公式”进行推导，最终自然推导出传统的求根公式． 下面以解方程为例进行分析． 解：设方程的两个根分别为，， 第一步：由韦达定理写出两根之和与两根之积 ，； 第二步：求平均数 ； 第三步：设两根为“平均数每个根到平均数的距离” ∴设，， 第四步：代入两根之积，求 则，； 第五步：回代写出两根 ，； (1)对于方程，由韦达定理可知两根之和为________，两根之积为________． (2)用罗氏解法解方程． 11．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： (1)利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． (2)小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 12．下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 13．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．   第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P． 第二步，整理数据． … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务：    (1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______； (2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象； (3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围． 14．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： (1)请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． (2)请补全问题2中的解题过程． (3)已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 15．阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 16．阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 17．阅读与思考 下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 中外比点 概念理解：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． 深入理解： 材料一：如图1，点P是线段的中外比点，，整体线段为，大线段为，小线段为，根据中外比点的概念可得线段比例关系为___________． 材料二：在材料一的基础上，若，求的长． 解：设，则． …… 任务： (1)材料一横线处所缺内容为___________． (2)补全材料二的求解过程． (3)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作线段的中外比点C．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 18．阅读与思考 请阅读小明的数学日记，并完成相应的任务． 日期：3月16日星期一天气：晴  心情：愉悦 猜想、证明与拓广 今天的数学课热闹非凡，李老师提出了一个探究问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积均是已知正方形周长和面积的2倍？大家都觉得可以，李老师让同学们对猜想的结果进行证明，结果发现不存在这样的正方形． 此时李老师又提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知矩形周长和面积的2倍？经过一阵激烈地讨论，最后大家决定先从特殊的矩形开始探究：已知矩形的宽和长分别为1和2，那么是否存在满足条件的矩形？ 根据前面的经验，同学们都想到了先设大矩形的宽和长，并思考存在的数量关系： 假设存在这样的矩形，令倍增后矩形的宽和长分别为x和y． 根据题意可得二元二次方程组： 思路①：从“数”的角度，可将该方程消元转化成一元方程，再求解．若方程组有解，说明存在满足条件的矩形，若方程组无解，说明不存在满足条件的矩形． 思路②：从“形”的角度，可将该方程组变形为通过函数图象进行判断，若两个函数图象有交点，说明存在满足条件的矩形，若两个函数图象没有交点，说明不存在满足条件的矩形． 课后同学们积极讨论，是否所有的矩形都满足存在周长和面积倍增的矩形． 任务： (1)请按照思路①写出完整的证明过程，若存在，计算出满足条件的矩形宽和长；若不存在，请通过计算说明理由． (2)请按照思路②在下面的平面直角坐标系中画出满足条件的函数图象，给出相应的结论，并说明理由． 19．阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 20．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： (1)直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． (2)补全问题②的解答过程． (3)若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 21．阅读与思考 阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 22．阅读与思考请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 对余四边形【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作“对余角”．如图1，在四边形中，，则四边形为对余四边形，和为对余角． 【问题解决】 问题1：若四边形为对余四边形，和为对余角，则__________°． 问题2：如图2，四边形为对余四边形，和为对余角，且，，连接．试证明． 证明：如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． ， ，即． 又，， ． ，． …… 任务： (1)填空：问题1中，__________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图4，在中，，．作出以A，B，C，D为顶点的四边形，使得该四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 23．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 24．综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： (1)根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； (2)问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 25．综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； (2)若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 26．综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 27．项目式学习 项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量． 项目素材： 素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）． 素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡． 问题解决： (1)设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______； (2)求这个空矿泉水瓶的质量． 28．项目式学习 项目主题 探索销售中的定价问题 项目背景 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商场店铺老板（店主）瞄准商机，准备购进“哭哭马+笑笑马”组合套装进行售卖． 市场调研 该老板（店主）以40元/套的成本购进一批“哭哭马笑笑马”，现按60元/套的价格进行销售，平均每天可以卖出100套，为了提高利润，经市场调研发现，组合套装每涨价2元，每天会少卖出5套，且商场规定组合套装的价格不得高于70元/套，设老板（店主）准备将每个套装涨价元… 分析问题 (1)当涨价元时，每个套装“哭哭马笑笑马”的利润为__________元，此时平均每天可卖出__________套． 解决问题     (2)若老板（店主）想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 29．项目式学习 项目背景：某校有一块劳动实践基地，综合实践小组对该基地进行了调查与测算，形成了如下活动报告． 项目主题 劳动实践基地的调查与测算 驱动任务 测算实践基地的相关数据 活动过程 数据说明：劳动实践基地一侧依托围墙，且围墙长为，基地其余外围边界与内部隔断全部使用隔离带搭建，所有隔离带总长度为．整块基地被分割为三块矩形区域：①号地块为果蔬育苗区，②号地块为果蔬种植区，③号地块为果实采收分拣区．其中，．②号果蔬种植区与③号果实采收分拣区的面积之和为． 图示：   交流展示 请根据上述数据，计算的长． 30．项目化任务 项目情境：在反比例函数的学习中，我们掌握了基本反比例函数的图象与性质，而生活与数学探究中，常出现形式更为复杂的变形反比例函数．本次我们以函数为研究对象，开展函数图象与性质的项目化探究，通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程，解锁该类函数的核心规律． 项目准备： 我们先对函数进行拆分变形，将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式，便于对比探究：，借助基本反比例函数，完成下表数据填写： … 1 2 4 … … 8 4 2 1 … … 1 0 10 6 4 3 … 项目探究任务： (1)图象绘制任务：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数的函数值为纵坐标，描出表格中的对应点，将轴左侧各点、右侧各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． (2)性质分析任务：结合绘制的图象与表格数据，完成下列探究问题： ①当时，函数值随自变量的增大呈现怎样的变化趋势？________ ②对比基本反比例函数，请说明函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？________ ③若点是函数图象的对称中心，请直接写出的数值．________ (3)代数论证任务：设、是函数图象上的两个点，且满足，试通过代数计算，求出的值． 31．项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 32．综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 33．项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 34．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 35．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 36．综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 37．【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 38．综合与实践 【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件． 信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元． 信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示． 售价x（元） 90 95 100 105 110 月销量y（件） 108 104 100 96 92 信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件． 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________． (2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？ (3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题： ①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围； ②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量． 39．项目化学习 项目背景：为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．综合实践小组的同学围绕“实验田的测量及计算”开展项目学习活动，形成如下活动报告： 项目主题 实验田的测量及计算 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是； 【设计图纸】用篱笆将实验田围成一个梯形，梯形满足，且边上留一个1米宽的门； 【准备材料】现有篱笆的长度是15米． 解决问题 当的长度是多少时，才能使所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ 请你帮助实践小组的同学解决以上问题． 40．综合与实践 【问题背景】 近几年，越来越多的演唱会落地，让有多年建城史的太原多了一个新标签——歌迷之城．如图为山西体育场某次演唱会的座位图，四周为看台座，中间为内场座，数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置、互不影响，以下数据均为内场数据； 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数−已入场人数； 条件3：山西体育场最多可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】 本次演唱会提前80分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足函数关系式：． （1）当开放4条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为 人，排队人数与安检时间的函数关系式为 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入地分析，以提高模型的准确性和实用性． 41．项目学习 项目背景：为进一步推动全国范围内劳动教育的实施，提供一套翔实丰富的方案，以指导学校和教育机构开展劳动教育活动，我省某校数学老师围绕“用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒”让学生展开讨论，形成了如下活动报告： 活动主题 用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒 驱动任务 利用二次函数的最值设计侧面积最大的无盖纸盒 活动内容 根据题意列出有关纸盒高度的二次函数的关系式，利用性质确定侧面积最大的无盖纸盒的高． 活动过程 一、方案说明：图1是一张正方形硬纸板，然后在它的四个角上各剪方形，最后将剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒 二、数据测量：测得图1中正方形纸板的边长为，每个角上被剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 三、计算： 交流展示 请根据表中的数据写出无盖纸盒的侧面积单位：与小正方形的边长单位：的函数关系式，并求出侧面积y的最大值． 42．项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ (3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 43．项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-4章期中特色题复习专题 1．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 2．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“领航”小组的同学，参加了一次“探究电功率与电阻之间的函数关系”的活动． 第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率． 第二步，整理数据． 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ … … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务： (1)表格中错误的数据是第______组，与的函数表达式为______； (2)直接写出大于时的取值范围为______． 3．阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 4．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验．第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起（如图）．第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉．第三步：改变弹簧秤到中点的距离（单位：），记录弹簧秤的示数（单位：N），得到的数据如下表：在数据分析时，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．我发现一组数据可能是错误的，于是重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改．实验结束后，大家都很高兴，感觉收获颇多． 任务： ．．． 10 15 20 25 30 ．．． ．．． 30 20 15 13 10 ．．． (1)在小宇同学的日记中，数据分析的过程主要运用的数学思想是 ． A．数形结合    B．统计思想    C．分类讨论    D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是错误的（不必说明理由）？直接写出关于的函数表达式． (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)若要使弹簧秤的示数不超过，则弹簧秤到中点的距离至少为____________． 5．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 6．阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 7．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”． 第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，计算收集数据如下： ... 5 10 15 20 25 ... ... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ... 第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______； A．数形结合             B．类比思想            C．分类讨论             D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (4)请直接写出：若想大于30W，的取值范围． 8．阅读与思考 下面是小米同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如果，，那么，即，得，即是的最小值，当时，等号成立． 例题：当时，求的最小值． 解：令，，由，得， ∴， 故当时，有最小值2． 任务： (1)填空：已知，只有当______时，有最小值，最小值为______． (2)如图，P为双曲线上的一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求的最小值． 9．阅读材料 公元前5世纪，古希腊学者提出了一个问题：能否用尺规三等分一个任意角？为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家们才证明了“三等分任意角”是不能用尺规完成的．那么．退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢？ 在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯给出的一方法如下：如图，将给定的锐角置于平面直角坐标系中，角的一边与的图象交于点M，在轴上，以点M为圆心，为半径画弧交的图象于点N．分别过点M和N作轴和轴的平行线，两线相交于点E，F，和相交于点G，连接得到． 此时，爱思考的小明对这一结论展开了证明．下面是他的部分证明思路： 由题意，可知点M，N在反比例函数的图象上， 先假设点M，N的坐标分别为，， 则点E，F的坐标可表示为， 则直线的表达式为__________． 由此，可以判断矩形的顶点E在直线上． … 请根据以上材料，解答下列问题： （1）用含，的代数式表示直线的表达式：__________． （2）试接着上面小明所提供的证明思路，继续完成“”的证明．    10．阅读材料，并完成相应任务． 罗氏解法“罗氏解法”由美籍华裔数学家、卡耐基梅隆大学数学系教授罗博深（Po-ShenLoh）提出，该方法的基础思想是根据一元二次方程的根与系数的关系（即韦达定理），通过“对称设元”和“平方差公式”进行推导，最终自然推导出传统的求根公式． 下面以解方程为例进行分析． 解：设方程的两个根分别为，， 第一步：由韦达定理写出两根之和与两根之积 ，； 第二步：求平均数 ； 第三步：设两根为“平均数每个根到平均数的距离” ∴设，， 第四步：代入两根之积，求 则，； 第五步：回代写出两根 ，； (1)对于方程，由韦达定理可知两根之和为________，两根之积为________． (2)用罗氏解法解方程． 11．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： (1)利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． (2)小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 12．下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细简读并完成相应的任务． 求（为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求 （为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏． 方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2． 可得．即 方法2：“递归法”（设）． 由完全平方公式可得， ． 我们列出特殊情况：． 两边分别相加可得．． ． 任务： (1)若，则______． (2)的和能是50吗？如果能，请求出值，如果不能，请说明理由． (3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》中记载着一道受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” (4)我们知道：则______． 13．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，参加了一次“探究电功率P与电阻R之间的函数关系”的活动．   第一步，实验测量．根据物理知识，改变电阻R的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率P． 第二步，整理数据． … 3 6 9 12 15 … … 3 1.5 1 0.75 0.7 … 第三步，描点连线．以R的数值为横坐标，对应P的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数值为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记． 任务：    (1)表格中错误的数据是______，P与R的函数表达式为______； (2)在平面直角坐标系中，画出P与R的函数图象； (3)结合图象，直接写出P大于6W时R的取值范围． 14．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的中点值【概念理解】 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值．例如：对于方程，对照标准形式，可得，所以，且，故该方程的中点值为4． 【问题解决】 问题1：若方程的中点值为2，则的取值范围为______． 问题2：已知方程的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 解：∵该方程的中点值是3， ∴对照，可知，解得， ∴原方程为． 又∵该方程的一个根为， ∴…… 任务： (1)请将问题1中的空格补充完整：的取值范围为______． (2)请补全问题2中的解题过程． (3)已知关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3，求的值． 15．阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 16．阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 17．阅读与思考 下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 中外比点 概念理解：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． 深入理解： 材料一：如图1，点P是线段的中外比点，，整体线段为，大线段为，小线段为，根据中外比点的概念可得线段比例关系为___________． 材料二：在材料一的基础上，若，求的长． 解：设，则． …… 任务： (1)材料一横线处所缺内容为___________． (2)补全材料二的求解过程． (3)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作线段的中外比点C．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 18．阅读与思考 请阅读小明的数学日记，并完成相应的任务． 日期：3月16日星期一天气：晴  心情：愉悦 猜想、证明与拓广 今天的数学课热闹非凡，李老师提出了一个探究问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积均是已知正方形周长和面积的2倍？大家都觉得可以，李老师让同学们对猜想的结果进行证明，结果发现不存在这样的正方形． 此时李老师又提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知矩形周长和面积的2倍？经过一阵激烈地讨论，最后大家决定先从特殊的矩形开始探究：已知矩形的宽和长分别为1和2，那么是否存在满足条件的矩形？ 根据前面的经验，同学们都想到了先设大矩形的宽和长，并思考存在的数量关系： 假设存在这样的矩形，令倍增后矩形的宽和长分别为x和y． 根据题意可得二元二次方程组： 思路①：从“数”的角度，可将该方程消元转化成一元方程，再求解．若方程组有解，说明存在满足条件的矩形，若方程组无解，说明不存在满足条件的矩形． 思路②：从“形”的角度，可将该方程组变形为通过函数图象进行判断，若两个函数图象有交点，说明存在满足条件的矩形，若两个函数图象没有交点，说明不存在满足条件的矩形． 课后同学们积极讨论，是否所有的矩形都满足存在周长和面积倍增的矩形． 任务： (1)请按照思路①写出完整的证明过程，若存在，计算出满足条件的矩形宽和长；若不存在，请通过计算说明理由． (2)请按照思路②在下面的平面直角坐标系中画出满足条件的函数图象，给出相应的结论，并说明理由． 19．阅读与思考： 阅读下列材料，并完成相应的学习任务． 倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形．如图1，在中，，，的对边分别为a，b，c．，是倍角三角形． 下面类比等腰三角形的研究思路，对图1所示的倍角三角形的性质进行探究． 角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的中，的取值范围是______． 边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积．即． 如图2，延长到点H，使．连接．则，． 所以． 所以，即．所以． 特殊线段：过点B作边上的高， 若点F为的中点，则．理由如下： 如图3，取的中点P，连接，． 学习任务： （1）材料中的取值范围是______． （2）如图4，在中，，，则的长是______． （3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“”． 20．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 利用数形结合思想巧解二次函数问题思路点拨：在解决二次函数问题时，我们常利用数形结合思想将二次函数中的直线与抛物线相交问题转化为方程解决，即将“形”的形式转化为“数”的形式解决． 例：已知抛物线（a，b为实数，）． ①若时，抛物线与直线有两个交点，设两个交点分别为，．求证：． 证明：当时，抛物线的函数解析式为 ∵抛物线与直线有两个交点，两个交点分别为，， ∴， 整理，得， ∴ ▲ ， ■ ， ∴． ②若，，直线与抛物线相交于两点，其中一个交点的坐标为，求p的值． 解：…… 任务： (1)直接写出研究报告问题①解答过程中“▲”处空缺的内容：　　　　　　（需化简）；“■”处空缺的内容：　　　　　　． (2)补全问题②的解答过程． (3)若点和点都在抛物线上，则　　　　　　（用含a的代数式表示） 21．阅读与思考 阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 22．阅读与思考请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 对余四边形【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作“对余角”．如图1，在四边形中，，则四边形为对余四边形，和为对余角． 【问题解决】 问题1：若四边形为对余四边形，和为对余角，则__________°． 问题2：如图2，四边形为对余四边形，和为对余角，且，，连接．试证明． 证明：如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． ， ，即． 又，， ． ，． …… 任务： (1)填空：问题1中，__________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图4，在中，，．作出以A，B，C，D为顶点的四边形，使得该四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 23．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 24．综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： (1)根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； (2)问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 25．综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； (2)若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 26．综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 27．项目式学习 项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量． 项目素材： 素材一：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁段滑动（点不与点，重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）． 素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡． 问题解决： (1)设右侧托盘中放置物体的质量为，OP的长为．请直接写出关于的函数解析式为______，的取值范围为______； (2)求这个空矿泉水瓶的质量． 28．项目式学习 项目主题 探索销售中的定价问题 项目背景 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商场店铺老板（店主）瞄准商机，准备购进“哭哭马+笑笑马”组合套装进行售卖． 市场调研 该老板（店主）以40元/套的成本购进一批“哭哭马笑笑马”，现按60元/套的价格进行销售，平均每天可以卖出100套，为了提高利润，经市场调研发现，组合套装每涨价2元，每天会少卖出5套，且商场规定组合套装的价格不得高于70元/套，设老板（店主）准备将每个套装涨价元… 分析问题 (1)当涨价元时，每个套装“哭哭马笑笑马”的利润为__________元，此时平均每天可卖出__________套． 解决问题     (2)若老板（店主）想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 29．项目式学习 项目背景：某校有一块劳动实践基地，综合实践小组对该基地进行了调查与测算，形成了如下活动报告． 项目主题 劳动实践基地的调查与测算 驱动任务 测算实践基地的相关数据 活动过程 数据说明：劳动实践基地一侧依托围墙，且围墙长为，基地其余外围边界与内部隔断全部使用隔离带搭建，所有隔离带总长度为．整块基地被分割为三块矩形区域：①号地块为果蔬育苗区，②号地块为果蔬种植区，③号地块为果实采收分拣区．其中，．②号果蔬种植区与③号果实采收分拣区的面积之和为． 图示：   交流展示 请根据上述数据，计算的长． 30．项目化任务 项目情境：在反比例函数的学习中，我们掌握了基本反比例函数的图象与性质，而生活与数学探究中，常出现形式更为复杂的变形反比例函数．本次我们以函数为研究对象，开展函数图象与性质的项目化探究，通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程，解锁该类函数的核心规律． 项目准备： 我们先对函数进行拆分变形，将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式，便于对比探究：，借助基本反比例函数，完成下表数据填写： … 1 2 4 … … 8 4 2 1 … … 1 0 10 6 4 3 … 项目探究任务： (1)图象绘制任务：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，对应函数的函数值为纵坐标，描出表格中的对应点，将轴左侧各点、右侧各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来． (2)性质分析任务：结合绘制的图象与表格数据，完成下列探究问题： ①当时，函数值随自变量的增大呈现怎样的变化趋势？________ ②对比基本反比例函数，请说明函数的图象是由的图象经过怎样的图形变换得到的？________ ③若点是函数图象的对称中心，请直接写出的数值．________ (3)代数论证任务：设、是函数图象上的两个点，且满足，试通过代数计算，求出的值． 31．项目式学习 项目主题 五台山风景文创摆件设计与销售 项目背景 五台山是山西省世界文化遗产、国家5A级旅游景区．某文创工坊设计一款矩形装饰工艺品，工艺品整体外框尺寸长、宽，中间印制五台山风景画，风景画四周留有宽度相等的空白边框．开展线下门店销售活动，请你完成下面项目任务．    项目任务 (1)任务1：若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白边框的宽度是多少？ (2)任务2：已知该工艺品的成本是40元/件，若以100元/件销售，则每天可售出200件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低1元，每天可多售出20件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为24000元？ 32．综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 33．项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 34．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (2)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由 35．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 36．综合与实践： 随着人工智能技术与劳动教育的深度融合，某学校计划在校园内建设一座“智慧农场”，用于学生开展智能化种植实践．其中一块矩形种植区采用智能生态设计：一面利用学校的智能温控墙（墙的最大可用长度为，可实时调节温度与湿度），用总长为的智能感应篱笆（可自动报警防入侵）围成中间隔有一道智能感应篱笆的矩形种植区．数学兴趣小组设计了以下两种方案．设的长为，该矩形种植区的面积为S． 方案一 方案二 设计方法 智能感应篱笆垂直于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 智能感应篱笆平行于墙体，，上各有一个宽为的智能感应门． 图示       (1)分别求出两种方案下，S与x的函数关系式（不要求写x的取值范围）． (2)对于方案一，若矩形种植区的面积为，求此时x的值． (3)若要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择哪个方案？请你写出探究过程． 37．【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 38．综合与实践 【问题情境】“刻花瓷，黑白花，一刀一剔见风华．”平定刻花瓷是山西国家级非物质文化遗产，始于唐、兴于宋，以黑白对比的刻花技艺闻名，被誉为“中国古代陶瓷艺术的活化石”．某文创企业以平定刻花瓷为特色，开发了系列文创产品．某校综合实践小组的同学想要了解该企业某款刻花瓷的销售情况，他们对这款刻花瓷的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该款刻花瓷的成本为50元/件． 信息②：该款刻花瓷的售价（元）不低于80元． 信息③：该款刻花瓷的月销量（件）与售价（元）关系如下表所示． 售价x（元） 90 95 100 105 110 月销量y（件） 108 104 100 96 92 信息④：制作该款刻花瓷每月固定成本（设备折旧、场地租金等）为1000元，且每月最大制作数量为150件． 【问题解决】 (1)任务一：根据收集的信息可知，该款刻花瓷的月销量y（件）与售价（元）之间是_____关系（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），月销量（件）与售价（元）之间的函数关系式为__________． (2)任务二：在销售规律不变的情况下，销售单价为多少时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是多少元？ (3)任务三：该文创企业计划使这款刻花瓷的月利润不低于5000元，请解答下列问题： ①请结合售价与销量的实际关系，确定销售单价（元）的取值范围； ②为进一步扩大市场占有率，企业希望在满足利润条件的前提下尽可能提高销量，试求此时的销售单价及对应的月销量． 39．项目化学习 项目背景：为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．综合实践小组的同学围绕“实验田的测量及计算”开展项目学习活动，形成如下活动报告： 项目主题 实验田的测量及计算 活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等 活动过程 【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是； 【设计图纸】用篱笆将实验田围成一个梯形，梯形满足，且边上留一个1米宽的门； 【准备材料】现有篱笆的长度是15米． 解决问题 当的长度是多少时，才能使所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？ 请你帮助实践小组的同学解决以上问题． 40．综合与实践 【问题背景】 近几年，越来越多的演唱会落地，让有多年建城史的太原多了一个新标签——歌迷之城．如图为山西体育场某次演唱会的座位图，四周为看台座，中间为内场座，数学小组因条件有限仅针对这次演唱会的内场，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：演唱会内场与看台的安检通道分别设置、互不影响，以下数据均为内场数据； 条件2：观众进场需排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数−已入场人数； 条件3：山西体育场最多可为内场开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检10人． 【模型构建】 本次演唱会提前80分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足函数关系式：． （1）当开放4条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为 人，排队人数与安检时间的函数关系式为 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入地分析，以提高模型的准确性和实用性． 41．项目学习 项目背景：为进一步推动全国范围内劳动教育的实施，提供一套翔实丰富的方案，以指导学校和教育机构开展劳动教育活动，我省某校数学老师围绕“用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒”让学生展开讨论，形成了如下活动报告： 活动主题 用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒 驱动任务 利用二次函数的最值设计侧面积最大的无盖纸盒 活动内容 根据题意列出有关纸盒高度的二次函数的关系式，利用性质确定侧面积最大的无盖纸盒的高． 活动过程 一、方案说明：图1是一张正方形硬纸板，然后在它的四个角上各剪方形，最后将剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒 二、数据测量：测得图1中正方形纸板的边长为，每个角上被剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 三、计算： 交流展示 请根据表中的数据写出无盖纸盒的侧面积单位：与小正方形的边长单位：的函数关系式，并求出侧面积y的最大值． 42．项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ (3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 43．项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 证明：时，即， 时，即， 则，， ， ， 又与的相似比为， 与的“视觉比”为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可． 【详解】（1）由题可知，时，， ，解得， 答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为； （2）略 2．(1)⑥， (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式． （1）根据P与R是反比例函数求解即可； （2）根据反比例函数图象，直接写出答案即可． 【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数， 其中，⑥数据错误； 设P与R的函数解析式为， 把代入得，， 解得，， P与R的函数解析式为， 故答案为：⑥，． （2）解：当，结合反比例函数图象，P大于6W时R的取值范围是． 故答案为：. 3．[任务一]函数思想； [任务二] 证明：设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点， 当时，， ∵点为上的点， ∴， ∴， ∴点在函数上， ∴平移后的表达式为：； [任务三] 【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． [任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可； [任务二]设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据[任务一]中的方法进行验证，即可； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值． 【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想； 故答案为：函数思想； [任务二]略 [任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵平移后的函数与直线交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴． 4．(1)A (2)数据，是错误的． (3) (4)12 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键；(1) 由“小宇同学先将数据在坐标系中描点，再通过图象来判断数据正确与否”这一过程可知，所用的数学思想是“数形结合”；(2) 根据杠杆平衡原理，有“力×力臂＝恒量”，可得，故应有，将表中数据逐一代入该公式，只有  时应得 ，而表中给的是 13，因此那组数据是错误的，正确的函数表达式是；(3) 在以为横坐标、为纵坐标的平面直角坐标系中，作出曲线  ，它是一支随增大而单调递减的反比例函数图象；(4) 要使不超25，即，解得，也就是说，弹簧秤到杠杆中点的距离至少应为． 【详解】（1）解：∵小宇同学先将数据在坐标系中描点，再通过图象来判断数据正确与否”， ∴所用的数学思想是“数形结合”， 故答案为：A． （2）根据杠杆平衡原理，有“力×力臂＝恒量”可得， ， 故， 当时，， ∴数据，是错误的，正确的函数表达式是； （3）略 （4）由题意可得， ， 解得， ∴弹簧秤到杠杆中点的距离至少应为； 故答案为：12． 5．(1) (2)反比例； (3)音调“”对应吸管的长度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案． （2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入， 可得吸管的长度． 【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值， 故在反比例函数中（系数保留整数）， 故与的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即， 将代入， 可得吸管的长度， 答：音调“”对应吸管的长度． 6．任务一：（1），，函数图像见解析； 根据图表绘制图像如下： （2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的； （3）； 任务二：（1）C； （2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 【分析】本题主要考查了类比的数形思想，反比例函数图像的平移等知识点，掌握平移规律是解题的关键． 任务一： （1）分别令求出对应的函数值，然后再运用描点法画出另一半图像即可；（2）（3）根据函数图像解答即可； 任务二：（1）根据研究过程归纳即可解答；（2）根据（1）的相关方法即可解答． 【详解】解：任务一：（1）当时，；当时， （2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的． （3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的， ∴函数的图像关于点成中心对称． 任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B． （2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 7．(1)A (2)，第五组数据是错误的 (3) 解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示： (4) 【分析】（1）根据上面日记中，数据分析过程即可得到答案； （2）由和可得关于的函数表达式为，在代入数据即可判断第几组数据是错误的； （3）先描点，在用平滑的曲线连起来即可； （4）若想大于30W，则，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率与电阻的关系，主要运用的数学思想是数形结合； 故答案为：A； （2）解：由和可得关于的函数表达式为， ， ， 当时，不在函数表达式上， 时，是明显错误的；P关于R的函数表达式是：； （3）略； （4）解：若想大于30W，即， 则，且， 则的取值范围． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意求出反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质，采用数形结合的思想，是解题的关键． 8．(1)2,4 (2) 【分析】（1）利用阅读材料的结论、并仿照阅读材料的例题解答即可； （2）设的坐标为，，可得，然后根据阅读材料的结论解答即可． 【详解】（1）解：令，，由，得， ∴， 故当时，有最小值4． 故答案为2,4． （2）解：设的坐标为， ∴ ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、完全平方公式的应用等知识点，读懂材料、理解成为解答本题的关键． 9．（1）；（2）见解析 【分析】（1）设直线OF的解析式为：，将点F代入即可求得； （2）由平行线的性质可得，根据题意分析得到四边形是矩形，再利用矩形对角线相等的性质和外角的性质进行等量代换，即可证得． 【详解】解：（1）设直线OF的解析式为：， 将点F代入得：， ∴． （2）证明：（接小明的思路） ∵， ∴， 由作图过程可知四边形是矩形． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 即． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，矩形的判断和性质，外角的性质，熟练掌握性质定理并能够“数形结合”是关键． 10．(1)4， (2) 【分析】（1）根据韦达定理解答即可； （2）根据罗氏解法的要求解答即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程的两个根为， ∴， 所以两根之和为4，两根之积为； （2）解：由（1）得， 第二步：求平均数为； 第三步：设， 第四步：代入两根之积，得 ， ∴； 第五步：回代写出两个根， ∴． 11．(1)； (2)①如图，点为所求． ② 【分析】（1）根据题意确定、，以及确定、、的值，在中，根据勾股定理得的值，从而确定的值； （2）①作线段的垂直平分线，结合直径所对的圆周角是确定直角顶点的位置； ②根据题意确定、、、、的值，在中，根据勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程，结合实际意义得到的值． 【详解】（1）解：， ，，且 ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴； （2）①略 ②解：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 整理得, 解得：，（舍）， ∴． 12．(1) (2)不能．理由如下： 由，得 ， 解得，都不是整数，不符合题意，都舍去； 不存在正整数使和为50． (3)这群人共有11人 (4) 【分析】（1）根据材料所给方法列出方程求解即可； （2）根据材料所给方法列出方程，再结合连续两个整数之积必为偶数可得出附近无整数解即可求解． （3）设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为，根据题意可得出 ，即．解出n即可． （4）由叠加可得． 【详解】（1）解：由， 得， 解得（不符合题意，舍去）； （2）略 （3）解：设这群人共有人．由题意，摘的石榴总数为， 平均每人6个，则，即． ， ， 解得． 答：这群人共有11人． （4）解：∵ ∴ ． 13．(1)0.7， (2) 解：P关于R的函数图象如图：    (3)当P大于6W，R的取值范围为 【分析】（1）根据P与R是反比例函数求解即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）观察图象，直接写出答案即可． 【详解】（1）解：观察表中的数据发现P与R的乘积固定不变，等于9,故P与R是反比例函数， 其中，数据错误； 设P与R的函数解析式为， 把代入得，， 解得，， P与R的函数解析式为， 故答案为：，． （2）略 （3）解：当，结合图象，P大于6W时R的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，解题关键是根据表格数据确定两个变量成反比例，求出函数解析式． 14．(1) (2) 解：∴， ∴， 解得或； ∵方程有中点值， ∴， ∴， ∴或均符合题意； ∴的值为或. (3) 的值为或 【分析】（1）根据新定义，列出不等式进行求解即可； （2）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可； （3）把代入方程，求出的值，根据新定义进行取舍即可. 【详解】（1）解：∵方程的中点值为2， ∴对照，可知，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵关于的方程的中点值为，且该方程的一个根为3， ∴， 解得或. ∵， ∴或均满足题意； ∴的值为或. 15．(1)C (2)的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识． （1）根据判别式的定义和用法即可得出答案． （2）根据题干的解题方式求解即可． （3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案． 【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论， 故选C． （2）解：由，得 将其代入，得， 设，则， 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． （3）解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是正数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为9． ∴， ∵的最大值为9， ∴的最小值为：． 16．(1)； (2) 解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； (3) 证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）略 （3）略 17．(1) (2) 解：设，则． 根据题意，得， 即． 整理，得：． 解得：，． ∵， ∴舍去． ∴． (3) 点C即为所求（答案不唯一）： 【分析】（1）根据中外比点的概念即可解答． （2）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （3）作线段的垂直平分线，交于点，过点作，且，连接，以点为圆心，为半径，画弧，交于点，以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点．设，根据勾股定理求得，继而求得，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； 【详解】（1）解：根据题意可得． （2）略 （3）解：设， ∴根据题意，得：， ， ， ， ， ∴点为线段的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点的定义，尺规作图，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题关键． 18．(1)解：化简得 由②得，，③ 将③代入①，，即， 去分母，得， 解得，． 将代入③，得．此时，不符合题意． 将代入③，得，符合题意． 答：存在满足条件的矩形，该矩形的宽为，长为． (2)描点、连线： 结论：存在满足条件矩形． 理由：由图可知，函数与的图象有交点，则存在满足条件的矩形 【分析】（1）代入消元，转化为解一元二次方程即可； （2）描点、连线即可作出函数图象，再根据两函数图象得到有交点，即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 19．（1）； （2）； （3）取的中点，连接， ∵点是的中点，点是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形性质，解一元二次方程，外角和定理等． （1）根据倍角三角形定义及三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据题意列式解一元二次方程即可； （3）取的中点，连接，利用中位线性质得，，再得，再利用外角和定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）根据倍角三角形定义，可知， ∴，即：， ∵， ∴， ∴的取值范围：， 故答案为：； （2）∵，二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积， ∴，即：，解得：， 故答案为： ； （3）略 20．(1)； (2) 当时，， 抛物线解析式为， 直线解析式为． 因为是交点，将其代入联立方程：， 化简得， 代入：，， 进一步整理得，又， ∴． 则． (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系、函数交点坐标性质及抛物线对称性求解． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积； （2）将交点坐标代入直线和抛物线解析式，联立方程求解，再计算； （3）利用抛物线对称性（纵坐标相同的点关于对称轴对称），结合对称轴公式列方程求． 【详解】（1）解：对于方程， 由一元二次方程根与系数关系得，． 故答案为：；． （2）略 （3）解：抛物线对称轴为， 因为、， 纵坐标相同，故关于对称轴对称， 对称轴为， 即，解得． 故答案为：． 21． 问题1：如图所示：直线将平行四边形的面积二等分．（答案不唯一） 作法：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线． 问题2（答案不唯一）：如图所示，直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 作法：不唯一，只要描述清晰，作图正确即可． 问题3：如图： 【分析】本题考查了中心对称图形的对称中心及正比例函数的解析式．坐标与图形，正方形的性质，正确找到各图形的对称中心是解题关键． 问题1：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线 问题2：直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，用待定系数法可得该直线的表达式为． 【详解】问题1：略 问题2：略 问题3：存在 如图所示：直线将图形的面积二等分． 作法：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线， 由图易知． 设直线的函数解析式为， 直线经过两点，代入得： 解得： ∴该直线的函数解析式为． 22．(1)270 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据“对余角”定义得，再根据四边形内角和为360度，即可求解； （2）由旋转得为等边三角形．根据“对余角”定义得，进而证明，由勾股定理解得，通过等量代换可得． （3）通过构造等边三角形使即可． 【详解】（1）解：和为对余角， ， ， ； （2）证明：，， 为等边三角形． ． 和为对余角， ． ， ． ， 在中，根据勾股定理，得． ． （3）解：如图，四边形即为所求．（答案不唯一） 23．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，整体换元法，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． （1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得； （3）由题意可得，分别解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有， 那么方程有一个根为0，不合题意， ， 故所求方程为； （3）解：根据题意可得， 或， 解得或， 所以关于的一元二次方程的两根为或． 24．(1)与之间的函数关系式为； (2)静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； (3)这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （）由题意设与之间的函数关系式为，然后将，代入即可求解； （）将代入解析式即可求解； （）分别求出当时，；当时，，从而求出取值范围． 【详解】（1）解：由题意设与之间的函数关系式为， 将，代入得，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵与之间的函数关系式为； ∴将代入得：，解得：， 答：静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； （3）解：当时，；当时，； ∴这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是． 25．(1)反比例， (2)2175 (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据表格，得到的值为定值，进行求解即可； （2）令，求出函数值即可； （3）求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可知，，为定值， ∴是的反比例函数，； （2）解：由（1）知：， ∴当时，； 故答案为：2175 （3）解：当时，， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴吸管的长度最短应是． 26．(1)①反比例；② (2)①；②球发出时在竖直方向上的速度应调节为 【分析】本题考查了反比例函数的图像及求解析式，二次函数的应用，熟练掌握反比例函数图像与二次函数的性质是解题的关键． （1）①根据图像可直接得出结论； ②设关于的函数表达式为，根据图象得，当时，，利用待定系数法即可求得答案； （2）①根据表中数据可知，当时，，代入求得、的值即可得到答案； ②由题可知，，，把落点的坐标为，代入，解之得到即可． 【详解】（1）解：①根据图3该函数的图像可知，是的反比例函数． 故答案为：反比例； ②设关于的函数表达式为 根据图象得，当时，， ∴ 解得 ∴关于的函数表达式为． （2）解：①根据表中数据得，该抛物线的对称轴为，即，且当时，， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． ②由题可知，落点的坐标为，，， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴，（舍去） ∴球发出时在竖直方向上的速度应调节为． 27．(1)； (2)这个空矿泉水瓶的质量为 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． （1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，取值范围是； （2）设空瓶的质量为，向空瓶中加入的水，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程，求解即可得到空瓶的质量． 【详解】（1）解：由题意可知，即，的取值范围是，即， 故答案为：；； （2）解：设这个空矿泉水瓶的质量为， 根据题意，得， 解得， 所以这个空矿泉水瓶的质量为． 28．(1)， (2)应将售价定为66元/套（即涨价6元） 【分析】（1）成本40元/套，售价元/套，故每套利润元；每涨价2元少卖5套，则涨价元少卖套，据此可得答案； （2）根据总利润每套的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每套的利润为元； 此时平均每天可卖出套． （2）解：依题意得． 整理得， 解得，． 售价不得超过70元/套， ，即，故舍去． ，此时售价为（元/套）． 答：应将售价定为66元/套． 29． 【详解】解：设的长为，则， ， 由题意得， 即， 整理得， 解得． ， ， ， 的长是． 30．(1)见解析 (2)①减小②函数的图象是由的图象向上平移2个单位长度得到的③2 (3)4 【分析】（1）描点法画出函数图象； （2）①根据函数图象得出增减性； ②根据平移的性质求解； ③根据平移的性质求解； （3）根据分式的加法运算法则求解． 【详解】（1）解：函数图象如图所示， （2）解：①当时，函数值随自变量的增大而减小； ②函数的图象是由的图象向上平移2个单位长度得到的； ③由②平移可得，函数图象的对称中心为即为， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 31．(1)空白画框的宽度为 (2)降低20元或30元 【分析】（1）设画框（空白部）的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为， 根据题意列方程得：， 解得：，， ∵当时，，风景画长度为负数，不符合实际意义，舍去该解， ∴． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为24000元， 根据题意列方程得：， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低20元或30元时，每天所获利润为24000元． 32．(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 33．（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）略 34．(1)①；②汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下 (2)当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距 (3)解：会， 理由如下： 由（1）可知，当时，有最大值75， 即汽车刹车过程中最多行驶， ， 该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键． （1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函数图象与性质即可得到答案； （2）由题意得到，结合（1）中求得的二次函数表达式，令，解一元二次方程即可得到答案； （3）由（1）中得到的汽车在时刹车距离达到最大值，才能完全停下，比较提总距离即可得到答案． 【详解】（1）解：①设二次函数的解析式为， 代入，得 解得， 二次函数的解析式为； ②， ， 抛物线开口向下，有最大值，为， 故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下． 答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下； （2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 当时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距； （3）略 35．(1)； (2)米； (3) 该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． (4)米 【分析】（1）利用待定系数法代入点坐标求反比例函数解析式； （2）根据点纵坐标代入解析式求横坐标，计算横坐标差得到水平距离； （3）求出点横坐标，代入得纵坐标，和安全要求比较验证； （4）将点横坐标代入解析式，求出纵坐标即为竖直高度． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：略； （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 36．(1)方案一：，方案二： (2) (3)方案一，． ， ∴当时，S的值最大，最大值为147． 对于方案二，． ，， ， ， ∴当时，S的值最大，最大值为． ， ∴要使矩形种植区的面积S的值最大，应选择方案一 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设，根据方案一可知，然后可得面积S，再根据方案二可得，最后求出S即可； （2）根据（1）可进行求解； （3）根据二次函数的性质分别得出方案一和方案二的最大值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设． 对于方案一，可知， ， ． 对于方案二，可知， ， ． （2）解：由（1）可令， 解得，． 由题意可知，即， ． （3）略． 37．(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 38．(1)一次函数， (2)当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元 (3)① ；②单价元，销量件 【分析】（1）由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀，符合一次函数特征，设 ，代入两组数据求解即可； （2）设月利润为元，由月利润=（售价-成本）×销量-固定成本 ，列出，再将二次函数配方，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）①令解二次方程得或，结合抛物线开口向下，得的解集为， ②销量随售价的增大而减小，要销量最大需售价最低，故取，代入销量公式得件即可． 【详解】（1）解：由表格数据观察，售价每增加5元，销量减少4件，变化量均匀， 因此月销量y（件）与售价（元）之间是一次函数关系， 可设 ， 将代入可得， ，解得， 因此； （2）解：设月利润为元，由题意可得， ， 当时，不低于元，符合题意， 此时最大，为5125元． 答：当销售单价为137.5元时，该文创企业销售这款刻花瓷的月利润最大，最大利润是5125元． （3）解：①令，得 ． 解得 ． 由（2）知 ， 抛物线开口向下． 当时， ． ②尽可能提高销量， 单价应最小，即元． 此时销量 （件）． 39．当的长度是米时，才能使所围梯形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，过点作于点，连接，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，设米，则米，米，米，利用梯形面积公式可得所围梯形的面积关于的二次函数，然后利用二次函数的性质即可作答． 【详解】解：如下图，过点作于点，连接， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， 设米，则米， ∴米，米， ∴所围梯形的面积， ∵， ∴当米时，取最大值，最大值为平方米， 即当的长度是米时，才能使所围梯形的面积最大，最大面积是平方米． 40．（1）；；（2）排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数为人 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据“已入场人数=每分钟安检人数×安检时间”表示出已入场人数，再根据“排队人数现场总人数已入场人数”列出函数关系式． （2）将函数关系式配方，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）∵平均每条通道每分钟可安检10人． ∴开放4条安检通道，安检时间为分钟时，已入场人数为人， ∵现场总人数与安检时间之间满足函数关系式：． ∴排队人数与安检时间的函数关系式为， 故答案为：；； （2）由题意可得. 因为，所以当时，w取得最大值，为． 答：排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数为人． 41．；侧面积y有最大值是 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法的应用，根据图形确定侧面积y与x的关系式是解题关键．根据长方形的面积和可得单位：）与小正方形的边长单位：的函数关系式，配方后可得y的最大值． 【详解】解：由题意得： ； ， 抛物线开口向下， 根据题意可知：,且,即, 当时，侧面积y有最大值是 42．(1)一次， (2)销售单价应定为140元 (3)黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元 【分析】本题是二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值问题． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）利用（1）中销售量求得利润函数，解一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）利用（2）中利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质讨论得出最值． 【详解】（1）解：观察表格可知黄花每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为， 将点代入，得 ， 解得， 一次函数关系式为． 故答案为：一次函数，； （2）解：根据题意知，月销售利润为： ， ∵月销售利润达到24000元， ∴， 解得， 当时， 销售成本为， 不符合题意舍去； 当时， 销售成本为， 符合题意； 故销售单价应定为140元； （3）解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元． 43．(1) (2)80元 【分析】（1）利用矩形和菱形均为中心对称图形的性质，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分，因此，分别找出矩形和菱形的对称中心（即对角线交点），连接这两点即可得到所求直线； （2）属于典型的利润问题，根据等量关系，“总利润＝单件利润×销售量”列出一元二次方程，求解后，需根据题目中“销售单价不得低于62元”这一限制条件对解进行检验和取舍． 【详解】（1）解：作图思路： ∵矩形和菱形都是中心对称图形， ∴它们的对称中心分别是各自对角线的交点， ∵过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形面积平分， ∴连接矩形和菱形的对角线交点即可得到所求直线， 作法： ①连接矩形的对角线、，交于点， ②连接菱形的对角线、，交于点， ③作直线， ④直线即为所求作的直线； （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得： ，， ∵销售单价不得低于62元， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答，李伯应将销售单价定为80元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $